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摘 要 针对目前大学数学课堂的消极现状，以及互动教学中存在的问题，以高等数学的重要知识点“复变函数积分”为例，强调指出老师在高数课堂互动中的作用，高数课堂互动教学实施的关键，互动教学中学生思考的时间分配，以及多种教学模式应用的重要性。
关键词 互动教学 复变函数 高等数学 问题设置
Abstract In view of the current negative situation of college mathematics classroom and the problems existing in interactive teaching， taking the important knowledge point of higher mathematics "complex function integral" as an example， this paper emphasizes the role of teachers in the interaction of high mathematics classroom， the key to the implementation of interactive teaching in high mathematics classroom， the time allocation of students' thinking in interactive teaching， and the importance of the application of various teaching modes.
Keywords interactive teaching; complex variable function; advanced mathematics; problem setting
高等数学是大学教育必不可少的基础课程，它与社会科学的各个领域均有着不可分割的联系。但高等数学本身具有高度的抽象性，学生学习的积极性不高，直接影响了大学数学的教学效果。[1]除此之外，教师的教学方法也是影响其教学效果的重要因素。
当前，数学教学的模式多种多样，如目标式教学、问题式教学、情境式教学、启发式教学等等。[2]但无论采用何种教学模式，教师都是数学学习的倡导者、组织者，应尽可能给学生提供参与数学互动学习的机会，引导学生自主探索、合作交流，在掌握數学的基本知识、理解数学思想方法的基础上，培养学生的创新能力，使其真正成为数学学习的主人。而培养的学生探究能力，并进一步促进培养学生的创新能力的有效途径之一就是“互动”。[3]互动式教学已成为广泛采用的教学方法，但相对于传统教学，其需要教师投入更多的精力，很多教师并不能长时间坚持实施。而且很多互动环节的设计，只体现了师生互动，缺少了学生与学生之间的互动，设计的问题也趋于形式化。[4]这些都渐渐地使学生丧失了问题的探究能力，从而缺乏创新意识。
本文以高等数学第四册中“复变函数积分”为实例，给出高等数学课上中，互动式教学方法的关键点，包括教师在高数课堂互动中的作用，高数课堂互动教学实施的关键，互动教学中学生思考的时间分配，以及多种教学模式应用的重要性。
1 教师——互动教学中的优秀编导和最佳配角
教师应是每堂课的优秀编导，而且是高数课堂互动式教学过程中的最佳配角。这意味着教师在备课环节，要吃透教材，备课时就设计好哪个环节互动，以什么形式互动，互动的角色安排，以及互动中可能出现的各种问题，并提前想好应对课堂上突发状况的对策，而并不是成为课堂互动活动的主角。
