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【摘要】 在教学实践中，教师常常发现学生对错误熟视无睹，又对新出现的问题缺乏深入思考，那么平时作业的效果就收效甚微，如果在教学中我们能够立足错误，研读笔记，积极研究错题本中存在的问题，从中寻找学生的问题所在，培养学生的耐错品质，相信学生会受益匪浅.
【关键词】错误;品质;评价
在平常的教学活动中，学生的常规作业经过老师的数次讲解，但是学生在解题时出现屡屡犯错的现象.教师采取最多的方法就是重复讲、多次讲，但效果不佳.学生对错误旁若无视，屡改屡错，与作业最终的效果相差甚远.所以，在平时教学中要以错题本为平台，使教师认清学生错误的原因，挖掘错误的价值，找出问题存在的根源，让学生反思自己所犯的错误，在改正错误的过程中逐渐培养起良好的耐错品质.
一、面对问题，积极应对，正视错误
美国学者廷伯莱克（Timberlake）也曾在《教师实施创造性思维教学参考中》重点提出：“允许学生发生错误，错误有时就是数学思维的闪光点.” [1]因此，在错题本中，学生记录的不仅仅是错误，而是自己对问题的想法，如果教师能从这个层面重新审视错误，那么学生的错误便成了老师解决问题之道，创新之源.同时，也给教师培养学生的基本数学思想提供了许多可能性.
在数学课堂教学中，教师要严格要求学生认真完成课堂作业，这样既可使学生养成良好的学习品质，也能帮助学生形成良好的思维品质，对学生优秀学习习惯的形成和自主能力的形成有很重要的意义.错题集收集的是学生的数学问题，梳理学生在解题中的良好学习态度和优秀学习品质，指导学生对数学问题归纳分析、梳理，抓住解决问题的关键，使问题条理化，从而系统化地解决数学问题.对于学生的数学作业中存在的问题，教师要督促学生做到有错必纠，有纠必改，有改必思.虽然在错题本上开始这样记录和改错，无疑给那些学习基础差、习惯不良的学生增加了负担，但是只要不怕困难、加强辅导、迎难而上、合理安排时间坚持下去，持之以恒，学生的学习一定会有变化.如果换一个角度把这样的训练看成端正学习态度、培养好习惯的好时机，那么既可以强化学生的思维方式，又可以加深学生对数学问题的理解.例如，在学习绝对值这一节时 ，学生对抽象的绝对值概念往往理解不到位，特别是不会运算|a|，我们可以通过具体的游戏让学生理解绝对值的概念，教师选几名学生，让学生站成一排，选中间一名学生为坐标原点，让其他学生分站在这名学生的两侧，这时就形成了一个活动的数轴，任意一名同学到中间这名同学的距离就称为这名同学的绝对值，通过游戏让学生知道一个数的绝对值就是这个数到原点的距离.绝对值问题，教师一味抽象地讲解，学生听得费解，做题时学生仍旧错误不断.再如，在学习猜测三角形的内角和是180°时，教师应放手让学生大胆猜想，分组合作讨论，得出结论，在证明三角形内角和定理时，教师不必及时评价，最后矫正错误的猜想.如学生证明思路有障碍时，教师再适时引导：“通过拼图，我们把三个角的顶点拼在一起，知道了三角形的内角和，你能想到辅助线怎么作吗？”再比如，在学习函数这一节内容时，学生往往感觉函数内容抽象，对函数概念理解不深，不透彻，考查函数概念的题目往往错误较多，部分学生总是不会找，感觉找不准切入口.教师应鼓励学生大胆尝试，对学生在这个猜想中的方法都应该包容，鼓励同学们对错误认真思考，这样学生对错误的认识才能更深刻.学生对错误的定位也是提升解题能力的必要经历，教师及时处理的态度，可以打消学生心中的顾虑，学生自然也愿意把错误记录下来.
