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众所周知函数概念是中学数学中最重要的核心概念之一函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终学会用函数的观点和方法解决数学问题是高中数学主要的学习任务之一。然而函数概念因其取元的任意性、成象的唯一性、以及对应法则“f”的高度抽象性而成为最难把握的概念之一无论是教师的教还是学生的学都存在很大困难。因此如何全面而深刻地理解函数概念、破解概念教学难点是学好函数概念的根本所在。
一、巧借引喻剖析概念
在函数的定义中“对于任意给定的x都有唯一确定的y与之对应”同时强调“任意”和“给定”这两个关键词以及对应关系f对学生的理解是有障碍的。为了突破这一障碍我们可以借用引喻：用两个“QQ群”分别代表某个幼儿园里所有孩子组成的“孩子群”和所有妈妈组成的“妈妈群”。由于每个孩子都对应一个唯一的妈妈因此函数就相当于“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈这种对应关系。下面就概念的本质和内涵结合这个引喻逐一加以剖析以加深对概念的理解。
。函数的本质是一种对应即集合A中的每个元素x在集合中都有唯一的对应值y。这种对应可以是一对一、二对一或多对一的关系如引喻中“孩子群”中的孩子可以是独生子女、双胞胎、或兄妹几个他们在“妈妈群”中分别对应同一个妈妈。这种对应要求集合A元素必须具有任意性、集合的对应元素必须具有唯一性。因此A、两集合有先后顺序之分是主导与从属的关系。若A→是函数则→A不一定是函数如引喻中“妈妈群”对应“孩子群”就不是函数关系因为一个妈妈可以对应两个或三个孩子。
。函数的三要素：定义域A、对应关系f、值域C。定义域即为集合A如“孩子群”中的所有孩子构成的集合；对应关系f指A中元素在中对应值的一种对应关系如引喻中的对应法则即为孩子找自己的妈妈；值域C是定义域A中的元素x在中对应值y构成的集合故C如引喻中每个孩子对应的妈妈组成的新“群”一定是“妈妈群”的一部分。如果一个函数定义域、对应关系确定的话值域也就确定。
3。如何理解集合A、都是非空数集？即A或是空集时不能在A、之间建立函数关系如y=-x-不论x取何值-x-都无意义即为空集因此y=-x-不是函数关系；另外当A、为非空但不是数集时仍不能构成函数关系。如引喻中“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈是一一对应但它不是函数因为如果视这两个群为两个集合的话则这两个集合都不是数集但如果给每个孩子和每个妈妈分别编号则孩子的号码与妈妈的号码成函数关系因为此时它定义在数集上了。
。符号f（x）的理解。f（x）是一个整体符号表示一个对应值不能把它拆成乘积或某种运算应该理解为x→fy即自变量x在对应关系f的作用下其对应值为y记作y=f（x）。例如假设引喻中某孩子的编号是其妈妈的编号是3即A中元素在中的对应值是3那么就记作f（）=3。f是一种对应法则与所用的字母及表达式都无关只要定义域相同对应法则相同就是同一个函数。例如：f（x）=-x，x∈，，3和g（t）=（-t）3，t∈，，3是同一函数。
二、利用图像、数表理解概念
发展学生数形结合的能力是获得对数学概念深刻理解的重要途径。因此对函数概念的认识辅之以图像、数表的形象表示可以减少函数概念的学习困难。
。选用典型、贴切的图形、图表作例子给学生提供直观的机会使抽象的函数符号形象化尤其是对定义域、值域、对应关系的直观理解。
例下表是浙江省03年PM。5浓度污染排名单位：微克/米3）。试问：PM。5浓度年均值是序号的函数吗？是的话指出其定义域、值域、对应法则。
序号35780
城市湖州金华嘉兴衢州绍兴杭州温州台州宁波丽水舟山
PM。5浓度年均值73。5。0。。5。。5。553。050。7。3。
問：上述例子可以用解析式表示函数吗？
三、学生举例体验内化概念
函数概念的高度抽象性使得学生理解和掌握难度较大需要学生更多的经验积累作支撑。因此教师除了要选用典型例子对概念作剖析外还要让学生去亲历体验自行举例自行用函数定义进行分析、比较、讨论经历从具体到抽象的概括过程在亲身体验中获得内心感悟这样学生才会感悟深刻。
通过前面教师对概念的讲解以及从数、形两方面对概念进行理解后学生对函数的本质有了一定的认识这时候有必要对学生对函数本质的理解状况进行检查而检查的有效手段是让学生举例子并组织学生自己讨论。
函数概念包括两个本质属性——变量和对应关系。而上述例子正是围绕“两个本质属性”这一核心设计的。应该说这种设计是递进式的有助于学生对概念的逐步深入理解。对学生举的例子正确的由其他学生作点评、不正确的由其他学生予以纠正并举出恰当的例子。通过学生这种“讨论”式的学习学生不仅对概念的理解深刻而且概念的本质也内化了。
结束语