如，在讲授知识点“用参数法求复变函数积分”时，笔者在讲解求解步骤的基础上，给出以下练习题“求积分，积分路径分别为①直线段;②左半单位圆周;③右半圆周”，使学生给出答案，并仔细观察结果后给出自己的想法。有学生提出了这样的问题：沿着三个路径的积分都是0，是偶然还是必然？对于此问题的解答，可充分调动学生的能动性，先让学生相互讨论后，给出自己的解答，并请有不同意见的同学进行推理辩论。如果学生不能有效给出确定结果，教师可给出适当提示，如“尝试多个积分路径，并考虑积分函数z的性质”;在学生给出“必然”的结论时，教师可进一步引导学生考虑与的区别。使学生动手验证积分函数解析性的基础上，总结得到“解析函数的积分与路径无关”。通过有效调控和引导，不仅完成了教学内容的要求，更能提升学生数学学习的成就感，提高学习积极性。
2 问题——互动教学的心脏
典型问题探究是数学学习的核心点，在高数课堂的互动教学中，问题也是培养学生探究能力的心脏。[5]有以下三方面作用的数学问题，才能堪称好问题：（1）能够使学生体会到数学学习是一种自主创造式学科的问题;（2）不但有利于学生理解数学，而且也要有助于学生理解科学的问题;（3）能够使学生体会到“数学是借助于观察和类比，进而引导发现的科学”。[5]因此，在互动教学中，合理设置行之有效的数学问题，是取得良好互动效果的重要保障。
例如，在“复围线下的柯西积分定理”教学中，我们常用到如下的问题：计算复围线积分，此处C是圆周。这道题在讲解柯西积分定理应用时经常用到，但单纯就题论题，应用该题求解积分，不能很好地起到提高学生的探究能力的教学效果。首先，如果积分区域如果为椭圆或其他不规则围线，结论是否同样适用;其次，如果不是同时包含两个奇点，情况又如何呢。因此，笔者在教学中将圆周改为“包含€？的围线”“包含1，但不包含-1的围线”及“包含-1，但不包含1的围线”三种条件。提出下列问题：（1）积分区域包含一个奇点时，复围线定理如何应用;（2）积分区域是圆周时，结果是否有影响;（3）积分区域内奇点的个数对积分结果有什么影响。针对这些问题，在教师引导下，学生可自行解决问题（1）和（2），而问题（3）可作为培养学生深层次探究能力的导火索。在完成教学要求的基础上，设置合理的问题，才能更加激发学生对数学的兴趣和思考。 3 思考时间——互动教学有效实施的钥匙
数学的应用即是再创造，而学习现成的数学不可能培养学生的再创造能力。[6]在传统教学模式的课堂中，把本节教学任务完成，并解决所有本节课中的问题，即是达到了基本的考核指标。而对于互动式教学，学生可以通过互动探究活动，拓展自己的思维空间，从而迸发出各种问题的火花，而且学生提出的很多问题往往需要预留一定的思考时间，才能更有效地得以解决。
例如，利用柯西积分公式，求解积分中，已知，C为正向圆周，求的值。这个问题，虽然考察的知识点显而易见，即是柯西积分公式，但对于其中隐含的函数形式，还需要学生在教师的指导下课后去探究。教师应当引导学生先认真观察该积分形式与高阶导数公式的异同点，然后可以提示学生，充分考虑柯西积分公式的应用条件。这样，给予学生足够的探究时间，让学生在课下充分思考，他们在验证“变量1+i在积分区域内”的前提下，可以想到将柯西积分公式进行变形应用，得出函数的函数形式，进而求得其导函数，带入变量1+i求值。而且，在此探索求解的过程中，学生在充足的思考时间内，反复验证高阶导数公式的应用前提，探究其變形应用的可能性，使得学生对该知识点进行了有效拓展，扩充了自己的思维空间。
4 教学模式——互动教学成长的摇篮
互动教学模式有很多种。师生互动能够突出重点;生生互动可以通过学生与学生之间的辨析讨论，拓展学生的思维空间，加深对知识的理解;而分组互动能够使不同层次的学生在高数课堂上互帮互学互促互进，更便于教师边教学边培优补差。因此，在实际教学过程中，采用师生互动、生生互动、分组互动，还是采用其他行之有效的互动教学模式，应依据教学对象、课堂教学内容，以及每堂课的教学难度而有差别地选择合适的互动模式。并且，高等数学是本科生普遍感觉较难学的课程，其中有很多题目难度较大，而且求解繁琐，即使顺利求得解，也很难直观地理解解的分布及其物理意义。目前，多数数学教师主要利用PPT课件展示的形式，进行日常教学活动，其特点是能够方便直观地进行展示，但在课堂教学的互动活动中，只单单利用PPT课件这一种教学载体，会使学生感觉单调乏味，缺乏新意，从而很难激发学生参与课堂互动的积极性，21世纪是一个信息时代，教师应鼓励学生利用信息手段自主学习，自动学习，即学生可以在学习活动中，在教师的指导下发挥自主性和创造性。