二、面对错误，寻找内应，主动解决
每一名学生学习习惯的养成，都与教师长期的训导和家长的督促是分不开的，一旦形成，就不宜改变.良好的习惯有利于促进学生智力的长足发展，它对提高学生的学习能力、思维能力、辨析能力有很重要的作用.平时学习中部分同学的作业马马虎虎地做，有的甚至抄襲同学的答案，字迹潦草，错误率高，做错的题目分析了多次，下次做还是错;甚至有的同学根本就没有理解老师讲的方法，让这部分学生纠正自己的解题方法，写出正确的解题过程，不改变做题习惯和学习方法，很难在根本上解决这部分学生的学习状况.对于这部分学生，几乎没有做完习题后会主动反思分析，做错时只就题改题，不能对知识系统和数学方法进行归纳.面对数学作业中的种种“独出心裁”，教师该如何处理呢，是借助这个错误，对待这类问题时让这种“独出心裁”发挥其应有的作用，还是听之任之，让其随意发展呢？教师对待错题的态度，往往影响学生对待问题、对待错误的态度，简单粗暴的处理无法满足学生的心理需求，不能保证学生对错误的深度挖掘，自然也维持不了学生记录错误的动力和积极性.此时，教师若独具慧眼，那便是一种思维的独创[2].
在教学中，教师要重视对学生反思意识的培养，注重引导、挖掘错误的成因，使学生逐步养成反思意识和反思能力.如在学习九年级人教版下册锐角三角函数、计算复杂图形的面积时，首先得肯定学生求组合图形面积的方法，
对一些比较特殊的图形使用分割法，让学生交流作辅助线，分割成直角三角形或规则的四边形，老师及时表扬和欣赏学生好的做法.对于思路不正确的算法，指出不足的同时，鼓励学生：“你再想一想，这个组合图形应该怎样分割？它的面积应该怎么求？是否要转化？怎么转化？相信你会发现问题，并改正过来的.”例如，在学习用频率估计概率这一节内容时，在教师让学生知道频率和概率的定义的情况下，可以动手实验，让学生明白什么情况下可以用频率估计概率，什么情况下频率不能代替概率，让学生明白概率的计算方法.这样既带有表扬鼓励和引导，又在交流中提示解题思路的评价，能使学生的创新思维、反思意识得到可持续发展.
三、研读笔记，寻找规律，突破难点
学生在错误本中记录的问题是自己感兴趣的数学问题，也是教学中的重点和难点.研读这些典型问题，可以帮助学生降低错误率，突破教学的重、难点，所以教师要求在错题本中记录的数学问题，步骤要翔实，方法要多样，易错点要鲜明.例如，在学习分解因式这一节时，学生利用十字相乘法分解因式不够熟练，在分解因式上也总是错误频犯，教师应让学生充分利用错题本中的典型问题，特别是对一些分组才能分解因式的式子，教师还要通过交换错题本的形式，让学生在记录时也能研读他人的做法、思想，在研读中比较发现存在不同错误的原因，从而加深对数学错误成因的理解.事实上，每一名同学对问题的理解不一样，每一名同学所记录的问题也不一样.教师可以通过错题本专栏及错题本电子平台，让同学们分析原因，取长补短，提升自己的思辨能力，提高练习的准确性.俗话说，吃一堑，长一智.如果同学们能从做的错题中得到启发，真正提升自己的解题能力，学习成绩就能有较大的变化.让每一名学生明白错误并不可怕，理解掌握数学问题的本质才是最为重要的.教师也可以定时定期开展专栏交流，让学生总结同一问题的不同想法、不同问题的同一思想，在不断分享、不断研读成长的过程中，既获得了基本的数学基础知识和基本的活动经验，还可以养成独立自主、独立管理的习惯. 四、回看错题，重视错题思考路径
例如，人教版八年级的三角形全等，学生对为什么三角形全等没有“边边角”的判别方法，我们可以放手让学生做两个三角形，它们满足“边边角”的条件，但它们的形状大小不一样.教师在让学生分组讨论时，要看学生做出的三角形是否满足边边角，然后学生讨论，为什么有些组满足边边角的条件画出的三角形是全等的、有些组画出的边边角的三角形为什么不全等，为什么会产生这样的现象呢？教师适当引导，让学生明白错误所在，知道满足边边角的两个三角形不一定全等.对于举例有问题的学生，教师应及时提供帮助，让有能力的同学提供反例图，加深学生对这个问题的认识.再比如，学生在学习一元二次方程的应用时，面对两两握手问题和单循环比赛问题，以及互送贺卡、互送照片问题，让学生通过对比错误，理解两两握手问题和两两互送照片问题的异同点.为了让学生对这类问题理解到位，分析比较透彻，我们可以设计如下对话：
师：两两握手问题中，如果设握手的有x人，那么每个人握手多少次？
生：每个人握手（x-1）次.
