求古典概型事件的概率时,首先要注意的是基本事件空间是由哪些基本事件组成。其次要注意所求的事件又是由哪些基本事件组成。在计算的过程中一般采用排列组合的方法。排列中是全排列还是选排列,是考虑次序(排列)还是不考虑次序(组合),都需要通过分析加以明确区分。做题时可从不同的角度考虑问题,选取不同的样本空间,建立不同的数学模型,来深化古典概型的认识,同时增强对等可能的认识。教学中可采用一题多解,既有利于培养学生发散思维,又可激发其学习兴趣。
　　例题:一个袋中装有a个黑球,b个白球,它们除颜色不同外,其它方面没有差别。现在随机地把球一个接一个地摸出来,求事件“第k次摸出的球是黑球”的概率。
　　【解法1】
　　把a个黑球,b个白球都看作是有区别的(例如,设想把它们都编上了号)。可设想把摸出的球依次放在排列成一直线上的a+b个位置上。则可能的排列法相当于把个球进行全排列,因此基本事件空间就是由(a+b)!个基本事件所组成的,它们可被认为是等可能的。而事件A包含的基本事件有a(a+b-1)!个,这是因为第k次摸得黑球有a种情况,另外的a+b-1次摸球相当于对a+b-1个球进行全排列,有(a+b-1)!种,故所求的概率为:P(A)=■=■。
　　【解法2】
　　对相同颜色的球不加以区别。设想把摸出的球依次放在排成一直线的a+b个位置上,若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置放的必然是白球。而黑球的放法有C■■种,这样基本事件空间就由C■■个基本事件所组成,它们可被认为是等可能的。事件A包含的基本事件有C■■个,这是因为第次摸得黑球,即第个位置放黑球,剩下的黑球就可以在a+b-1个位置上选取a-1个位置,因此共有C■■种放法,故所求的概率为:P(A)=■=■。
　　【解法3】
　　把a个黑球看作是有区别的,b个白球是没有区别的。还是设想把摸出的球依次放在排列成一直线上的a+b个位置上。因为若把a只黑球的位置固定下来,则其它们置必然是放白球的。注意到黑球是有区别的,因此共有此C■■种放法,故基本事件空间内基本事件个数为C■■a!个,它们可被认为是等可能的。而有利于事件A的基本事件数为aC■■(a-1)!个,这是因为第k次摸得黑球,相当于第k个位置放黑球,所以有a种方式,剩下的黑球的放法就有C■■(a-1)!种,因此共有aC■■(a-1)!种放法,故所求事件A的概率为:P(A)=■=■。
　　【解法4】
　　把b只白球看作是有区别的,a只黑球是没有区别的。仿解法3知基本事件空间的基本事件总数为Cba+bb!个,而有利于事件A的基本事件数为Cba+b-1!个,这是因为要求第k次摸得黑球,即第k个位置放黑球,因此第个位置就不能放白球,注意到白球是有区别的,因此共有Cba+b-1b!种放法,故所求事件A的概率为:P(A)=■=■。
　　【解法5】
　　只考虑第次摸球,因为a+b个球中的任何一个在第次被摸到都是等可能的,因此基本事件空间的基本事件总数为a+b,而有利于事件A的基本事件数为a,所以求得概率P(A)=■。
　　【解法6】
　　只考虑前次k摸球。因不是求第k次摸得黑球的概率,所以可看作是有顺序的问题,即认为同色球也都是有区别的。把a+b只球中的任意k个球的任意一个全排列算作一个基本事件,这些基本事件可认为是等可能的。基本事件空间的基本事件总数为C■■k!,而有利于事件A的基本事件数为aC■■(k-1)!,因此所求事件A的概率为:P(A)=■=■。
　　【解法7】
　　只考虑前次k摸球。因为求第k次摸得黑球的概率可认为是与顺序有关的问题,即认为同色球也都是有区别的。所以把在a+b只球中任取k个球的任意一个全排列算作一个基本事件,因此基本事件空间的基本事件总数为Aka+b,这些基本事件可认为是等可能的。而有利于事件A的基本事件数为aA■■,这是因为第次必须摸到黑球,而其余的k-1次则从剩下的a+b-1只球中任取k-1个球作选排列。因此所求事件A的概率为:P(A)=■=■。