比如，我们可以用数学工具软件Matlab很方便地求解复变函数积分，例如求积分，C是逆时针方向的圆周：|z|=2时，由于在Matlab中，求解函数的留数很简单，因此积分计算可以转化为先求被积函数的留数：
在此过程中，学生可以在教师指导下，自主操作，自己动手实践，并可以相互讨论，真正实现师生互动、生生互动以及小组互动。
5 结语
教师的角色扮演及问题合理设计是高等数学课堂互动教学取得有效效果的关键因素，同时，互动模式下的高等数学教学需要给学生安排合理的探究和思考的时间，此外，要想取得良好的互动效果，选择合适的互动模式是一种有力保障。教师可以根据学生的实际只是水平，因人而异地提出不同的要求，从而保证每个学生都能在力所能及的情况下，按时完成对新知识的探究。要想培养全新型人才，不能单一地采用一种互动教学模式，只有在教学过程中，有机地、合理地综合运用各种教学模式，才能真正做到教书育人。
切实有效地利用好互动式教学，能够使高数教学活动充满活力，通过学生之间的辨析讨论、师生之间的引导探究，达到去伪存真的教学效果。同时，在教师充当最佳配角，学生带着问题，充分发挥自己的主观能动性，以合作交流、分组讨论等多种方式以达到思想、情感和信息的交流和启发，从而拓展学生思维，培育学生发现问题、解决问题的能力，进而提高学生的学习自信心。
参考文献
[1] 肖厚国.浅析大学数学教学现状及其改进策略[J].数学学习与研究，2016（14）：3-4.
[2] 李祎.数学教学方法论[M].福建教育出版社，2010：387.
[3] 呼艳妮.互动教学在高中数学课堂教学中的应用研究[J].学周刊，2018.370（22）：38-39.
[4] 赵成飞.浅析数学课堂教学中师生互动存在的问题及对策[J].新校园：理论版，2012（3）：191-191.
[5] Polya G.数学的发现[M].上海译文出版社，2006：476.
[6] Freudethal H.陈昌平.作为教育任务的数学[J].数学教学，1995（2）：40-40.
关键词 互动教学 复变函数 高等数学 问题设置
Abstract In view of the current negative situation of college mathematics classroom and the problems existing in interactive teaching， taking the important knowledge point of higher mathematics "complex function integral" as an example， this paper emphasizes the role of teachers in the interaction of high mathematics classroom， the key to the implementation of interactive teaching in high mathematics classroom， the time allocation of students' thinking in interactive teaching， and the importance of the application of various teaching modes.
Keywords interactive teaching; complex variable function; advanced mathematics; problem setting
高等数学是大学教育必不可少的基础课程，它与社会科学的各个领域均有着不可分割的联系。但高等数学本身具有高度的抽象性，学生学习的积极性不高，直接影响了大学数学的教学效果。[1]除此之外，教师的教学方法也是影响其教学效果的重要因素。