师：那么x个人握手多少次呢？
生：x个人一共握手 x（x-1）[]2 次.
师：那么x个人互送照片时，每人送出多少张呢？
生：每人送出（x-1）张.
师：那么x个人共送出多少张照片呢？
生：x个人一共送出x（x-1）张.
师：对比一下，为什么这次积不除以2呢？
学生通过这些典型事例，不仅加深了对这类应用题的理解，而且提升了自己的学习品质.在平时教学中，教师要善于引导学生的多向思维、逆向思维，培养学生的逻辑思维能力.在数学教学过程中，教师应多注意自己的教学方法，多采用学生喜欢而有自信的方法，积极鼓励学生去发现更多的问题，促进学生深入探究的能力，保护他们的问题意识.在“辩中学”的过程中，学生才能享受到数学学习的乐趣.“所谓知其然而且知其所以然”.对于错误，要引导学生分析出现错误的原因，弄清是基础知识问题，还是数学概念问题;是知识思辨、理解不到位造成的错误，还是审题不严、理解错误导致的错误.弄清楚这些问题，有助于有的放矢地解决学生的学习问题.对于基础比较差的同学，要强化基础，对于知识点不清楚的同学，要强化课堂教学，对于解题思路错误的同学，要强化思维能力，加深对问题的再理解.为了提高学生对知识的理解深度，教师要加强对一题多解问题、多向思维问题的讲解和辨析，对于学生在解答中的问题，要梳理成因，找出学生存在错误的原因，逐一分析，帮助学生提高解题能力，让学生的基础知识更扎实，思维方式更灵活.学生逐步学会分析错误产生的原因，才能提高学生分析问题的能力.
五、反思错误成因，提升学习动力
在数学教学中，要重视教师的教，更应强调学生对“数”的学.在教学中，教师在重视学生学习积极性的同时，更要注重学生学习方法的培养，让学生在课堂上注重数学知识的学法、重视数学知识点自学，提升学生对数学知识的阅读能力和审题能力，让学生养成对数学概念的辨析能力，引导学生积极主动地自主学习.对于阅读能力较弱的同学，老师要鼓励学生大胆地读，大胆地说出自己在阅读时的所思所想，对于学生反复阅读还不能理解的题目，教师要适度地引导，直到读懂题意为止.在平时教学中，学生的错误虽然经过老師的多次讲解或是经过自己的独立思考有了一定的理解，但是学生对问题的理解还不深入，必须让学生有一个自我深度认识的过程，教师应提供平台让学生自己讲一讲，更应该让小组内的同学互相听一听、评一评.我们应当注意发现学生的思维闪光点，注意保护学生的思维灵光.对于学生平时学习中出现的错误，鼓励学生多角度、多方位地思考错误形成的原因，从而达到培养发散思维能力的目的.对于学生在学习过程中对问题的错误理解，解题的奇异怪点，教师在课堂教学中要注重从学生的学情出发，寻找错误成因，教师要积极主动地创设一种善于自主探究的问题情境，鼓励学生多角度审视问题，重视对学生学法的指导.鼓励学生积极主动地说出自己的想法，对照错误成因，因势利导，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力.
实际上，错题本中所蕴含的不仅仅是数学知识，还有学生对待数学问题的态度，反映的是学生的思维轨迹，反映的是学生思维的成长过程.学生在学习中的错误，是常见现象，对于不同学习阶段出现的错误，教师应根据学生的认知，找出每一个错误形成的原因，发现规律，可帮助学生纠正错误.总之，对待学生学习过程中出现的错误，既要重视错误形成的成因分析，更要重视在改正错误中培养学生的耐错品质，重视学生在改正错误中学习能力的提高.错题本的记录研究，把数学知识与思维品质完美高效地融合在一起，在对错误的反思中培养学生的耐错品质，提高学生对数学知识的灵活掌握与运用能力，让学生养成良好的学习习惯.
【参考文献】
[1] 蔡国民.论创造性学习中的发散思维[J].甘肃教育，2016（7）.
