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摘要：基于线热源理论和非线性最小二乘法，建立了岩土热响应测试温度曲线自动拟合方法。考虑反演参数的实际取值范围，借助于惩罚函数方法建立岩土热响应测试约束目标函数，并将其转化为无约束目标函数情形求解，从而实现通过自动拟合岩土热响应测试曲线获取岩土热物性参数的目的；编写了热响应测试解释程序，并通过解释标准热响应测试结果验证了该方法的实用性和可靠性。
关键词：线热源理论；热响应测试；自动拟合
中图分类号：TK124文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0073-04
土壤源热泵系统具有良好的节能和环保特性，近年来在我国得到了广泛的应用。岩土热物性参数作为土壤源热泵系统设计的关键参数，是土壤源热泵地埋管换热器设计的主要依据之一，热物性参数的大小直接影响着整个土壤源热泵项目的可行性和经济性。文献[1]的研究发现，当岩土的导热系数存在10%的偏差时，设计的地下埋管长度将产生5%左右的偏差。地下岩土热物性参数确定传统方法包括查表法、探针法等。然而，由于地下条件复杂，岩土各层土质不同以及其它因素的影响（如地下水），大多数工程应用都需要通过现场岩土热响应测试来获得岩土导热系数及其它相关参数。文献[2]规定，当地埋管地源热泵系统的应用建筑面积大于等于5 000 m2时，应进行岩土热响应试验。
文献[3]采用数值模拟方法和参数估计法研究了进行热响应测试解释，反演土壤导热系数，同时分析了土壤比热容、土壤初始温度、钻孔大小以及测试时间等对测试结果的影响。文献[4]认为采用参数估计法进行热响应测试解释时，现场热响应测试时间可以减少一半。文献[5]在拉丁美洲作了热响应测试， 应用斜率法、双参数估计法以及基于数值解的地热性质测试评估法作了分析与对比。文献[6]则介绍了沙特阿拉伯第一次热响应测试过程。文献[7]建立了热响应测试标准Sandbox模型，并给出了测试数据供研究人员进行方法验证。文献[8]对15年热响应测试工作进行了总结，并指出，热响应测试解释的研究方向为，基于线热源模型和叠加原理的变热流热响应测试解释参数估计方法，并且在解释过程中考虑到反演参数的实际物理意义，估计的参数值应在合理实际范围之内，例如岩土体积热容应小于8 MJ/（m3·K）。
近年来随着地源热泵技术在我国的推广，国内学者也对岩土热响应测试进行了深入的研究。文献[9]利用参数估计方法确定地下岩土的热物性参数。文献[10]提出一个简化的传热模型用于现场热响应测试计算，并将其应用于工程实际，取得了较好的效果。文献[11]进行了岩土热物性测试影响因素的研究，分别应用斜率法、双参数估计法和数值模拟法计算， 研究了计算方法、比热容和计算时间等因素对热物性测试计算结果的影响。文献[12]提出了不变进水温度的现场测试方法。既可用于取热模式，也可用于排热模式，准确性高。为地下土壤的热平衡分析提供参考。缺点是：控制要求高，费用高，数据处理方式复杂等。文献[13]对岩土热物性测试理论与技术研究工作进行了总结，介绍了岩土热物性测试的传热模型、测试方法、数据处理、测试设备研发现状。
目前岩土热响应测试解释方法主要包括斜率法和参数估计方法两种，这些方法都没有考虑到参数实际取值范围的限制。笔者基于非线性最小二乘法和惩罚函数方法，考虑岩土热物性参数的合理取值范围，建立了岩土热响应测试解释曲线自动拟合方法。
1基本数学方法
目前针对地埋管地下换热计算主要包括三种模型：线源模型、圆柱源模型和复合介质模型。相比较而言，线源模型和圆柱源模型比较简单，应用范围广；但线源模型和圆柱源模型在早期拟合方面符合程度不高。这里主要介绍线源模型。
11传热模型
基于以下假设，进行地埋管换热地下温度场计算：地下土壤为无限大的传热介质，且物性均一、各向同性，大地的初始温度均匀，初始温度为T0；地埋管看作无限长线源；钻孔半径为rb，地埋管外径为ro，内径为ri；回填材料导热系数为λg，地埋管管壁导热系数为λp，地层岩土导数系数为λs，岩土体积热容为ρsCs；钻孔内传热为稳态传热过程，单位延米换q。