当前，数学教学的模式多种多样，如目标式教学、问题式教学、情境式教学、启发式教学等等。[2]但无论采用何种教学模式，教师都是数学学习的倡导者、组织者，应尽可能给学生提供参与数学互动学习的机会，引导学生自主探索、合作交流，在掌握數学的基本知识、理解数学思想方法的基础上，培养学生的创新能力，使其真正成为数学学习的主人。而培养的学生探究能力，并进一步促进培养学生的创新能力的有效途径之一就是“互动”。[3]互动式教学已成为广泛采用的教学方法，但相对于传统教学，其需要教师投入更多的精力，很多教师并不能长时间坚持实施。而且很多互动环节的设计，只体现了师生互动，缺少了学生与学生之间的互动，设计的问题也趋于形式化。[4]这些都渐渐地使学生丧失了问题的探究能力，从而缺乏创新意识。
本文以高等数学第四册中“复变函数积分”为实例，给出高等数学课上中，互动式教学方法的关键点，包括教师在高数课堂互动中的作用，高数课堂互动教学实施的关键，互动教学中学生思考的时间分配，以及多种教学模式应用的重要性。
1 教师——互动教学中的优秀编导和最佳配角
教师应是每堂课的优秀编导，而且是高数课堂互动式教学过程中的最佳配角。这意味着教师在备课环节，要吃透教材，备课时就设计好哪个环节互动，以什么形式互动，互动的角色安排，以及互动中可能出现的各种问题，并提前想好应对课堂上突发状况的对策，而并不是成为课堂互动活动的主角。
如，在讲授知识点“用参数法求复变函数积分”时，笔者在讲解求解步骤的基础上，给出以下练习题“求积分，积分路径分别为①直线段;②左半单位圆周;③右半圆周”，使学生给出答案，并仔细观察结果后给出自己的想法。有学生提出了这样的问题：沿着三个路径的积分都是0，是偶然还是必然？对于此问题的解答，可充分调动学生的能动性，先让学生相互讨论后，给出自己的解答，并请有不同意见的同学进行推理辩论。如果学生不能有效给出确定结果，教师可给出适当提示，如“尝试多个积分路径，并考虑积分函数z的性质”;在学生给出“必然”的结论时，教师可进一步引导学生考虑与的区别。使学生动手验证积分函数解析性的基础上，总结得到“解析函数的积分与路径无关”。通过有效调控和引导，不仅完成了教学内容的要求，更能提升学生数学学习的成就感，提高学习积极性。
2 问题——互动教学的心脏
典型问题探究是数学学习的核心点，在高数课堂的互动教学中，问题也是培养学生探究能力的心脏。[5]有以下三方面作用的数学问题，才能堪称好问题：（1）能够使学生体会到数学学习是一种自主创造式学科的问题;（2）不但有利于学生理解数学，而且也要有助于学生理解科学的问题;（3）能够使学生体会到“数学是借助于观察和类比，进而引导发现的科学”。[5]因此，在互动教学中，合理设置行之有效的数学问题，是取得良好互动效果的重要保障。
例如，在“复围线下的柯西积分定理”教学中，我们常用到如下的问题：计算复围线积分，此处C是圆周。这道题在讲解柯西积分定理应用时经常用到，但单纯就题论题，应用该题求解积分，不能很好地起到提高学生的探究能力的教学效果。首先，如果积分区域如果为椭圆或其他不规则围线，结论是否同样适用;其次，如果不是同时包含两个奇点，情况又如何呢。因此，笔者在教学中将圆周改为“包含€？的围线”“包含1，但不包含-1的围线”及“包含-1，但不包含1的围线”三种条件。提出下列问题：（1）积分区域包含一个奇点时，复围线定理如何应用;（2）积分区域是圆周时，结果是否有影响;（3）积分区域内奇点的个数对积分结果有什么影响。针对这些问题，在教师引导下，学生可自行解决问题（1）和（2），而问题（3）可作为培养学生深层次探究能力的导火索。在完成教学要求的基础上，设置合理的问题，才能更加激发学生对数学的兴趣和思考。 3 思考时间——互动教学有效实施的钥匙
数学的应用即是再创造，而学习现成的数学不可能培养学生的再创造能力。[6]在传统教学模式的课堂中，把本节教学任务完成，并解决所有本节课中的问题，即是达到了基本的考核指标。而对于互动式教学，学生可以通过互动探究活动，拓展自己的思维空间，从而迸发出各种问题的火花，而且学生提出的很多问题往往需要预留一定的思考时间，才能更有效地得以解决。