[2] 宋盛华.初中数学小组活动中活动内容设计的探究与反思[J].数理化学习，2018（5）.
【关键词】错误;品质;评价
在平常的教学活动中，学生的常规作业经过老师的数次讲解，但是学生在解题时出现屡屡犯错的现象.教师采取最多的方法就是重复讲、多次讲，但效果不佳.学生对错误旁若无视，屡改屡错，与作业最终的效果相差甚远.所以，在平时教学中要以错题本为平台，使教师认清学生错误的原因，挖掘错误的价值，找出问题存在的根源，让学生反思自己所犯的错误，在改正错误的过程中逐渐培养起良好的耐错品质.
一、面对问题，积极应对，正视错误
美国学者廷伯莱克（Timberlake）也曾在《教师实施创造性思维教学参考中》重点提出：“允许学生发生错误，错误有时就是数学思维的闪光点.” [1]因此，在错题本中，学生记录的不仅仅是错误，而是自己对问题的想法，如果教师能从这个层面重新审视错误，那么学生的错误便成了老师解决问题之道，创新之源.同时，也给教师培养学生的基本数学思想提供了许多可能性.
在数学课堂教学中，教师要严格要求学生认真完成课堂作业，这样既可使学生养成良好的学习品质，也能帮助学生形成良好的思维品质，对学生优秀学习习惯的形成和自主能力的形成有很重要的意义.错题集收集的是学生的数学问题，梳理学生在解题中的良好学习态度和优秀学习品质，指导学生对数学问题归纳分析、梳理，抓住解决问题的关键，使问题条理化，从而系统化地解决数学问题.对于学生的数学作业中存在的问题，教师要督促学生做到有错必纠，有纠必改，有改必思.虽然在错题本上开始这样记录和改错，无疑给那些学习基础差、习惯不良的学生增加了负担，但是只要不怕困难、加强辅导、迎难而上、合理安排时间坚持下去，持之以恒，学生的学习一定会有变化.如果换一个角度把这样的训练看成端正学习态度、培养好习惯的好时机，那么既可以强化学生的思维方式，又可以加深学生对数学问题的理解.例如，在学习绝对值这一节时 ，学生对抽象的绝对值概念往往理解不到位，特别是不会运算|a|，我们可以通过具体的游戏让学生理解绝对值的概念，教师选几名学生，让学生站成一排，选中间一名学生为坐标原点，让其他学生分站在这名学生的两侧，这时就形成了一个活动的数轴，任意一名同学到中间这名同学的距离就称为这名同学的绝对值，通过游戏让学生知道一个数的绝对值就是这个数到原点的距离.绝对值问题，教师一味抽象地讲解，学生听得费解，做题时学生仍旧错误不断.再如，在学习猜测三角形的内角和是180°时，教师应放手让学生大胆猜想，分组合作讨论，得出结论，在证明三角形内角和定理时，教师不必及时评价，最后矫正错误的猜想.如学生证明思路有障碍时，教师再适时引导：“通过拼图，我们把三个角的顶点拼在一起，知道了三角形的内角和，你能想到辅助线怎么作吗？”再比如，在学习函数这一节内容时，学生往往感觉函数内容抽象，对函数概念理解不深，不透彻，考查函数概念的题目往往错误较多，部分学生总是不会找，感觉找不准切入口.教师应鼓励学生大胆尝试，对学生在这个猜想中的方法都应该包容，鼓励同学们对错误认真思考，这样学生对错误的认识才能更深刻.学生对错误的定位也是提升解题能力的必要经历，教师及时处理的态度，可以打消学生心中的顾虑，学生自然也愿意把错误记录下来.
