论文部分内容阅读
摘要：本文主要对传球问题进行详细的分析解答。
关键词：传球问题；解答
中图分类号：G23.56文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-12-0-01
有这么一道题：甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始，经5次传球，仍回到甲手中的概率为多少？
这道题应该说难度不大，甚至可以用枚举法数出所有回到甲手中的情况，然后再除以总情况，即为结果.但如果次数为n时，就不是那么简单了。
甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始，经n次传球，仍回到甲手中的概率为多少？
此题可以借助数列思想，每个人传给下一个人都有两种可能。设第m次传到甲手中的情况有种，则第m次传到乙、丙手中的情况有种，则第m+1传到甲手中的情况也为种，也就有：，其中。之后就是求数列通项公式的问题，求得。故经n次传球，仍回到甲手中的概率为
= 。
本人做数学题偏好一题多解，在钻研此题时惊喜地发现其跟贾宪三角形的联系，算是另辟蹊径吧。
贾宪三角形如下：
不妨把甲放在顶部首行的“1”位置，往下传给第二行，乙在左，丙在右，继续往下传，乙传给第三行，丙在左，甲在中，丙亦传给第三行，甲在中，乙在右，甲有累加，故“2”恰好表示传到甲手中的情况。同理，第四行从左到右分别表示传到甲、乙、丙、甲手中的情况。依此类推，画图如下：
通过此图发现规律：由上至下各行首个字符构成甲、乙、丙顺序循环，各行亦构成甲、乙、丙顺序循环。
故当时，所在行首个字符是，对应组合符号为，故仍回到甲手中的概率为。
当时，所在行首个字符是，对应组合符号为，故仍回到甲手中的概率为。
当时，所在行首个字符是，对应组合符号为，故仍回到甲手中的概率为。
例如经过7次传递仍回到甲手中的概率就为，与数列思想中的结论吻合。
此解法是贾宪三角形的一种应用，再一次体现了贾宪三角形的“美妙”。
若将此题推广为m人相互传球：m人相互传球，由甲开始，经n次传球，仍回到甲手中的概率为多少？则结果如何呢？
这时就不能利用贾宪三角形了，因为构不成三角关系，但数列思想仍可行。同理，仍回到甲手中的概率为
= 。
再推广为：m人相互传球，由甲开始，经n次传球，传到其他任何一人手中的概率为多少？
由于除甲之外的m-1人情况一致，故具有等可能性，故传到其他任何一人手中的概率为
= 。
关键词：传球问题；解答
中图分类号：G23.56文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-12-0-01
有这么一道题：甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始，经5次传球，仍回到甲手中的概率为多少？
这道题应该说难度不大，甚至可以用枚举法数出所有回到甲手中的情况，然后再除以总情况，即为结果.但如果次数为n时，就不是那么简单了。
甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始，经n次传球，仍回到甲手中的概率为多少？
此题可以借助数列思想，每个人传给下一个人都有两种可能。设第m次传到甲手中的情况有种，则第m次传到乙、丙手中的情况有种，则第m+1传到甲手中的情况也为种，也就有：，其中。之后就是求数列通项公式的问题，求得。故经n次传球，仍回到甲手中的概率为
= 。
本人做数学题偏好一题多解，在钻研此题时惊喜地发现其跟贾宪三角形的联系，算是另辟蹊径吧。
贾宪三角形如下：
不妨把甲放在顶部首行的“1”位置，往下传给第二行，乙在左，丙在右，继续往下传，乙传给第三行，丙在左，甲在中，丙亦传给第三行，甲在中，乙在右，甲有累加，故“2”恰好表示传到甲手中的情况。同理，第四行从左到右分别表示传到甲、乙、丙、甲手中的情况。依此类推，画图如下：
通过此图发现规律：由上至下各行首个字符构成甲、乙、丙顺序循环，各行亦构成甲、乙、丙顺序循环。
故当时，所在行首个字符是，对应组合符号为，故仍回到甲手中的概率为。
当时，所在行首个字符是，对应组合符号为，故仍回到甲手中的概率为。
当时，所在行首个字符是，对应组合符号为，故仍回到甲手中的概率为。
例如经过7次传递仍回到甲手中的概率就为，与数列思想中的结论吻合。
此解法是贾宪三角形的一种应用，再一次体现了贾宪三角形的“美妙”。
若将此题推广为m人相互传球：m人相互传球，由甲开始，经n次传球，仍回到甲手中的概率为多少？则结果如何呢？
这时就不能利用贾宪三角形了，因为构不成三角关系，但数列思想仍可行。同理，仍回到甲手中的概率为
= 。
再推广为：m人相互传球，由甲开始，经n次传球，传到其他任何一人手中的概率为多少？
由于除甲之外的m-1人情况一致，故具有等可能性，故传到其他任何一人手中的概率为
= 。