例如，利用柯西积分公式，求解积分中，已知，C为正向圆周，求的值。这个问题，虽然考察的知识点显而易见，即是柯西积分公式，但对于其中隐含的函数形式，还需要学生在教师的指导下课后去探究。教师应当引导学生先认真观察该积分形式与高阶导数公式的异同点，然后可以提示学生，充分考虑柯西积分公式的应用条件。这样，给予学生足够的探究时间，让学生在课下充分思考，他们在验证“变量1+i在积分区域内”的前提下，可以想到将柯西积分公式进行变形应用，得出函数的函数形式，进而求得其导函数，带入变量1+i求值。而且，在此探索求解的过程中，学生在充足的思考时间内，反复验证高阶导数公式的应用前提，探究其變形应用的可能性，使得学生对该知识点进行了有效拓展，扩充了自己的思维空间。
4 教学模式——互动教学成长的摇篮
互动教学模式有很多种。师生互动能够突出重点;生生互动可以通过学生与学生之间的辨析讨论，拓展学生的思维空间，加深对知识的理解;而分组互动能够使不同层次的学生在高数课堂上互帮互学互促互进，更便于教师边教学边培优补差。因此，在实际教学过程中，采用师生互动、生生互动、分组互动，还是采用其他行之有效的互动教学模式，应依据教学对象、课堂教学内容，以及每堂课的教学难度而有差别地选择合适的互动模式。并且，高等数学是本科生普遍感觉较难学的课程，其中有很多题目难度较大，而且求解繁琐，即使顺利求得解，也很难直观地理解解的分布及其物理意义。目前，多数数学教师主要利用PPT课件展示的形式，进行日常教学活动，其特点是能够方便直观地进行展示，但在课堂教学的互动活动中，只单单利用PPT课件这一种教学载体，会使学生感觉单调乏味，缺乏新意，从而很难激发学生参与课堂互动的积极性，21世纪是一个信息时代，教师应鼓励学生利用信息手段自主学习，自动学习，即学生可以在学习活动中，在教师的指导下发挥自主性和创造性。
比如，我们可以用数学工具软件Matlab很方便地求解复变函数积分，例如求积分，C是逆时针方向的圆周：|z|=2时，由于在Matlab中，求解函数的留数很简单，因此积分计算可以转化为先求被积函数的留数：
在此过程中，学生可以在教师指导下，自主操作，自己动手实践，并可以相互讨论，真正实现师生互动、生生互动以及小组互动。
5 结语
教师的角色扮演及问题合理设计是高等数学课堂互动教学取得有效效果的关键因素，同时，互动模式下的高等数学教学需要给学生安排合理的探究和思考的时间，此外，要想取得良好的互动效果，选择合适的互动模式是一种有力保障。教师可以根据学生的实际只是水平，因人而异地提出不同的要求，从而保证每个学生都能在力所能及的情况下，按时完成对新知识的探究。要想培养全新型人才，不能单一地采用一种互动教学模式，只有在教学过程中，有机地、合理地综合运用各种教学模式，才能真正做到教书育人。
切实有效地利用好互动式教学，能够使高数教学活动充满活力，通过学生之间的辨析讨论、师生之间的引导探究，达到去伪存真的教学效果。同时，在教师充当最佳配角，学生带着问题，充分发挥自己的主观能动性，以合作交流、分组讨论等多种方式以达到思想、情感和信息的交流和启发，从而拓展学生思维，培育学生发现问题、解决问题的能力，进而提高学生的学习自信心。
参考文献
[1] 肖厚国.浅析大学数学教学现状及其改进策略[J].数学学习与研究，2016（14）：3-4.
[2] 李祎.数学教学方法论[M].福建教育出版社，2010：387.
[3] 呼艳妮.互动教学在高中数学课堂教学中的应用研究[J].学周刊，2018.370（22）：38-39.
[4] 赵成飞.浅析数学课堂教学中师生互动存在的问题及对策[J].新校园：理论版，2012（3）：191-191.
[5] Polya G.数学的发现[M].上海译文出版社，2006：476.
[6] Freudethal H.陈昌平.作为教育任务的数学[J].数学教学，1995（2）：40-40.