论文部分内容阅读
2001年颁布的《数学课程标准》（实验稿）第一次将“基本的数学思想方法”作为学生数学学习的目标之一，要求通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。《数学课程标准》（2011版）则将上述课程目标进一步概括为“四基”，即数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
可见，《数学课程标准》（2011版）已经不再局限于通过渗透数学思想方法加深对数学知识的理解，而是把感悟数学思想方法当做数学课程整体目标的一个有机组成部分，关注基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验这些显性和隐性目标的整体实现。这是一种全新的数学教育观，是对我国小学数学重视“双基”的继承和发展。
我们的数学课堂应该致力于追求数学思想的价值引领，充分挖掘教材中的数学思想，在教学中有意识地加以渗透和运用，启迪、发展学生的数学思维，激发学生的学习兴趣和学习主动性，促使学生形成牢固、完善的认识结构，让学生在潜移默化中去领悟、运用，并逐步内化为数学思维品质。
一、在教材中提取
第一，坚持教材分析的整体性。作为小学数学教师，我们应该深刻理解小学数学的知识体系，能够从数与代数、图形与几何、统计与概率、实践与综合应用四个方面，通晓小学数学的全部教学内容，逐步了解各部分渗透的数学思想方法，以便渗透时逐步推进，避免顾此失彼。斯苗儿老师曾经说过：“一些课上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教师本身的数学功底。”因此，我们应该做到从整体上把握教材，认清教材特点，梳清教材脉络，理清教材思路，从整体上构建教材中数学思想的立体框架。
第二，坚持教材分析的独特性。教师应根据学生的认知规律和现有水平，领会教材的编写意图，同时也不应受教材的约束和限制，要学会灵活地处理教材，创造性地使用教材，实现数学思想有机融合在数学知识的形成过程中。在研读教材时，我们要多问自己几个为什么，如怎样才能唤起学生进行深层次的数学思考，如何引导学生主动探究新知，怎样根据教材的编排意图适时地渗透数学思想方法等。努力让数学课本上看得见的思维结果，折射出看不出的思维活动过程，弄清新知的形成过程，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，找准新知教学的生长点。
如在一年级的教材中，经常会出现这样的习题：
6－□＞4 12＞4＋□ 6＋□＜10
7＜15－□ □＋8＜13 10＞5＋□
虽然这些题目只是要求学生在空格中填进一个合适的数，但我们应该明白，若把□换成x，则上面的题目就变成了不等式。这时x就是一个变元符号，就会有一定的取值范围，这一个“位置占有者”的作用就会凸显出来。我们可以引导学生思考、讨论一些这样的问题：□内最大能填几？最小呢？最多能填几个数？同样，在此基础上还可以进一步深化：□＋○＜7，可以填些什么数？这样的处理更好地渗透了符号变元这一数学思想，教材的思维价值才能显露出来。
二、在过程中渗透
数学思想往往呈隐蔽的形式，沉积、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获取知识和解决问题的过程中。著名数学家波利亚认为学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。我们应该有效地引导学生去经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，体验到知识背后所负载的方法、蕴涵的思想。唯此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的。我们应该引导学生在经历思想方法的过程中去感受和理解数学思想，促使学生对数学知识的理解达到领悟的水平。
在《用数对确定位置》一课中,我试图引导学生经历数学思想方法的渗透，努力使学生获得有价值的思维空间，体验到数学思想的价值与魅力，现撷取课中片段：
学生在充分认识方格图中点的位置的变化情况后。
