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摘要：数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。在教学素材梳理的基础上，通过教学实践发展学生合情推理能力，借助激励评价让学生的合情推理能力在“合情合理”中发展;使教师树立培养学生合情推理能力的意识和相应的教学策略;学生运用合情推理解决相应的数学问题，进行有条理的思考，比较清楚地表达自己的思考过程与结果。
关键词：核心素养;推理能力;合情推理
一、问题缘起——推理能力应当作为学生数学核心素养的培养目标
一次区级教研活动中，听了《思考的力量——费马点》一课，教师的设计和引导都很到位，但是学生的回答不尽如人意。原因是课中有很多推理，而学生不会用语言来表达推理过程。
我们知道，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。“推理能力”是数学学习内容中的八大核心概念之一，正如课标所说的“推理能力的发展应该贯穿在整个数学学习过程中。”
推理能力的形成和提高作为学生数学核心素养的培养目标需要一个长期的循序渐进的过程。在“数学思考”板块，课标对于三个学段“推理能力”也有不同要求：第一学段中只提到“能提出一些简单的猜想”，第二学段提出“发展合情推理能力”，第三学段提出“发展合情推理与演绎推理能力”。可见，小学阶段着重培养的推理能力应该是合情推理能力，课标把发展学生合情推理能力的主要任务落实在了第二学段。于是，便有了本课题的研究。
二、问题的思考——寻找第二学段教材中适合发展合情推理的教学素材
能力培养立足课堂，素材寻找立足教材。在教材中，涉及“四大领域”的教学，我们都可以找到适合发展合情推理的教学素材。
1.在“数与代数”中培养合情推理能力
在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”——公式、法则、定律等。因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律。对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算理，能说出运算中每一步依据所涉及的概念运算律和法则，代数不能只重视会熟练地正确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。
2.在“图形与几何”中培养合情推理能力
在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。课标指出：降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形;同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情推理能力。并为学生利用直观进行思考提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。
3.在“统计与概率”中培养合情推理能力
统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、做出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎？首先应由学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据做出决策，确定应该准备什么水果。这个过程是合情推理，其结果只能使绝大多数同学满意。
概率是研究随机现象规律的学科，在教学中学生将结合具体实例，通过掷硬币、转动转盘、摸球、计算器（机）模拟等大量的实验学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对其合理性的理解。
三、问题的实践——教学中并重发展学生合情推理能力的三种基本形式
归纳、类比、猜想是合情推理能力的主要形式，在教学中我们要并重发展这三种基本的合情推理能力，当然某些时候解决问题时这三种基本形式并不是独立运用，而是综合运用的。
1.从特殊到一般，发展学生的归纳推理能力
把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，这种思维过程中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称归纳法。这是一种从个别到一般、从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段。波利亚盛赞欧拉“是数学研究中善于用归纳法的大师，使用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现。”高斯也曾说他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。
在教学法则、定律、公式、结语及解题时经常要进行归纳推理，而且一般用的是不完全归纳法，用不完全归纳法得出的结论不一定正确，还有待严格的证明。但是，不完全归纳法比较适合小学生的年龄特点，易于接受。
2.从特殊到特殊，发展学生的类比推理能力
类比推理是根据两个不同的对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，它是思维进程中由特殊到特殊的推理。这也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段。
在数学思维活动中，类比的表现形式是多种多样的。通常可分为简单的类比与复杂的类比两类。简单的类比即形式的类比。如由“在除法算式中，除数不能为零”，类比推出“分数的分母不能为零”和“比的后项不能为零”。复杂的类比即实质的类比，这种类比能拓宽学生的知识面，引导他们挖掘数量间隐藏着的内在联系，掌握数量间可能引起的变化规律。
3.从联想到验证，发展学生的数学猜想能力