对于函数这样高度抽象的概念教师必须采取“多举并进”、“多管齐下”的教学策略：除了教师精心备课找准例子对概念深入剖析外还要注意引导学生从数与形两方面相结合对概念进行辨识同时要发动学生动手、动口、动脑、亲力体验概念的概况过程。只有这样才能破解教学难点提高课堂教学效果。
作者单位：湖南省衡阳市第一中学
一、巧借引喻剖析概念
在函数的定义中“对于任意给定的x都有唯一确定的y与之对应”同时强调“任意”和“给定”这两个关键词以及对应关系f对学生的理解是有障碍的。为了突破这一障碍我们可以借用引喻：用两个“QQ群”分别代表某个幼儿园里所有孩子组成的“孩子群”和所有妈妈组成的“妈妈群”。由于每个孩子都对应一个唯一的妈妈因此函数就相当于“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈这种对应关系。下面就概念的本质和内涵结合这个引喻逐一加以剖析以加深对概念的理解。
。函数的本质是一种对应即集合A中的每个元素x在集合中都有唯一的对应值y。这种对应可以是一对一、二对一或多对一的关系如引喻中“孩子群”中的孩子可以是独生子女、双胞胎、或兄妹几个他们在“妈妈群”中分别对应同一个妈妈。这种对应要求集合A元素必须具有任意性、集合的对应元素必须具有唯一性。因此A、两集合有先后顺序之分是主导与从属的关系。若A→是函数则→A不一定是函数如引喻中“妈妈群”对应“孩子群”就不是函数关系因为一个妈妈可以对应两个或三个孩子。
。函数的三要素：定义域A、对应关系f、值域C。定义域即为集合A如“孩子群”中的所有孩子构成的集合；对应关系f指A中元素在中对应值的一种对应关系如引喻中的对应法则即为孩子找自己的妈妈；值域C是定义域A中的元素x在中对应值y构成的集合故C如引喻中每个孩子对应的妈妈组成的新“群”一定是“妈妈群”的一部分。如果一个函数定义域、对应关系确定的话值域也就确定。
3。如何理解集合A、都是非空数集？即A或是空集时不能在A、之间建立函数关系如y=-x-不论x取何值-x-都无意义即为空集因此y=-x-不是函数关系；另外当A、为非空但不是数集时仍不能构成函数关系。如引喻中“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈是一一对应但它不是函数因为如果视这两个群为两个集合的话则这两个集合都不是数集但如果给每个孩子和每个妈妈分别编号则孩子的号码与妈妈的号码成函数关系因为此时它定义在数集上了。
。符号f（x）的理解。f（x）是一个整体符号表示一个对应值不能把它拆成乘积或某种运算应该理解为x→fy即自变量x在对应关系f的作用下其对应值为y记作y=f（x）。例如假设引喻中某孩子的编号是其妈妈的编号是3即A中元素在中的对应值是3那么就记作f（）=3。f是一种对应法则与所用的字母及表达式都无关只要定义域相同对应法则相同就是同一个函数。例如：f（x）=-x，x∈，，3和g（t）=（-t）3，t∈，，3是同一函数。
二、利用图像、数表理解概念
发展学生数形结合的能力是获得对数学概念深刻理解的重要途径。因此对函数概念的认识辅之以图像、数表的形象表示可以减少函数概念的学习困难。
。选用典型、贴切的图形、图表作例子给学生提供直观的机会使抽象的函数符号形象化尤其是对定义域、值域、对应关系的直观理解。
例下表是浙江省03年PM。5浓度污染排名单位：微克/米3）。试问：PM。5浓度年均值是序号的函数吗？是的话指出其定义域、值域、对应法则。
序号35780
城市湖州金华嘉兴衢州绍兴杭州温州台州宁波丽水舟山
PM。5浓度年均值73。5。0。。5。。5。553。050。7。3。
問：上述例子可以用解析式表示函数吗？
三、学生举例体验内化概念
函数概念的高度抽象性使得学生理解和掌握难度较大需要学生更多的经验积累作支撑。因此教师除了要选用典型例子对概念作剖析外还要让学生去亲历体验自行举例自行用函数定义进行分析、比较、讨论经历从具体到抽象的概括过程在亲身体验中获得内心感悟这样学生才会感悟深刻。
通过前面教师对概念的讲解以及从数、形两方面对概念进行理解后学生对函数的本质有了一定的认识这时候有必要对学生对函数本质的理解状况进行检查而检查的有效手段是让学生举例子并组织学生自己讨论。
函数概念包括两个本质属性——变量和对应关系。而上述例子正是围绕“两个本质属性”这一核心设计的。应该说这种设计是递进式的有助于学生对概念的逐步深入理解。对学生举的例子正确的由其他学生作点评、不正确的由其他学生予以纠正并举出恰当的例子。通过学生这种“讨论”式的学习学生不仅对概念的理解深刻而且概念的本质也内化了。
结束语
对于函数这样高度抽象的概念教师必须采取“多举并进”、“多管齐下”的教学策略：除了教师精心备课找准例子对概念深入剖析外还要注意引导学生从数与形两方面相结合对概念进行辨识同时要发动学生动手、动口、动脑、亲力体验概念的概况过程。只有这样才能破解教学难点提高课堂教学效果。
作者单位：湖南省衡阳市第一中学