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一、案例
师：今天老师想请小朋友们来帮我解决一个问题. （出示题目）
学校准备举行一场别开生面的运动会，三（１）班有７名同学报名参加了跳绳比赛，５名同学参加踢毽子比赛. 三（２）班、三（３）班也分别派出了７名同学参加跳绳比赛，５名同学参加踢毽子比赛. 请问：三年级一共有多少人参加了跳绳和踢毽子比赛？
学生拿出纸和笔认真计算. （很快一只只小手举了起来，个个脸上写满了自信. ）
师：谁愿意上来板演？
生 １：（５ ＋ ７） × ３
＝ １２ × ３
＝ ３６（人）
师：大家有不同意见吗？
生２：我还可以这样算：５ × ３ ＋ ７ × ３
＝ １５ ＋ ２１
＝ ３６（人）
师：你们认为这样做对吗？
生纷纷点头表示赞同.
师：你们有没有调查过到底是那些人参加了比赛呢？（师出示了三（１）班参赛同学名单. ）
三（１）班参加跳绳比赛：李明、王红、陆小芳、吴燕、姚婷婷、范佳明、成栋.
参加踢毽子比赛：史玉明、张李权、王浩、陆笑笑、江楠.
师：这是一份三（１）班学生参赛情况的名单，三（１）班有多少名同学参加了这两项比赛.
生１：５ ＋ ７ ＝ １２（人）.
师：好，接着我们再来看一下三（２）班学生的参赛名单.
三（２）班参加跳绳比赛：陈栋、吴佳佳、成俞佳、马益敏、张昊天、何杨、周豪亮.
参加踢毽子比赛：姜萧裴、吴佳佳、姜添宇、何杨、马益敏.
生仔细观察（这时学生才意识到刚才的答案是不完善的）
师：发现了什么没有？
生１：我发现吴佳佳、何杨这两人不光参加了跳绳比赛，他俩还同时参加了踢毽子比赛.
生２：不对，还有马益敏也重复了，所以有３个人同时参加了两项比赛.
师：是呀，小朋友们观察的真仔细. 那么三（２）班有多少人参加了比赛？并说明理由.
生１：我认为应该这样做：５ ＋ ７ ＝ １２（人），１２ － ３ ＝ ９（人）.
因为有三人重复了，所以为了避免重复还要减去３人.
生２：我还可以这样做：吴佳佳、何杨、马益敏这三个人出现了两次
所以，参加踢毽子比赛的人数我就当作两人来计算：７ ＋ ２ ＝ ９（人）.
师：两个人都说得有道理. 下面是三（３）班学生的参赛名单. （出示名单）
三（３）班参加跳绳比赛：姜小宇、赵鹏程、陈玉树、周一凡、李秋杰、姜子逸、唐金金.
参加踢毽子比赛：周凡、李秋杰、赵鹏程、姜子逸、陈玉树.
师：三（３）班有多少人参加了这两项比赛？
生：有７人. ５ ＋ ７ ＝ １２（人），１２ － ５ ＝ ７（人）.
生：还可以直接写７人. 因为参加跳绳比赛的７个人当中已经完全包含了踢毽子的５个人.
师：这样算来三年级一共有多少人参加了这两项比赛？
生：是１２ ＋ ９ ＋ ７ ＝ ２８（人）.
师继续追问：这道题还有其他答案吗？
生１：如果三（１）班也重复一人的话，２８还要再减去一人等于２７人．
生２：如果三（１）班踢毽子的人数和跳绳的人数完全重合，就是２８减去５人等于２３人.
生３：如果三个班踢毽子的人数都和跳绳的人数完全重合，那么我应该从刚才算到的２３人里面再减去２等于２１人. 师：有比这更小的答案了吗？
生：这个数是最小的了，因为三个班踢毽子的人数已经完全和跳绳的人数重合了，不可能再少了.
师：也就是三个班参加比赛的人最少共有２１人，那么最多会是多少人呢？
生：假如一个人也不重复的话，就是我们一开始算到的答案，最多是３６人.
师：看来这道题的答案还真多呢？到底有多少个呢？
生：大于等于２１人小于等于３６人这个范围之内都行.
师：小朋友们真爱动脑筋！
……
二、解读
集合的教学一般在初中涉猎，高中较为全面的讲解，现在将这一内容挪至小学是一种大胆尝试. 让我想起郑毓信教授在一次讲座中的真实举例：２０世纪６０年代，一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么？女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’. ”数学家觉得要学习这样一个高度抽象的数学概念，女儿的年龄实在太小了，因此就关切地问道：“你懂吗？”女儿肯定地回答道：“懂！一点也不难. ”“这样抽象的概念会这样容易懂吗？”听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放不下心，因此就追问道：“你们的老师是怎么教你们的？”女儿回答道：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；然后，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复. ”这位幼儿教师的教学方法没有问题，深入浅出地道出了集合的概念，随后的一问却让人深思. 父亲就决定用以下问题作最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？”迟疑了一会儿，女儿最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”
在本节课中学生对集合的理解是否也止于此呢？显然不是，教师通过架设问题让学生在解答问题过程中不断充实条件，制造一个个认知冲突，明晰集合中重复的对象，思维由表面结构逐步迈向纵深结构.
三、启示
学生是主动的参与者，他们能感悟、顿悟，作为教师要做到的就是“运用之妙，存乎一心. ”因为我们给学生的不是简单的物质传递，不是给什么就拥有什么的简单能量守恒，在教学中只有经过师生智慧交融的化学反应，学生才能真正的有所获，可能是知识，更多的是能力，这样的教学不再是量的叠加甚至超越指数运算，这不就是我们所追求的教学境界吗？用心思考每个问题，用心做好教育.