牛顿说过：“没有大膽的猜想，就没有伟大的发现。”猜想又是合理推理最普遍、最重要的一种，归纳也好、类比也好都包含猜想的成分。为了发展学生的核心素养，教师应该教给学生思维方法，鼓励学生对具体问题和具体教材进行分析，通过观察、实验、类比、归纳等手段提出猜想。这样，不仅有助于学生掌握数学知识，满足学生的求知欲望，而且学会探求知识的方法。 数学猜想是运用非逻辑手段得到的一种数学假设，它是人在探索数学规律时的一种策略。数学猜想不是胡思乱想，而是合理猜想，著名的歌德巴赫猜想就是经过合理猜想而获得的。既是猜想，不可能都是正确的，但是毕竟向真理逼近了一步。
四、问题的再思考——让学生的合情推理能力在“合情合理”中发展
顺应学生的认知发展规律，让他们知晓合情推理能力的重要性，进而可以有效激发合情推理的热情，促进合情推理能力的形成。
1.让学生知晓合情推理能力的重要性
（1）故事讲述生活中运用合情推理的好处
合情推理和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的;球体公式是阿基米德“称”出来的;而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。
（2）运用实例让学生感受合情推理的优势
根据小学生年龄特征和认识规律（动作感知——建立表象——形成概念），我们应积极创造条件，要求学生“做出来看一看”，这也是数学课在对猜想进行推理证明前所进行的必要步骤。
如学习“商不变性质”时，当学生提出“被除数变大后，除数不变，商也变大”等猜想，可以引导学生验证“你们发现的规律是不是在除法运算中真的成立呢？”学生通过举例、验证，有些表示赞同，有些甚至会毫无疑问，但当有一个学生发现9÷3=3 10÷3=3……1商并没有变时，引起了激烈争论：当场就有一名学生提出反驳，“有了余数，就说明结果变大了”。学生在争论操作感知时，对商不变性质有了更深刻的体验，合情推理能力也得到了培养。
2.为学生创设合情推理的民主氛围
（1）建立融洽民主的师生关系
无论是概念教学、规则教学、还是技能教学、问题解决的教学都应该坚持“学生为中心”的教学设计理念。一个教师主宰的课堂是难以形成合情推理的氛围。师生感情融洽也是参与教学的感情保证，而“知识情感”则是学生参与教学的“认知内驱力”，教师要把学生的情感调整到乐于研究、探索问题上，让学生在“寻找回来的世界中”动脑、动手、动口去探索猜测（要积极鼓励各种猜测，不能只限定在教师的猜想中），在亲身经历知识的产生过程中，提高应用合情推理的技能。
（2）运用激励表扬的言语诱导
教学中经常结合教学内容采用“你们觉得”“胆子大一点，猜猜看”等提问语以及“很不错，有自己的观点”等鼓励语往往可以激发学生合情推理并采用“我觉得”、“我认为”等语言表述自己的观点。这些有意识的言语诱导可能促进学生自觉形成合情推理的意识。
3.引导学生在反思评价中培养合情推理能力
对学生合情推理的能力的培养与提高离不开学生对其“提出猜想——检验”;“修正猜想——验证、证明”这一学习过程的反思。无论是提出猜想的过程、修正猜想还是验证猜想的过程都必须进行适当的反思，通过反思可以让学生更好地认识猜想的提出必须要有合理性且充满着探索性和创造性，感受验证和证明的必要。反思也是提高学生提出猜想的质量，修正猜想的能力和验证猜想的能力必不可少的重要一环，同时也是学生学会数学思考的必要条件。
总之，在学生进行合情推理的过程中教师作为学生学習的合作者和指导者，必须对学生的合情推理进行积极地评价，尤其对学生的认识体会教师要进行及时的、有效的分析和概括，帮助学生对解决问题的方法进行提炼和哲学思考。
四川师范大学
关键词：核心素养;推理能力;合情推理
一、问题缘起——推理能力应当作为学生数学核心素养的培养目标
一次区级教研活动中，听了《思考的力量——费马点》一课，教师的设计和引导都很到位，但是学生的回答不尽如人意。原因是课中有很多推理，而学生不会用语言来表达推理过程。
我们知道，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。“推理能力”是数学学习内容中的八大核心概念之一，正如课标所说的“推理能力的发展应该贯穿在整个数学学习过程中。”
推理能力的形成和提高作为学生数学核心素养的培养目标需要一个长期的循序渐进的过程。在“数学思考”板块，课标对于三个学段“推理能力”也有不同要求：第一学段中只提到“能提出一些简单的猜想”，第二学段提出“发展合情推理能力”，第三学段提出“发展合情推理与演绎推理能力”。可见，小学阶段着重培养的推理能力应该是合情推理能力，课标把发展学生合情推理能力的主要任务落实在了第二学段。于是，便有了本课题的研究。
二、问题的思考——寻找第二学段教材中适合发展合情推理的教学素材
能力培养立足课堂，素材寻找立足教材。在教材中，涉及“四大领域”的教学，我们都可以找到适合发展合情推理的教学素材。
1.在“数与代数”中培养合情推理能力
在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”——公式、法则、定律等。因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律。对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算理，能说出运算中每一步依据所涉及的概念运算律和法则，代数不能只重视会熟练地正确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。
2.在“图形与几何”中培养合情推理能力
在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。课标指出：降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形;同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情推理能力。并为学生利用直观进行思考提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。
3.在“统计与概率”中培养合情推理能力
统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、做出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎？首先应由学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据做出决策，确定应该准备什么水果。这个过程是合情推理，其结果只能使绝大多数同学满意。