基于以上假设，时刻t地下温度场满足[14]：
T=T0-（q4πλ）Ei（-ρscs4λst r2）（1）
式中：Ei为幂积分函数。
-Ei（-x）=∫∞x（e-uu）du（2）
根据钻孔内传热为稳态传热过程假设，地埋管中流体温度Tf满足：
Tf=T0-（q4πλ）Ei（-r2b4αt）+qRbt （3）
式中：α=λs/（ρsCs）为岩土热扩散系数；Rbt为钻孔内总热阻，等于管内流体对流热阻Rf，埋管壁热阻Rp和回填材料热阻Rg之和
Rbt=Rf+Rp+Rg （4）
12曲线自动拟合方法
1） 目标函数。岩土热响应测试解释方法是根据测量的地埋管进出口水温、加热功率等数据，反演岩土热物性参数（导热系数、体积热容或钻孔内热阻）。热响应实验解释参数一般为岩土导热系数和钻孔内热阻，或者岩土导热系数和岩土体积热容，将待求解参数表示为向量形式。
X=x1
x2=λs
Rbt或X=x1
x2=λs
ρscs （5）
曲线自动拟合方法具体实施过程为基于非线性最小二乘法，通过调整热物性参数使得目标函数，即现场测试获得的流体平均温度和传热模型计算得到流体温度之间方差达到最小。定义目标函数为
E=∑Ni=1r2i=∑Ni=1（Texpf，i-Tcalf，i）2
i=1， 2， …， N （6）
式中：T exp为实验数据；T calf，i 为模型根据设定参数计算得到的流体温度；N为试验测量的数据组数。 此外，考虑到各参数的实际物理意义，取值需在合理区间之内，满足约束条件：
xmin，i 式（5）～式（7）构成了带约束条件的非线性最小二乘问题。
2） 求解。运用惩罚函数方法将约束条件非线性最小二乘问题式（5）～式（7）转为无约束非线性最小二乘问题[15-16]567，98。综合目标函数式（6）和约束条件式（7），可以定义新的目标函数[15]567为
2方法应用
根据上述介绍的热响应测试自动拟合方法，运用VB编写了计算程序，并根据文献[7]81给出的标准Sandbox试验数据进行测试，Sandbox试验基本参数如表1所示。测试的流体进口温度、出口温度以及流体平均温度变化如图1所示。
表1热响应测试参数
埋管类型双U钻孔深度/m183钻孔直径/mm126埋管内径/mm2733埋管外径/mm334地层初始温度22 ℃ 埋管壁导热系数/
（W·（m·K）-1）039回填材料导热系数/
（W·（m·K）-1）073体积热容[17]/
（kJ·（K·m3）-1） 3 200加热功率/W1 142t/h
1. 进口温度；2. 流体平均温度；3. 出口温度
图1热响应测试温度变化曲线
自动拟合方法计算结果如表2所示，计算中舍去测试前10小时数据，计算迭代5次收敛；导热系数取值区间0<λs<5，钻孔内热阻取值区间 0 表2热响应测试解释结果
导热系数/
（W·（m·K）-1）钻孔内热阻/
（（m·K）·W-1） 参考值[7]2820173 自动拟合方法28870163 t/h
1. TExp；2. TCal
图2Sandbox标准热响应测试曲线自动拟合结果
3结论
1） 考虑岩土热物性参数的实际的取值范围，基于线热源理论和非线性最小二乘法，建立了岩土热响应测试解释目标函数；
2） 借助于惩罚函数方法建立岩土热响应测试约束目标函数，并将其转化为无约束目标函数情形求解；
3） 编写了热响应测试解释程序，实现了岩土热响应测试曲线自动拟合，并通过解释标准热响应测试结果验证了方法的正确性。
参考文献：
[1]KAVANAUGH S. Field tests for ground thermal properties methods and impact on ground-source heat pump design [J]. ASHRAE Transactions， 1992， 98 （2）： 607-615.