师：看得出，同学们对方格图上点的位置的变化已经掌握得比较清晰了。咱们的思考不妨再深入一点，以这个点（3，4）为例，你是怎么找到这个点的？
师：你认为哪几根线可以决定这个点的位置？
生指向（3，4），点击。
师：有同感吗？生：有。（生感觉问题很有意思，非常兴奋）
师：咱们的思考不妨再深入一点，这两根线又是由哪些线决定的呢？
学生的思维一下子冷了下来，经过短暂思考，有学生指向最左边和最下面的两条线。
师：其实，有了这两条红色的线（再点击）也就能决定图中任意一点的位置，没想到，我这一带，竟带出了一群中学生，这一知识咱们在中学的学习中将要作进一步研究。
就像语文课要具有“语文味”一样，数学课也应该具有“数学味”，只有这样才不至于丧失数学的品质而使其淹没于其他学科之中。数学课堂的“数学味”主要来源于数学思维的训练、数学思想的渗透。这个片段中教师让学生在方格图中找点，体会到找点的方法，再通过“是怎样的线条决定了方格图中点的位置”，感悟纵横交叉两条线的作用，进而推衍横轴和纵轴在确定位置中的作用，进一步渗透了坐标思想。正好教者所言“我这一带，竟带出了一群中学生”，润物细无声的思想渗透让学生在感受符号体系的过程中恰当地生成和渗透了相应的数学价值，帮助学生建立起了大数学的宏观视野。
三、在应用中强化
“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神指的就是数学思想。数学思想的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过理解、应用、促疑才能使学生真正领会，形成自觉运用数学思想的意识，建立起学生自我的“数学思想系统”。
如在学习《圆柱体积》时，学生运用化归思想推导出圆柱的体积公式后，教师并没有变换情境让学生停留在反复利用公式计算的层面，而是出示这样一个问题：你能知道这个土豆的体积是多少吗？学生沉思后，有些同学举起了手。有一位同学先往圆柱体容器里倒了些水，量了量，再把土豆放进圆柱体容器里量了量，然后拿出土豆又量了量，兴奋地说：“老师我有办法了，土豆是个形状不规则的物体，但我可以把它转化成圆柱体，你们看！圆柱体容器里上升的水的体积就是土豆的体积。”在这个同学的启发下，又有同学说：“也可以把它放在长方体或正方体的容器里，只要是放在我们学过的规则的几何体里就能求出土豆的体积。”在知识的应用过程中，数学思想在学生的头脑里已初步形成。我们只有巧妙设计应用问题，学生才能掌握比数学知识更为重要的东西，这些美妙的体验将使他们永远记住今天发现的结论。这样的教学学生所学的和所用的知识是鲜活的、富有生机的，学生的数学思想和数学素养才能得到质的飞跃！ 四、在反思中凝练
数学思想的获得，一方面需要我们进行有意识的渗透和训练，但是更多的是要靠学生自身在反思过程中凝练，这一过程没有人能够代替。如果说数学思想是可以传授的话，那教师是把其中富有思考意义的东西机械化了，这样也就失去了它应有的价值。数学思想是对数学知识的高度抽象，它蕴含在数学知识的发生、发展和应用过程中。在问题解决的过程后，我们应该因势利导地让学生回顾反思，体会自己的研究过程，从而感悟其中的数学思想和技巧，使得学生的创造性活动得到再次升华。
在《平面图形的面积复习》一课中：
师：我们学过哪些平面图形？各种图形的面积怎样计算？每种面积公式是怎么得来的？（学生口述各种图形的计算公式和公式的形成过程，教师通过课件显示各种公式的动态产生过程）
师：我们最先学习哪一种图形的面积公式？长方形面积公式可推导出哪些图形的面积公式？平行四边形的面积公式又可以推导出哪些图形的面积公式？根据学生的回答依次呈现各种图形，形成网络图。
师：看了这幅网络图，你有什么发现？
生1：正方形、平行四边形、圆都是通过长方形的面积公式推导出来的。
生2：平行四边形和圆都是用转化的方法推导出面积计算公式的。
生3：三角形和梯形的面积公式是根据平行四边形的面积公式推导出来的。
生4：各种平面图形之间存在一定的联系。新图形的面积公式都是通过转化为已学过的图形，再根据已学过的图形推导出新图形的面积公式的。
师：（板书）
师：这六种图形还有着怎样的联系呢？以小组为单位重新整理，构建不同的网络图。
