摘 要:本文从积分因子和微分方程的通解之间的关系入手,以具有“”形式的通解为媒介,讨论一阶微分方程的所有积分因子,找到其所有积分因子的抽象表达式。
　　关键词:积分因子一阶微分方程通解
　　中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)03(c)-0205-02
　　
　　关于怎么求解一些特殊方程的积分因子的方法非常的多,在求解的过程中我们会很自然地想到这么一个问题,如果一个方程（不同时恒等于0,以下都这么假定）有积分因子,那么它的积分因子是不是唯一的？如果不唯一,那么积分因子之间有什么联系？怎么去确定其所有的积分因子？
　　
　　1一阶微分方程的积分因子及其通解之间的关系
　　定理1:若、同为
　　 (1)
　　的积分因子,且不恒为常数,则为微分方程(1)的通解。
　　定理2:若为的积分因子,且为其通解,则也是其积分因子。
　　定理3:若为的积分因子,且不恒为常数,则为其积分因子当且仅当为其通解。
　　以上定理常见的微分方程教科书上都有。
　　
　　2一阶微分方程所有积分因子的刻画
　　那么要刻画微分方程的所有积分因子,实质上就只需要刻画出它的所有具有“”形式的通解,然而通解是个不确定的概念,比如,我们可以说的通解为,实质上我們取不到为负值的情况,为了避免这种情况,我们从方程的解（解集）的角度来考虑这个问题。
　　微分方程的解还是方程（甚至为函数）,从和我们就能看出同一个方程可能有很多种不同的形式,相同的方程需要把它们统一起来,简单的称为等价。
　　定义:如果,就称方程与方程等价。
　　容易验证,该等价具有自反性,对称性,传递性。
　　假设为的通解,容易验证对任意可微的一元函数,也是它的通解。反过来说,如果已知及都为的通解,是否一定存在一元函数,满足呢？也许这个结论是正确的,笔者只能证明在某些特定的条件下这个结论是正确的。
　　定理4:如果的元素都满足微分方程（特别地,当的时候就是我们习惯上说的“通解”）,则存在一元函数,满足,其中满足。
　　证明:因为,所以满足与等价,且是唯一的,否则,若、同与等价则由传递性知与等价,所以,故存在映射。
　　断言单:若,则、同与等价,同上。
　　断言满:。
　　因为故满足与等价,即。
　　故,存在为一一映射,满足与等价。
　　断言与等价。
　　显然,取满足,若,则,所以,由单有,所以。
　　即,故与 等价,由等价的传递性,有与等价,或与等价。
　　即。
　　故。
　　即,
　　将看成关于、的二元函数,显然有,其中满足。
　　证毕。
　　定理5:若已知方程的两个不成倍数的积分因子、,则其所有的积分因子都具有的形式。
　　定理6:若已知为方程的积分因子,为其通解,则其所有的积分因子都具有的形式。
　　
　　3例子
　　例1:微分方程以及为积分因子,因而它的所有的积分因子都具有的形式,当然要求有一定的光滑性。
　　例2:一阶线性微分方程只含变量的积分因子为,其通解为,把解出来有,故其所有的积分因子都具有的形式,当然取为常值函数的时候积分因子的表达式比较简单。
　　
　　参考文献
　　[1] 同济大学应用数学系.高等数学（下册）[M].高等教育出版社,2002.
　　[2] 任永泰,史希福,等.常微分方程[M].东北师范大学出版社,1984.
　　[3] 庄万.常微分方程习题解[M].山东科学技术出版社,2003.
　　[4] 孙清华,李金兰,孙昊.常微分方程内容、方法与技巧,2006.
　　[5] 丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社,1991.
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