[2]中华人民共和国建设部. GB50366-2005地源热泵系统工程技术规范 [S]. 北京：中国建筑工业出版社，2009.
[3]AUSTIN W A， CENK Y， JEFFERY D S. Development of an in-situ system and analysis procedure for measuring ground thermal properties [J]. ASHRAE Trans， 2000， 106 （1）： 365-379.
[4]WAGNER R，CLAUSER C.Evaluating thermal response tests using parameter estimation for thermal conductivity and thermal capacity[J].J. Geophys. Eng.， 2005， 2： 349-356.
[5]ROTH P，GEORGIEV A，BUSSO A，et al.First in situ determination of ground and borehole thermal properties in Latin America[J].Renewable Energy， 2004，29：1 947-1 963.
[6]SHARQAWY M H，SAID S A，MOKHEIMER E M，et al.First in situ determination of the ground thermal conductivity for borehole heat exchanger applications in Saudi Arabia [J].Renewable Energy，2009，34：2 218-2 223.
[7]BEIER R A， SMITH M D， SPITLER J D. Reference data sets for vertical borehole ground heat exchanger models and thermal response test analysis[J]. Geothermics， 2011， 40： 79-85.
[8]SANNER B， HELLSTROM G， SPITLER J D， et al. More than 15 years of mobile Thermal Response Test- a summary of experiences and prospects [C]//Papers presented at the European Geothermal Congress. Italian：European Geothermal Congress， 2013：1-9.
[9]于明志，方肇洪. 现场测量深层岩土热物性方法 [J]. 工程热物理学报，2002，23（3）：354-356.
[10]于明志， 彭晓峰， 方肇洪. 用于现场测量深层岩土导热系数的简化方法 [J]. 热能动力工程，2003，18（5）：512-514.
[11]胡平放，雷飞，孙启明，等. 岩土热物性测试影响因素的研究 [J]. 暖通空调，2009，39（3）：123-127.
[12]WANG H J， QI C Y， DU H P， et al. Improved method and case study of thermal response test for borehole heat exchangers of ground source heat pump system [J]. Renewable Energy， 2010， 727 （35）： 733.
[13]余伟之，胡平放，孙启明，等. 岩土热物性测试理论与技术研究现状 [J].地源热泵，2011（10）：1-8.
[14]刁乃仁，方肇洪. 地埋管地源热泵技术 [M]. 北京：高等教育出版社，2005：48.
[15]ABBASZADEH M， KAMAL M M. Automatic Type Curve Matching for Well Test Analysis [J]. SPE Formation Evaluation， 1988， SPE 16 443： 567-577.
[16]马昌风. 最优化方法及其Matlab程序设计 [M]. 北京：科学出版社，2010：98-99.
[17]BEIER R A. Transient heat transfer in a U-tube borehole heat exchanger [J]. Applied Thermal Engineering， 2014， 62： 256-266.