生各小组介绍，有按图形公式推导过程构建网络，有按学习顺序形成联系，有按边的特征归类划分……
教师在交流中突出“转化”数学思想在几何知识中的应用，同时又通过不同组合发现各种图形之间的联系，渗透循环往复、螺旋式上升的数学思想。
因此，我们在教学中要适时、恰当地引导学生对数学学习过程进行自我反思，给予提炼和概括的空间，让学生形成明确的数学反思习惯。由于数学思想分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想来解决。因此，我们应该有意识地培养学生自我提炼、概括数学思想的能力，这样才能真正把数学思想的教学落到实处。
当然，在渗透数学方法的实践中，也要防止如下一些倾向。
1.避免同一水平中的重复
由于数学思想总是抽象而隐秘地存在，到底这些思想是如何形成的，在解决问题的过程中是如何发挥作用的，人们并不能清晰地意识到，再加上现行课程对不同学习阶段基本数学思想的教学缺乏系统的设计，因此相同的教学思想在不同学习阶段同水平反复的现象屡见不鲜。比如，在《平面图形的面积计算公式》的教学中，教师无一例外地把教学目标聚焦于化归的数学思想，问题是在不同内容的教学中，教师都反复强调“转化是很重要的”。这些直接提示建立在一个不当假设的基础上，把基本的数学思想直接暗示给学生，这种数学思想的渗透也未免过于简单了。
2.避免一味追求数学思想的冒进
数学思想的内容是相当丰富的，但也有难易之分。由于小学生认知能力的限制，我们就必须深入钻研教材，努力挖掘教材中渗透数学思想方法的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想。而且应该注重在教学过程中去渗透数学思想，不宜要求过高。学生必须在掌握一定量表层知识的基础上，才能掌握深层知识，我们可以参照这样的渗透模式：操作—体验—领悟—掌握—反思。注重在教师的引导下，让学生对掌握的有关表层知识进行认识深化，体会蕴于其中的数学思想，避免过度、过分。
我们的课堂不是没有思想的火花，而是缺少错落有致的思想之花；我们的课堂不是没有思想的枝叶，而是缺少绚丽多姿的思想之树。引领学生生发一种对数学思想的钟爱、对思维的渴望和对完善自我的追求，这才是我们追求思想引领课堂的价值所在。让我们一起追寻数学思想引领下的数学课堂，追求一种数学教育理想至真、至善、至纯的数学新境界，让思想的灵魂永驻我们的课堂。?筻
可见，《数学课程标准》（2011版）已经不再局限于通过渗透数学思想方法加深对数学知识的理解，而是把感悟数学思想方法当做数学课程整体目标的一个有机组成部分，关注基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验这些显性和隐性目标的整体实现。这是一种全新的数学教育观，是对我国小学数学重视“双基”的继承和发展。
我们的数学课堂应该致力于追求数学思想的价值引领，充分挖掘教材中的数学思想，在教学中有意识地加以渗透和运用，启迪、发展学生的数学思维，激发学生的学习兴趣和学习主动性，促使学生形成牢固、完善的认识结构，让学生在潜移默化中去领悟、运用，并逐步内化为数学思维品质。
一、在教材中提取
第一，坚持教材分析的整体性。作为小学数学教师，我们应该深刻理解小学数学的知识体系，能够从数与代数、图形与几何、统计与概率、实践与综合应用四个方面，通晓小学数学的全部教学内容，逐步了解各部分渗透的数学思想方法，以便渗透时逐步推进，避免顾此失彼。斯苗儿老师曾经说过：“一些课上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教师本身的数学功底。”因此，我们应该做到从整体上把握教材，认清教材特点，梳清教材脉络，理清教材思路，从整体上构建教材中数学思想的立体框架。
第二，坚持教材分析的独特性。教师应根据学生的认知规律和现有水平，领会教材的编写意图，同时也不应受教材的约束和限制，要学会灵活地处理教材，创造性地使用教材，实现数学思想有机融合在数学知识的形成过程中。在研读教材时，我们要多问自己几个为什么，如怎样才能唤起学生进行深层次的数学思考，如何引导学生主动探究新知，怎样根据教材的编排意图适时地渗透数学思想方法等。努力让数学课本上看得见的思维结果，折射出看不出的思维活动过程，弄清新知的形成过程，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，找准新知教学的生长点。