概率是研究随机现象规律的学科，在教学中学生将结合具体实例，通过掷硬币、转动转盘、摸球、计算器（机）模拟等大量的实验学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对其合理性的理解。
三、问题的实践——教学中并重发展学生合情推理能力的三种基本形式
归纳、类比、猜想是合情推理能力的主要形式，在教学中我们要并重发展这三种基本的合情推理能力，当然某些时候解决问题时这三种基本形式并不是独立运用，而是综合运用的。
1.从特殊到一般，发展学生的归纳推理能力
把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，这种思维过程中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称归纳法。这是一种从个别到一般、从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段。波利亚盛赞欧拉“是数学研究中善于用归纳法的大师，使用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现。”高斯也曾说他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。
在教学法则、定律、公式、结语及解题时经常要进行归纳推理，而且一般用的是不完全归纳法，用不完全归纳法得出的结论不一定正确，还有待严格的证明。但是，不完全归纳法比较适合小学生的年龄特点，易于接受。
2.从特殊到特殊，发展学生的类比推理能力
类比推理是根据两个不同的对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，它是思维进程中由特殊到特殊的推理。这也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段。
在数学思维活动中，类比的表现形式是多种多样的。通常可分为简单的类比与复杂的类比两类。简单的类比即形式的类比。如由“在除法算式中，除数不能为零”，类比推出“分数的分母不能为零”和“比的后项不能为零”。复杂的类比即实质的类比，这种类比能拓宽学生的知识面，引导他们挖掘数量间隐藏着的内在联系，掌握数量间可能引起的变化规律。
3.从联想到验证，发展学生的数学猜想能力
牛顿说过：“没有大膽的猜想，就没有伟大的发现。”猜想又是合理推理最普遍、最重要的一种，归纳也好、类比也好都包含猜想的成分。为了发展学生的核心素养，教师应该教给学生思维方法，鼓励学生对具体问题和具体教材进行分析，通过观察、实验、类比、归纳等手段提出猜想。这样，不仅有助于学生掌握数学知识，满足学生的求知欲望，而且学会探求知识的方法。 数学猜想是运用非逻辑手段得到的一种数学假设，它是人在探索数学规律时的一种策略。数学猜想不是胡思乱想，而是合理猜想，著名的歌德巴赫猜想就是经过合理猜想而获得的。既是猜想，不可能都是正确的，但是毕竟向真理逼近了一步。
四、问题的再思考——让学生的合情推理能力在“合情合理”中发展
顺应学生的认知发展规律，让他们知晓合情推理能力的重要性，进而可以有效激发合情推理的热情，促进合情推理能力的形成。
1.让学生知晓合情推理能力的重要性
（1）故事讲述生活中运用合情推理的好处
合情推理和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的;球体公式是阿基米德“称”出来的;而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。
（2）运用实例让学生感受合情推理的优势
根据小学生年龄特征和认识规律（动作感知——建立表象——形成概念），我们应积极创造条件，要求学生“做出来看一看”，这也是数学课在对猜想进行推理证明前所进行的必要步骤。
如学习“商不变性质”时，当学生提出“被除数变大后，除数不变，商也变大”等猜想，可以引导学生验证“你们发现的规律是不是在除法运算中真的成立呢？”学生通过举例、验证，有些表示赞同，有些甚至会毫无疑问，但当有一个学生发现9÷3=3 10÷3=3……1商并没有变时，引起了激烈争论：当场就有一名学生提出反驳，“有了余数，就说明结果变大了”。学生在争论操作感知时，对商不变性质有了更深刻的体验，合情推理能力也得到了培养。
2.为学生创设合情推理的民主氛围
（1）建立融洽民主的师生关系
无论是概念教学、规则教学、还是技能教学、问题解决的教学都应该坚持“学生为中心”的教学设计理念。一个教师主宰的课堂是难以形成合情推理的氛围。师生感情融洽也是参与教学的感情保证，而“知识情感”则是学生参与教学的“认知内驱力”，教师要把学生的情感调整到乐于研究、探索问题上，让学生在“寻找回来的世界中”动脑、动手、动口去探索猜测（要积极鼓励各种猜测，不能只限定在教师的猜想中），在亲身经历知识的产生过程中，提高应用合情推理的技能。
（2）运用激励表扬的言语诱导
教学中经常结合教学内容采用“你们觉得”“胆子大一点，猜猜看”等提问语以及“很不错，有自己的观点”等鼓励语往往可以激发学生合情推理并采用“我觉得”、“我认为”等语言表述自己的观点。这些有意识的言语诱导可能促进学生自觉形成合情推理的意识。
3.引导学生在反思评价中培养合情推理能力
对学生合情推理的能力的培养与提高离不开学生对其“提出猜想——检验”;“修正猜想——验证、证明”这一学习过程的反思。无论是提出猜想的过程、修正猜想还是验证猜想的过程都必须进行适当的反思，通过反思可以让学生更好地认识猜想的提出必须要有合理性且充满着探索性和创造性，感受验证和证明的必要。反思也是提高学生提出猜想的质量，修正猜想的能力和验证猜想的能力必不可少的重要一环，同时也是学生学会数学思考的必要条件。
总之，在学生进行合情推理的过程中教师作为学生学習的合作者和指导者，必须对学生的合情推理进行积极地评价，尤其对学生的认识体会教师要进行及时的、有效的分析和概括，帮助学生对解决问题的方法进行提炼和哲学思考。
四川师范大学