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摘 要：数学思想是对数学事实与数学理论的本质认识，是数学处理问题的基本观点，是对数学基础知识与基本方法本质的概括，它高于知识和方法，指导知识与方法的运用，使知识向更深、更高层次发展。重视对数学思想方法的考查，把一些比较基本的数学思想和方法，以各种问题的层次融入试题之中，是高考命题多年来所坚持的方向。
关键词：概念 地位 作用 渗透
现代数学教学观认为，应该着重发展学生的思维，提高数学能力教育的核心在于全面提高学生的素质，而这些任务的具体实现，在很大程度上都依赖于数学方法的教学。在初中数学教学大纲中，已将数学思想方法的教学列入基础知识的范畴。要发展学生的思维，培养数学能力，提高文化素养，就必须使学生了解数学知识形成的过程，明确其产生、发展的外部与内部的驱动力。而在数学概念的确定、数学事实的发现、数学理论的推导以及数学知识的运用中，所凝聚的数学思想和方法乃是数学的精髓。那么，如何认识数学思想方法，以及怎样进行数学思想方法的训练，如何与教学结合在一起，是非常重要的。
一、渗透函数与方程思想
例如在讲一元一次方程的产生时，可以分两种情况：当x的一次二项式的系数有一个确定的值，如4x—1=5，而这个关于x的一次二项式的系数的值不断变化时，就产生了不同的一元一次方程，随之各个方程的解也不相同。当两个关于字母x的一次二项式的值相等时，求字母x的值，也就产生了一元一次方程，如4x—4=5x+2。而一元一次不等式又是怎样产生的呢？当x的一次二项式的值大于（或小于）某一个数x，求x的取值范围，就产生了一元一次不等式，如4x—1>5；或者关于字母的两个一次二项值的值具有不等关系式，也就产生了一元一次不等式，如4x—1>3x+1。这样，代数式、一元一次方程、一元一次不等式就有机地联系起来，构成了知识链，渗透了函数思想。同样，一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数也可以通过放到函数的思想下研究，解方程f（x）=0就是找函数图像与x轴交点的横坐标，解不等式f（x）>0就是求函数f（x）的正负区间，从而使掌握的知识层次具有深度和广度。
二、渗透转化化归的思想
化归思想的实质是化未知为已知，使新知识向旧知识（已知的知识）转化的思想方法，具有普遍意义，掌握了它就能居高临下地指导思维活动的开展。特别是在解析几何的教学过程中，通常是以有关概念的定义、定式（公式、法则）和定法着手进行思考分析，而运用常规思路，会出现解题过程复杂甚至难以处理的局面。
例1.在椭圆 + =1，求一点使它到左、右焦点的距离之比为了3∶2。设P（x1，g1），把|PF2|转化为P到相应准线的距离d1，d2，则由椭圆定义有|PF1|=ed1=5+ x1，|PF2|=ed2=5— x1。由|PF1|∶|PF2|=3∶2，求得点P为（ ，± 5）。在这个解题过程中，倾斜线段的长度，仅端点的横坐标或纵坐标就可确定，因此倾斜线段转化为水平（或竖直）线段，使问题变得简洁明了，省去了复杂的运算。
又如在讲三角公式推导时，对公式C（α—β）推导以后，用它推导C（α—β）=C[α—（—β）]，建立了sinx=cos（ —x）后，就可以通过此公式推导。这些公式的推导，渗透了转化化归的思想。在这方面的例子是很多的，各章都有，这就需要教师适时地渗透这些思想。
三、分类思想，训练思维的目的性、条理性
分类思想在数学中也很普遍，如代数中有数、式、方程、不等式、函数等内容的分类，几何中有图形的分类等。分类思想渗透到概念、定义、定理的证明、法则的推导和具体问题的总结，善于运用分类讨论的思想有助于对知识的加深认识和理解消化，从而掌握其本质规律。
如在向量的教学过程中，平行向量可分为同向向量或反向向量，用向量法推导正弦定理时可通过对锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情形分别讨论而获得。
又如在线段的定比分点的教学过程中，运用分类讨论的思想方法，启发学生对点P分有向线段P1P2的比值的分析讨论，可得以下几个结论：（1）若点P在P1P2的反向延长线上，则λ>0；（2）若点P在P1P2的延长线上，则λ<—1；（3）若点P在P1P2的反向延长线上，则—1<λ<0；（4）若点P与P1重合，则λ=0；（5）若点P与P2重合则λ不存在。由上述5个方面可知λ≠—1，通过分类讨论可以使学生理解得更深刻。
四、渗透数形结合的思想
数与形是数学研究的两类基本对象，它们既有密切联系，又有各自特点。
数形结合的思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。
如在讲函数的单调性和奇偶性的时候，一般都是从有代表性的图像入手总结规律。讲一元二次不等式的解法，首先讲的是一元二次函数，把函数y随x的变化情况通过图形展示出来，并且把函数分成在x轴上方和x轴下方的部分，得出函数值y>0或y<0时对应的自变量x的取值范围，即不等式的解。还有些问题只能用数形结合的方法来解，如求2x=x2的解的个数，通过图像可以很直观地把x<0时有一个交点和x>0时有两个交点（2，4）和（4，16）显示出来。
再如求方程tgx=sinx在区间[—10，10]上的解的个数，也可以通过图形来解。但是用数形结合方法一定要注意图形的准确性，要注意同一坐标系中不同图形的相对位置。