如在一年级的教材中，经常会出现这样的习题：
6－□＞4 12＞4＋□ 6＋□＜10
7＜15－□ □＋8＜13 10＞5＋□
虽然这些题目只是要求学生在空格中填进一个合适的数，但我们应该明白，若把□换成x，则上面的题目就变成了不等式。这时x就是一个变元符号，就会有一定的取值范围，这一个“位置占有者”的作用就会凸显出来。我们可以引导学生思考、讨论一些这样的问题：□内最大能填几？最小呢？最多能填几个数？同样，在此基础上还可以进一步深化：□＋○＜7，可以填些什么数？这样的处理更好地渗透了符号变元这一数学思想，教材的思维价值才能显露出来。
二、在过程中渗透
数学思想往往呈隐蔽的形式，沉积、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获取知识和解决问题的过程中。著名数学家波利亚认为学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。我们应该有效地引导学生去经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，体验到知识背后所负载的方法、蕴涵的思想。唯此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的。我们应该引导学生在经历思想方法的过程中去感受和理解数学思想，促使学生对数学知识的理解达到领悟的水平。
在《用数对确定位置》一课中,我试图引导学生经历数学思想方法的渗透，努力使学生获得有价值的思维空间，体验到数学思想的价值与魅力，现撷取课中片段：
学生在充分认识方格图中点的位置的变化情况后。
师：看得出，同学们对方格图上点的位置的变化已经掌握得比较清晰了。咱们的思考不妨再深入一点，以这个点（3，4）为例，你是怎么找到这个点的？
师：你认为哪几根线可以决定这个点的位置？
生指向（3，4），点击。
师：有同感吗？生：有。（生感觉问题很有意思，非常兴奋）
师：咱们的思考不妨再深入一点，这两根线又是由哪些线决定的呢？
学生的思维一下子冷了下来，经过短暂思考，有学生指向最左边和最下面的两条线。
师：其实，有了这两条红色的线（再点击）也就能决定图中任意一点的位置，没想到，我这一带，竟带出了一群中学生，这一知识咱们在中学的学习中将要作进一步研究。
就像语文课要具有“语文味”一样，数学课也应该具有“数学味”，只有这样才不至于丧失数学的品质而使其淹没于其他学科之中。数学课堂的“数学味”主要来源于数学思维的训练、数学思想的渗透。这个片段中教师让学生在方格图中找点，体会到找点的方法，再通过“是怎样的线条决定了方格图中点的位置”，感悟纵横交叉两条线的作用，进而推衍横轴和纵轴在确定位置中的作用，进一步渗透了坐标思想。正好教者所言“我这一带，竟带出了一群中学生”，润物细无声的思想渗透让学生在感受符号体系的过程中恰当地生成和渗透了相应的数学价值，帮助学生建立起了大数学的宏观视野。
三、在应用中强化
“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神指的就是数学思想。数学思想的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过理解、应用、促疑才能使学生真正领会，形成自觉运用数学思想的意识，建立起学生自我的“数学思想系统”。
如在学习《圆柱体积》时，学生运用化归思想推导出圆柱的体积公式后，教师并没有变换情境让学生停留在反复利用公式计算的层面，而是出示这样一个问题：你能知道这个土豆的体积是多少吗？学生沉思后，有些同学举起了手。有一位同学先往圆柱体容器里倒了些水，量了量，再把土豆放进圆柱体容器里量了量，然后拿出土豆又量了量，兴奋地说：“老师我有办法了，土豆是个形状不规则的物体，但我可以把它转化成圆柱体，你们看！圆柱体容器里上升的水的体积就是土豆的体积。”在这个同学的启发下，又有同学说：“也可以把它放在长方体或正方体的容器里，只要是放在我们学过的规则的几何体里就能求出土豆的体积。”在知识的应用过程中，数学思想在学生的头脑里已初步形成。我们只有巧妙设计应用问题，学生才能掌握比数学知识更为重要的东西，这些美妙的体验将使他们永远记住今天发现的结论。这样的教学学生所学的和所用的知识是鲜活的、富有生机的，学生的数学思想和数学素养才能得到质的飞跃！ 四、在反思中凝练