（责任编辑：何学华，吴晓红）
关键词：线热源理论；热响应测试；自动拟合
中图分类号：TK124文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0073-04
土壤源热泵系统具有良好的节能和环保特性，近年来在我国得到了广泛的应用。岩土热物性参数作为土壤源热泵系统设计的关键参数，是土壤源热泵地埋管换热器设计的主要依据之一，热物性参数的大小直接影响着整个土壤源热泵项目的可行性和经济性。文献[1]的研究发现，当岩土的导热系数存在10%的偏差时，设计的地下埋管长度将产生5%左右的偏差。地下岩土热物性参数确定传统方法包括查表法、探针法等。然而，由于地下条件复杂，岩土各层土质不同以及其它因素的影响（如地下水），大多数工程应用都需要通过现场岩土热响应测试来获得岩土导热系数及其它相关参数。文献[2]规定，当地埋管地源热泵系统的应用建筑面积大于等于5 000 m2时，应进行岩土热响应试验。
文献[3]采用数值模拟方法和参数估计法研究了进行热响应测试解释，反演土壤导热系数，同时分析了土壤比热容、土壤初始温度、钻孔大小以及测试时间等对测试结果的影响。文献[4]认为采用参数估计法进行热响应测试解释时，现场热响应测试时间可以减少一半。文献[5]在拉丁美洲作了热响应测试， 应用斜率法、双参数估计法以及基于数值解的地热性质测试评估法作了分析与对比。文献[6]则介绍了沙特阿拉伯第一次热响应测试过程。文献[7]建立了热响应测试标准Sandbox模型，并给出了测试数据供研究人员进行方法验证。文献[8]对15年热响应测试工作进行了总结，并指出，热响应测试解释的研究方向为，基于线热源模型和叠加原理的变热流热响应测试解释参数估计方法，并且在解释过程中考虑到反演参数的实际物理意义，估计的参数值应在合理实际范围之内，例如岩土体积热容应小于8 MJ/（m3·K）。
近年来随着地源热泵技术在我国的推广，国内学者也对岩土热响应测试进行了深入的研究。文献[9]利用参数估计方法确定地下岩土的热物性参数。文献[10]提出一个简化的传热模型用于现场热响应测试计算，并将其应用于工程实际，取得了较好的效果。文献[11]进行了岩土热物性测试影响因素的研究，分别应用斜率法、双参数估计法和数值模拟法计算， 研究了计算方法、比热容和计算时间等因素对热物性测试计算结果的影响。文献[12]提出了不变进水温度的现场测试方法。既可用于取热模式，也可用于排热模式，准确性高。为地下土壤的热平衡分析提供参考。缺点是：控制要求高，费用高，数据处理方式复杂等。文献[13]对岩土热物性测试理论与技术研究工作进行了总结，介绍了岩土热物性测试的传热模型、测试方法、数据处理、测试设备研发现状。
目前岩土热响应测试解释方法主要包括斜率法和参数估计方法两种，这些方法都没有考虑到参数实际取值范围的限制。笔者基于非线性最小二乘法和惩罚函数方法，考虑岩土热物性参数的合理取值范围，建立了岩土热响应测试解释曲线自动拟合方法。
1基本数学方法
目前针对地埋管地下换热计算主要包括三种模型：线源模型、圆柱源模型和复合介质模型。相比较而言，线源模型和圆柱源模型比较简单，应用范围广；但线源模型和圆柱源模型在早期拟合方面符合程度不高。这里主要介绍线源模型。
11传热模型
基于以下假设，进行地埋管换热地下温度场计算：地下土壤为无限大的传热介质，且物性均一、各向同性，大地的初始温度均匀，初始温度为T0；地埋管看作无限长线源；钻孔半径为rb，地埋管外径为ro，内径为ri；回填材料导热系数为λg，地埋管管壁导热系数为λp，地层岩土导数系数为λs，岩土体积热容为ρsCs；钻孔内传热为稳态传热过程，单位延米换q。
基于以上假设，时刻t地下温度场满足[14]：
T=T0-（q4πλ）Ei（-ρscs4λst r2）（1）
式中：Ei为幂积分函数。
-Ei（-x）=∫∞x（e-uu）du（2）
根据钻孔内传热为稳态传热过程假设，地埋管中流体温度Tf满足：
Tf=T0-（q4πλ）Ei（-r2b4αt）+qRbt （3）
式中：α=λs/（ρsCs）为岩土热扩散系数；Rbt为钻孔内总热阻，等于管内流体对流热阻Rf，埋管壁热阻Rp和回填材料热阻Rg之和
Rbt=Rf+Rp+Rg （4）
12曲线自动拟合方法
1） 目标函数。岩土热响应测试解释方法是根据测量的地埋管进出口水温、加热功率等数据，反演岩土热物性参数（导热系数、体积热容或钻孔内热阻）。热响应实验解释参数一般为岩土导热系数和钻孔内热阻，或者岩土导热系数和岩土体积热容，将待求解参数表示为向量形式。
X=x1
x2=λs
Rbt或X=x1