二、面对错误，寻找内应，主动解决
每一名学生学习习惯的养成，都与教师长期的训导和家长的督促是分不开的，一旦形成，就不宜改变.良好的习惯有利于促进学生智力的长足发展，它对提高学生的学习能力、思维能力、辨析能力有很重要的作用.平时学习中部分同学的作业马马虎虎地做，有的甚至抄襲同学的答案，字迹潦草，错误率高，做错的题目分析了多次，下次做还是错;甚至有的同学根本就没有理解老师讲的方法，让这部分学生纠正自己的解题方法，写出正确的解题过程，不改变做题习惯和学习方法，很难在根本上解决这部分学生的学习状况.对于这部分学生，几乎没有做完习题后会主动反思分析，做错时只就题改题，不能对知识系统和数学方法进行归纳.面对数学作业中的种种“独出心裁”，教师该如何处理呢，是借助这个错误，对待这类问题时让这种“独出心裁”发挥其应有的作用，还是听之任之，让其随意发展呢？教师对待错题的态度，往往影响学生对待问题、对待错误的态度，简单粗暴的处理无法满足学生的心理需求，不能保证学生对错误的深度挖掘，自然也维持不了学生记录错误的动力和积极性.此时，教师若独具慧眼，那便是一种思维的独创[2].
在教学中，教师要重视对学生反思意识的培养，注重引导、挖掘错误的成因，使学生逐步养成反思意识和反思能力.如在学习九年级人教版下册锐角三角函数、计算复杂图形的面积时，首先得肯定学生求组合图形面积的方法，
对一些比较特殊的图形使用分割法，让学生交流作辅助线，分割成直角三角形或规则的四边形，老师及时表扬和欣赏学生好的做法.对于思路不正确的算法，指出不足的同时，鼓励学生：“你再想一想，这个组合图形应该怎样分割？它的面积应该怎么求？是否要转化？怎么转化？相信你会发现问题，并改正过来的.”例如，在学习用频率估计概率这一节内容时，在教师让学生知道频率和概率的定义的情况下，可以动手实验，让学生明白什么情况下可以用频率估计概率，什么情况下频率不能代替概率，让学生明白概率的计算方法.这样既带有表扬鼓励和引导，又在交流中提示解题思路的评价，能使学生的创新思维、反思意识得到可持续发展.
三、研读笔记，寻找规律，突破难点
学生在错误本中记录的问题是自己感兴趣的数学问题，也是教学中的重点和难点.研读这些典型问题，可以帮助学生降低错误率，突破教学的重、难点，所以教师要求在错题本中记录的数学问题，步骤要翔实，方法要多样，易错点要鲜明.例如，在学习分解因式这一节时，学生利用十字相乘法分解因式不够熟练，在分解因式上也总是错误频犯，教师应让学生充分利用错题本中的典型问题，特别是对一些分组才能分解因式的式子，教师还要通过交换错题本的形式，让学生在记录时也能研读他人的做法、思想，在研读中比较发现存在不同错误的原因，从而加深对数学错误成因的理解.事实上，每一名同学对问题的理解不一样，每一名同学所记录的问题也不一样.教师可以通过错题本专栏及错题本电子平台，让同学们分析原因，取长补短，提升自己的思辨能力，提高练习的准确性.俗话说，吃一堑，长一智.如果同学们能从做的错题中得到启发，真正提升自己的解题能力，学习成绩就能有较大的变化.让每一名学生明白错误并不可怕，理解掌握数学问题的本质才是最为重要的.教师也可以定时定期开展专栏交流，让学生总结同一问题的不同想法、不同问题的同一思想，在不断分享、不断研读成长的过程中，既获得了基本的数学基础知识和基本的活动经验，还可以养成独立自主、独立管理的习惯. 四、回看错题，重视错题思考路径
例如，人教版八年级的三角形全等，学生对为什么三角形全等没有“边边角”的判别方法，我们可以放手让学生做两个三角形，它们满足“边边角”的条件，但它们的形状大小不一样.教师在让学生分组讨论时，要看学生做出的三角形是否满足边边角，然后学生讨论，为什么有些组满足边边角的条件画出的三角形是全等的、有些组画出的边边角的三角形为什么不全等，为什么会产生这样的现象呢？教师适当引导，让学生明白错误所在，知道满足边边角的两个三角形不一定全等.对于举例有问题的学生，教师应及时提供帮助，让有能力的同学提供反例图，加深学生对这个问题的认识.再比如，学生在学习一元二次方程的应用时，面对两两握手问题和单循环比赛问题，以及互送贺卡、互送照片问题，让学生通过对比错误，理解两两握手问题和两两互送照片问题的异同点.为了让学生对这类问题理解到位，分析比较透彻，我们可以设计如下对话：
师：两两握手问题中，如果设握手的有x人，那么每个人握手多少次？
生：每个人握手（x-1）次.