数学思想的获得，一方面需要我们进行有意识的渗透和训练，但是更多的是要靠学生自身在反思过程中凝练，这一过程没有人能够代替。如果说数学思想是可以传授的话，那教师是把其中富有思考意义的东西机械化了，这样也就失去了它应有的价值。数学思想是对数学知识的高度抽象，它蕴含在数学知识的发生、发展和应用过程中。在问题解决的过程后，我们应该因势利导地让学生回顾反思，体会自己的研究过程，从而感悟其中的数学思想和技巧，使得学生的创造性活动得到再次升华。
在《平面图形的面积复习》一课中：
师：我们学过哪些平面图形？各种图形的面积怎样计算？每种面积公式是怎么得来的？（学生口述各种图形的计算公式和公式的形成过程，教师通过课件显示各种公式的动态产生过程）
师：我们最先学习哪一种图形的面积公式？长方形面积公式可推导出哪些图形的面积公式？平行四边形的面积公式又可以推导出哪些图形的面积公式？根据学生的回答依次呈现各种图形，形成网络图。
师：看了这幅网络图，你有什么发现？
生1：正方形、平行四边形、圆都是通过长方形的面积公式推导出来的。
生2：平行四边形和圆都是用转化的方法推导出面积计算公式的。
生3：三角形和梯形的面积公式是根据平行四边形的面积公式推导出来的。
生4：各种平面图形之间存在一定的联系。新图形的面积公式都是通过转化为已学过的图形，再根据已学过的图形推导出新图形的面积公式的。
师：（板书）
师：这六种图形还有着怎样的联系呢？以小组为单位重新整理，构建不同的网络图。
生各小组介绍，有按图形公式推导过程构建网络，有按学习顺序形成联系，有按边的特征归类划分……
教师在交流中突出“转化”数学思想在几何知识中的应用，同时又通过不同组合发现各种图形之间的联系，渗透循环往复、螺旋式上升的数学思想。
因此，我们在教学中要适时、恰当地引导学生对数学学习过程进行自我反思，给予提炼和概括的空间，让学生形成明确的数学反思习惯。由于数学思想分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想来解决。因此，我们应该有意识地培养学生自我提炼、概括数学思想的能力，这样才能真正把数学思想的教学落到实处。
当然，在渗透数学方法的实践中，也要防止如下一些倾向。
1.避免同一水平中的重复
由于数学思想总是抽象而隐秘地存在，到底这些思想是如何形成的，在解决问题的过程中是如何发挥作用的，人们并不能清晰地意识到，再加上现行课程对不同学习阶段基本数学思想的教学缺乏系统的设计，因此相同的教学思想在不同学习阶段同水平反复的现象屡见不鲜。比如，在《平面图形的面积计算公式》的教学中，教师无一例外地把教学目标聚焦于化归的数学思想，问题是在不同内容的教学中，教师都反复强调“转化是很重要的”。这些直接提示建立在一个不当假设的基础上，把基本的数学思想直接暗示给学生，这种数学思想的渗透也未免过于简单了。
2.避免一味追求数学思想的冒进
数学思想的内容是相当丰富的，但也有难易之分。由于小学生认知能力的限制，我们就必须深入钻研教材，努力挖掘教材中渗透数学思想方法的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想。而且应该注重在教学过程中去渗透数学思想，不宜要求过高。学生必须在掌握一定量表层知识的基础上，才能掌握深层知识，我们可以参照这样的渗透模式：操作—体验—领悟—掌握—反思。注重在教师的引导下，让学生对掌握的有关表层知识进行认识深化，体会蕴于其中的数学思想，避免过度、过分。
我们的课堂不是没有思想的火花，而是缺少错落有致的思想之花；我们的课堂不是没有思想的枝叶，而是缺少绚丽多姿的思想之树。引领学生生发一种对数学思想的钟爱、对思维的渴望和对完善自我的追求，这才是我们追求思想引领课堂的价值所在。让我们一起追寻数学思想引领下的数学课堂，追求一种数学教育理想至真、至善、至纯的数学新境界，让思想的灵魂永驻我们的课堂。?筻