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经典力学中的哈密顿正则变换所涉及的４个母函数Ｆ１（ｑ，Ｑ），Ｆ２（ｑ，Ｐ），Ｆ３（ｐ，Ｐ），Ｆ４（ｐ，Ｑ）和４种正则变量ｑ，ｐ，Ｑ，Ｐ之间所有的关系，可以由７个基本关系式经线性变换而得到，这些变换是勒让德变换，变换是由３２个８×８的变换矩阵来实现的，而这３２个矩阵以４∶１的关系与具有８个群元的Ｄ４点群同态·热力学中的４个状态函数Ｇ（Ｐ，Ｔ），Ｈ（Ｐ，Ｓ），Ｕ（Ｖ，Ｓ），Ｆ（Ｖ，Ｔ）和４个热力学变量Ｐ，Ｖ，Ｔ，Ｓ之间的变换关系恰好与正则变换关系相同·热力学状态方程是源于宏观测量