数学思想不同于一般的知识，不能用符号、图表或式子表示出来，它的呈现方式是隐蔽的，是难以从书上直接看到的，因此，数学思想方法的教学应用“渗透”的方法。教师要站在方法论的高度上去挖掘教材中的数学思想，课堂上要有意识地引导学生参与探索过程的磨砺，并在概念的引入及解题之后，恰到好处地指出相关的数学思想方法。只要坚持在教学过程中长期渗透，一定能收到较好的效果。
关键词：概念 地位 作用 渗透
现代数学教学观认为，应该着重发展学生的思维，提高数学能力教育的核心在于全面提高学生的素质，而这些任务的具体实现，在很大程度上都依赖于数学方法的教学。在初中数学教学大纲中，已将数学思想方法的教学列入基础知识的范畴。要发展学生的思维，培养数学能力，提高文化素养，就必须使学生了解数学知识形成的过程，明确其产生、发展的外部与内部的驱动力。而在数学概念的确定、数学事实的发现、数学理论的推导以及数学知识的运用中，所凝聚的数学思想和方法乃是数学的精髓。那么，如何认识数学思想方法，以及怎样进行数学思想方法的训练，如何与教学结合在一起，是非常重要的。
一、渗透函数与方程思想
例如在讲一元一次方程的产生时，可以分两种情况：当x的一次二项式的系数有一个确定的值，如4x—1=5，而这个关于x的一次二项式的系数的值不断变化时，就产生了不同的一元一次方程，随之各个方程的解也不相同。当两个关于字母x的一次二项式的值相等时，求字母x的值，也就产生了一元一次方程，如4x—4=5x+2。而一元一次不等式又是怎样产生的呢？当x的一次二项式的值大于（或小于）某一个数x，求x的取值范围，就产生了一元一次不等式，如4x—1>5；或者关于字母的两个一次二项值的值具有不等关系式，也就产生了一元一次不等式，如4x—1>3x+1。这样，代数式、一元一次方程、一元一次不等式就有机地联系起来，构成了知识链，渗透了函数思想。同样，一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数也可以通过放到函数的思想下研究，解方程f（x）=0就是找函数图像与x轴交点的横坐标，解不等式f（x）>0就是求函数f（x）的正负区间，从而使掌握的知识层次具有深度和广度。
二、渗透转化化归的思想
化归思想的实质是化未知为已知，使新知识向旧知识（已知的知识）转化的思想方法，具有普遍意义，掌握了它就能居高临下地指导思维活动的开展。特别是在解析几何的教学过程中，通常是以有关概念的定义、定式（公式、法则）和定法着手进行思考分析，而运用常规思路，会出现解题过程复杂甚至难以处理的局面。
例1.在椭圆 + =1，求一点使它到左、右焦点的距离之比为了3∶2。设P（x1，g1），把|PF2|转化为P到相应准线的距离d1，d2，则由椭圆定义有|PF1|=ed1=5+ x1，|PF2|=ed2=5— x1。由|PF1|∶|PF2|=3∶2，求得点P为（ ，± 5）。在这个解题过程中，倾斜线段的长度，仅端点的横坐标或纵坐标就可确定，因此倾斜线段转化为水平（或竖直）线段，使问题变得简洁明了，省去了复杂的运算。
又如在讲三角公式推导时，对公式C（α—β）推导以后，用它推导C（α—β）=C[α—（—β）]，建立了sinx=cos（ —x）后，就可以通过此公式推导。这些公式的推导，渗透了转化化归的思想。在这方面的例子是很多的，各章都有，这就需要教师适时地渗透这些思想。
三、分类思想，训练思维的目的性、条理性
分类思想在数学中也很普遍，如代数中有数、式、方程、不等式、函数等内容的分类，几何中有图形的分类等。分类思想渗透到概念、定义、定理的证明、法则的推导和具体问题的总结，善于运用分类讨论的思想有助于对知识的加深认识和理解消化，从而掌握其本质规律。
如在向量的教学过程中，平行向量可分为同向向量或反向向量，用向量法推导正弦定理时可通过对锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情形分别讨论而获得。
又如在线段的定比分点的教学过程中，运用分类讨论的思想方法，启发学生对点P分有向线段P1P2的比值的分析讨论，可得以下几个结论：（1）若点P在P1P2的反向延长线上，则λ>0；（2）若点P在P1P2的延长线上，则λ<—1；（3）若点P在P1P2的反向延长线上，则—1<λ<0；（4）若点P与P1重合，则λ=0；（5）若点P与P2重合则λ不存在。由上述5个方面可知λ≠—1，通过分类讨论可以使学生理解得更深刻。
四、渗透数形结合的思想
数与形是数学研究的两类基本对象，它们既有密切联系，又有各自特点。
数形结合的思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。
如在讲函数的单调性和奇偶性的时候，一般都是从有代表性的图像入手总结规律。讲一元二次不等式的解法，首先讲的是一元二次函数，把函数y随x的变化情况通过图形展示出来，并且把函数分成在x轴上方和x轴下方的部分，得出函数值y>0或y<0时对应的自变量x的取值范围，即不等式的解。还有些问题只能用数形结合的方法来解，如求2x=x2的解的个数，通过图像可以很直观地把x<0时有一个交点和x>0时有两个交点（2，4）和（4，16）显示出来。
再如求方程tgx=sinx在区间[—10，10]上的解的个数，也可以通过图形来解。但是用数形结合方法一定要注意图形的准确性，要注意同一坐标系中不同图形的相对位置。
数学思想不同于一般的知识，不能用符号、图表或式子表示出来，它的呈现方式是隐蔽的，是难以从书上直接看到的，因此，数学思想方法的教学应用“渗透”的方法。教师要站在方法论的高度上去挖掘教材中的数学思想，课堂上要有意识地引导学生参与探索过程的磨砺，并在概念的引入及解题之后，恰到好处地指出相关的数学思想方法。只要坚持在教学过程中长期渗透，一定能收到较好的效果。