师：今天老师想请小朋友们来帮我解决一个问题. （出示题目）
学校准备举行一场别开生面的运动会，三（１）班有７名同学报名参加了跳绳比赛，５名同学参加踢毽子比赛. 三（２）班、三（３）班也分别派出了７名同学参加跳绳比赛，５名同学参加踢毽子比赛. 请问：三年级一共有多少人参加了跳绳和踢毽子比赛？
学生拿出纸和笔认真计算. （很快一只只小手举了起来，个个脸上写满了自信. ）
师：谁愿意上来板演？
生 １：（５ ＋ ７） × ３
＝ １２ × ３
＝ ３６（人）
师：大家有不同意见吗？
生２：我还可以这样算：５ × ３ ＋ ７ × ３
＝ １５ ＋ ２１
＝ ３６（人）
师：你们认为这样做对吗？
生纷纷点头表示赞同.
师：你们有没有调查过到底是那些人参加了比赛呢？（师出示了三（１）班参赛同学名单. ）
三（１）班参加跳绳比赛：李明、王红、陆小芳、吴燕、姚婷婷、范佳明、成栋.
参加踢毽子比赛：史玉明、张李权、王浩、陆笑笑、江楠.
师：这是一份三（１）班学生参赛情况的名单，三（１）班有多少名同学参加了这两项比赛.
生１：５ ＋ ７ ＝ １２（人）.
师：好，接着我们再来看一下三（２）班学生的参赛名单.
三（２）班参加跳绳比赛：陈栋、吴佳佳、成俞佳、马益敏、张昊天、何杨、周豪亮.
参加踢毽子比赛：姜萧裴、吴佳佳、姜添宇、何杨、马益敏.
生仔细观察（这时学生才意识到刚才的答案是不完善的）
师：发现了什么没有？
生１：我发现吴佳佳、何杨这两人不光参加了跳绳比赛，他俩还同时参加了踢毽子比赛.
生２：不对，还有马益敏也重复了，所以有３个人同时参加了两项比赛.
师：是呀，小朋友们观察的真仔细. 那么三（２）班有多少人参加了比赛？并说明理由.
生１：我认为应该这样做：５ ＋ ７ ＝ １２（人），１２ － ３ ＝ ９（人）.
因为有三人重复了，所以为了避免重复还要减去３人.
生２：我还可以这样做：吴佳佳、何杨、马益敏这三个人出现了两次
所以，参加踢毽子比赛的人数我就当作两人来计算：７ ＋ ２ ＝ ９（人）.
师：两个人都说得有道理. 下面是三（３）班学生的参赛名单. （出示名单）
三（３）班参加跳绳比赛：姜小宇、赵鹏程、陈玉树、周一凡、李秋杰、姜子逸、唐金金.
参加踢毽子比赛：周凡、李秋杰、赵鹏程、姜子逸、陈玉树.
师：三（３）班有多少人参加了这两项比赛？
生：有７人. ５ ＋ ７ ＝ １２（人），１２ － ５ ＝ ７（人）.
生：还可以直接写７人. 因为参加跳绳比赛的７个人当中已经完全包含了踢毽子的５个人.
师：这样算来三年级一共有多少人参加了这两项比赛？
生：是１２ ＋ ９ ＋ ７ ＝ ２８（人）.
师继续追问：这道题还有其他答案吗？
生１：如果三（１）班也重复一人的话，２８还要再减去一人等于２７人．
生２：如果三（１）班踢毽子的人数和跳绳的人数完全重合，就是２８减去５人等于２３人.
生３：如果三个班踢毽子的人数都和跳绳的人数完全重合，那么我应该从刚才算到的２３人里面再减去２等于２１人. 师：有比这更小的答案了吗？
生：这个数是最小的了，因为三个班踢毽子的人数已经完全和跳绳的人数重合了，不可能再少了.
师：也就是三个班参加比赛的人最少共有２１人，那么最多会是多少人呢？
生：假如一个人也不重复的话，就是我们一开始算到的答案，最多是３６人.
师：看来这道题的答案还真多呢？到底有多少个呢？
生：大于等于２１人小于等于３６人这个范围之内都行.
师：小朋友们真爱动脑筋！
……
二、解读
集合的教学一般在初中涉猎，高中较为全面的讲解，现在将这一内容挪至小学是一种大胆尝试. 让我想起郑毓信教授在一次讲座中的真实举例：２０世纪６０年代，一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么？女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’. ”数学家觉得要学习这样一个高度抽象的数学概念，女儿的年龄实在太小了，因此就关切地问道：“你懂吗？”女儿肯定地回答道：“懂！一点也不难. ”“这样抽象的概念会这样容易懂吗？”听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放不下心，因此就追问道：“你们的老师是怎么教你们的？”女儿回答道：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；然后，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复. ”这位幼儿教师的教学方法没有问题，深入浅出地道出了集合的概念，随后的一问却让人深思. 父亲就决定用以下问题作最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？”迟疑了一会儿，女儿最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”
在本节课中学生对集合的理解是否也止于此呢？显然不是，教师通过架设问题让学生在解答问题过程中不断充实条件，制造一个个认知冲突，明晰集合中重复的对象，思维由表面结构逐步迈向纵深结构.
三、启示
学生是主动的参与者，他们能感悟、顿悟，作为教师要做到的就是“运用之妙，存乎一心. ”因为我们给学生的不是简单的物质传递，不是给什么就拥有什么的简单能量守恒，在教学中只有经过师生智慧交融的化学反应，学生才能真正的有所获，可能是知识，更多的是能力，这样的教学不再是量的叠加甚至超越指数运算，这不就是我们所追求的教学境界吗？用心思考每个问题，用心做好教育.