x2=λs
ρscs （5）
曲线自动拟合方法具体实施过程为基于非线性最小二乘法，通过调整热物性参数使得目标函数，即现场测试获得的流体平均温度和传热模型计算得到流体温度之间方差达到最小。定义目标函数为
E=∑Ni=1r2i=∑Ni=1（Texpf，i-Tcalf，i）2
i=1， 2， …， N （6）
式中：T exp为实验数据；T calf，i 为模型根据设定参数计算得到的流体温度；N为试验测量的数据组数。 此外，考虑到各参数的实际物理意义，取值需在合理区间之内，满足约束条件：
xmin，i
2） 求解。运用惩罚函数方法将约束条件非线性最小二乘问题式（5）～式（7）转为无约束非线性最小二乘问题[15-16]567，98。综合目标函数式（6）和约束条件式（7），可以定义新的目标函数[15]567为
2方法应用
根据上述介绍的热响应测试自动拟合方法，运用VB编写了计算程序，并根据文献[7]81给出的标准Sandbox试验数据进行测试，Sandbox试验基本参数如表1所示。测试的流体进口温度、出口温度以及流体平均温度变化如图1所示。
表1热响应测试参数
埋管类型双U钻孔深度/m183钻孔直径/mm126埋管内径/mm2733埋管外径/mm334地层初始温度22 ℃ 埋管壁导热系数/
（W·（m·K）-1）039回填材料导热系数/
（W·（m·K）-1）073体积热容[17]/
（kJ·（K·m3）-1） 3 200加热功率/W1 142t/h
1. 进口温度；2. 流体平均温度；3. 出口温度
图1热响应测试温度变化曲线
自动拟合方法计算结果如表2所示，计算中舍去测试前10小时数据，计算迭代5次收敛；导热系数取值区间0<λs<5，钻孔内热阻取值区间 0
导热系数/
（W·（m·K）-1）钻孔内热阻/
（（m·K）·W-1） 参考值[7]2820173 自动拟合方法28870163 t/h
1. TExp；2. TCal
图2Sandbox标准热响应测试曲线自动拟合结果
3结论
1） 考虑岩土热物性参数的实际的取值范围，基于线热源理论和非线性最小二乘法，建立了岩土热响应测试解释目标函数；
2） 借助于惩罚函数方法建立岩土热响应测试约束目标函数，并将其转化为无约束目标函数情形求解；
3） 编写了热响应测试解释程序，实现了岩土热响应测试曲线自动拟合，并通过解释标准热响应测试结果验证了方法的正确性。
参考文献：
[1]KAVANAUGH S. Field tests for ground thermal properties methods and impact on ground-source heat pump design [J]. ASHRAE Transactions， 1992， 98 （2）： 607-615.
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[9]于明志，方肇洪. 现场测量深层岩土热物性方法 [J]. 工程热物理学报，2002，23（3）：354-356.
[10]于明志， 彭晓峰， 方肇洪. 用于现场测量深层岩土导热系数的简化方法 [J]. 热能动力工程，2003，18（5）：512-514.
[11]胡平放，雷飞，孙启明，等. 岩土热物性测试影响因素的研究 [J]. 暖通空调，2009，39（3）：123-127.
[12]WANG H J， QI C Y， DU H P， et al. Improved method and case study of thermal response test for borehole heat exchangers of ground source heat pump system [J]. Renewable Energy， 2010， 727 （35）： 733.
[13]余伟之，胡平放，孙启明，等. 岩土热物性测试理论与技术研究现状 [J].地源热泵，2011（10）：1-8.
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[16]马昌风. 最优化方法及其Matlab程序设计 [M]. 北京：科学出版社，2010：98-99.
[17]BEIER R A. Transient heat transfer in a U-tube borehole heat exchanger [J]. Applied Thermal Engineering， 2014， 62： 256-266.
（责任编辑：何学华，吴晓红）