师：那么x个人握手多少次呢？
生：x个人一共握手 x（x-1）[]2 次.
师：那么x个人互送照片时，每人送出多少张呢？
生：每人送出（x-1）张.
师：那么x个人共送出多少张照片呢？
生：x个人一共送出x（x-1）张.
师：对比一下，为什么这次积不除以2呢？
学生通过这些典型事例，不仅加深了对这类应用题的理解，而且提升了自己的学习品质.在平时教学中，教师要善于引导学生的多向思维、逆向思维，培养学生的逻辑思维能力.在数学教学过程中，教师应多注意自己的教学方法，多采用学生喜欢而有自信的方法，积极鼓励学生去发现更多的问题，促进学生深入探究的能力，保护他们的问题意识.在“辩中学”的过程中，学生才能享受到数学学习的乐趣.“所谓知其然而且知其所以然”.对于错误，要引导学生分析出现错误的原因，弄清是基础知识问题，还是数学概念问题;是知识思辨、理解不到位造成的错误，还是审题不严、理解错误导致的错误.弄清楚这些问题，有助于有的放矢地解决学生的学习问题.对于基础比较差的同学，要强化基础，对于知识点不清楚的同学，要强化课堂教学，对于解题思路错误的同学，要强化思维能力，加深对问题的再理解.为了提高学生对知识的理解深度，教师要加强对一题多解问题、多向思维问题的讲解和辨析，对于学生在解答中的问题，要梳理成因，找出学生存在错误的原因，逐一分析，帮助学生提高解题能力，让学生的基础知识更扎实，思维方式更灵活.学生逐步学会分析错误产生的原因，才能提高学生分析问题的能力.
五、反思错误成因，提升学习动力
在数学教学中，要重视教师的教，更应强调学生对“数”的学.在教学中，教师在重视学生学习积极性的同时，更要注重学生学习方法的培养，让学生在课堂上注重数学知识的学法、重视数学知识点自学，提升学生对数学知识的阅读能力和审题能力，让学生养成对数学概念的辨析能力，引导学生积极主动地自主学习.对于阅读能力较弱的同学，老师要鼓励学生大胆地读，大胆地说出自己在阅读时的所思所想，对于学生反复阅读还不能理解的题目，教师要适度地引导，直到读懂题意为止.在平时教学中，学生的错误虽然经过老師的多次讲解或是经过自己的独立思考有了一定的理解，但是学生对问题的理解还不深入，必须让学生有一个自我深度认识的过程，教师应提供平台让学生自己讲一讲，更应该让小组内的同学互相听一听、评一评.我们应当注意发现学生的思维闪光点，注意保护学生的思维灵光.对于学生平时学习中出现的错误，鼓励学生多角度、多方位地思考错误形成的原因，从而达到培养发散思维能力的目的.对于学生在学习过程中对问题的错误理解，解题的奇异怪点，教师在课堂教学中要注重从学生的学情出发，寻找错误成因，教师要积极主动地创设一种善于自主探究的问题情境，鼓励学生多角度审视问题，重视对学生学法的指导.鼓励学生积极主动地说出自己的想法，对照错误成因，因势利导，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力.
实际上，错题本中所蕴含的不仅仅是数学知识，还有学生对待数学问题的态度，反映的是学生的思维轨迹，反映的是学生思维的成长过程.学生在学习中的错误，是常见现象，对于不同学习阶段出现的错误，教师应根据学生的认知，找出每一个错误形成的原因，发现规律，可帮助学生纠正错误.总之，对待学生学习过程中出现的错误，既要重视错误形成的成因分析，更要重视在改正错误中培养学生的耐错品质，重视学生在改正错误中学习能力的提高.错题本的记录研究，把数学知识与思维品质完美高效地融合在一起，在对错误的反思中培养学生的耐错品质，提高学生对数学知识的灵活掌握与运用能力，让学生养成良好的学习习惯.
【参考文献】
[1] 蔡国民.论创造性学习中的发散思维[J].甘肃教育，2016（7）.
[2] 宋盛华.初中数学小组活动中活动内容设计的探究与反思[J].数理化学习，2018（5）.