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解析几何中确定参数的取值范围，几乎成了高考必考题之一，是综合性较强的一类问题。
在平时学习时，对于这类问题的求解普遍感觉困难。在学习过程中，总结归纳出解决这类问题的基本思路是：寻找所求变量与相关变量的关系，从中建立相应的函数方程或不等式，将问题转化为求相应函数、方程或不等式中有关变量的取值范围。即转化为代数中求值域或最值问题的求解，或建立相应关系式转化为几何表示，根据关系式的几何意义求解。
本文通过几个简单的例子，加以解释。首先，明确解析几何中产生范围的因素主要有两个方向面：一是当直线与曲线相交时，消元后得到的一元二次方程的判别式大于零。二是圆锥曲线上点坐标所具有的范围。这个范围往往隐含在已知条件中，而恰恰是这个范围决定了所要解决的目标的范围问题。下列通过实例介绍解决这两类问题的方法。
一、利用消元后的一元二次方程的判别式大于零
例1：直线Y=kx 1与双曲线。X2-y2=1的左支交于A、B两点。另一条直线L过点（-2，0）和AB中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为。
满分解答：由方程组y=kx 1
x2-y2=1消去y
得（1-k2）x2-2kx-2=0 ①
设A（x1，y1），B（x2，y2），由于直线y=kx 1与双曲线左支交于A、B两点，则方程①应有不大于-1的不等实根。
令f（x）=（1-k2）x2-2kx-2則Δ=（-2k）2 8（1-k2）>0
2-k1-k2<-1
（1-k2）f（-1）>0且1-k2≠0
解得-2 -11
k>1或k<-1 得1 又由一元二次方程根与函数关系，知x1 x2=2k1-k2
∴AB中点为（k1-k2，11-k2）
∴直线L的方程为y-011-k2-0=x 2k1-k2 2
即y=x 2-2k2 k 2令x=0，得
b = 2-2k2 k 2 = 1-（k-14）2 1716
（找到目标b与k的函数关系）
∵12
例2：已知抛物线C方程为y2=-4x，设过点N（1，0）的直线L斜率为k，且与抛物线C相交于点P、Q，若P、Q两点只在第二象限内运动，线段PQ的垂直平分线交X轴于点M，则M点横坐标取值范围为
解题思路：根据条件设出PQ的方程，然后利用根与系数关系确定线段PQ中点坐标，求出垂直平分线方程，从而可求范围。
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得PQ方程为y=k（x-1）（k≠0）与y2=-4x联立消元得ky2 4y 4k=0，y1 y2=-4k，y1y2=4∵直线L交抛物线C于两点
∴Δ=16-16k>0
y1>0
y2>0 ∴得-1 可求得线段PQ中点坐标为（-2k2 1，-2k）
∴线段PQ的垂直平分线为y 2k=-1k（x 2k2-1）
令y=0，得M点的横坐标为Xm=-2k2-1<-3
（k2>1）
∴M横坐标取值范围（-∞，-6）。
归纳：①由判别式确定变量K范围
②用K表示目标变量
二、转化为几何知识求解范围
例3：已知F1F2是椭圆的2个焦点，满足MF1·MF2=0点M总在椭圆内，求椭圆离心率范围。
解：∴MF1·MF2=0∴MF1⊥MF2
∵点M在以O为圆心、以C为半径的圆上∵点M总在椭圆内部，∵c 又∵a2=b2 c2∴a2>2c2∴0 例3：若点A（4，0）在线L与曲线（x-2）2 y2=1有公共点，求直线L斜率取值范围。
解：显然直线L斜率存在，设直线L方程为y=k（x-3）
即：kx-y-1=0∵直线L与曲线（x-2）2 y2=1有公共点
∴2k-0-3kk2 1≤1∴-33≤k≤33
（也可以转化为判别式法）
例4：已知坐标平面内定点A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和动点P（x，y），若AP·BP=3求MP·NP取值范围？
满分解答：根据AP·BP=3得（x 1，y）·（x-1，y）=3即X2 y2=4
由MP·NP=x2 y2-4x-4y=（x-2）2 （y-2）2-8
∵（x-2）2 （y-2）2表示圆x2 y2=4上的点到点（2，2）距离，
这个距离的最小值是22-2，最大值为22 2
∴MP·NP的范围是4-82，4 82
三、点在曲线上确定范围
例5：双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，则PF1=2PF2，则双曲线离心率范围？
解：设PF2=m，则PF1=2m，∴m=2a
又∵P在椭圆上，且PF2≥c-a，∴2a≥c-a，1 例6：已知F1F2是椭圆x24 y2b2=1（b>0）在X轴上的两个焦点，若椭圆上存在点P，使PF1·PF2=0，求b点取值范围。
解：先证结论，若B为椭圆短轴端点
则∠F1PF2≤∠F1BF2设∠F1PF2=θ
PF1=r1，PF2=r2
cosθ = r21 r22 -4c22r1 r2 = 4a2-4c22r1 r2 -1
又∵r1r2≤（r1 r22）2=a2
∴cosθ≥a2 b2-4c22a2=cosF1BF2
当且仅当r1=r2时等号成立，即∠F1PF2≤∠F1BF2，题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°
当且仅当∠F1BF2≥90°即cos∠F1B0≤22∴b≤22a∵a≤2
∴b≤22*2=2∴b∈（0，2]
另法：∵r1 r2=2ar12 r22=4c2
∴r1r2=2b2又2r1r2≤r12 r22
∴b2≤c2=4-b2即b∈（0，2]
例7：若点O过点F（-2，0）分别是双曲线x2a2-y2=1（a>0）中心和左焦点，点M为双曲线右支上的任意一点，求OM·FM取值范围。
思路分析：①首先，根据双曲线中心过焦点求出双曲线方程
②再将OM，FM用坐标表示出来，列出OM·FM的表达式
③根据点P的坐标范围，从而求出结果
解：∵a2=（-2）2-1=3∴双曲线方程式：x23-y2=1
在平时学习时，对于这类问题的求解普遍感觉困难。在学习过程中，总结归纳出解决这类问题的基本思路是：寻找所求变量与相关变量的关系，从中建立相应的函数方程或不等式，将问题转化为求相应函数、方程或不等式中有关变量的取值范围。即转化为代数中求值域或最值问题的求解，或建立相应关系式转化为几何表示，根据关系式的几何意义求解。
本文通过几个简单的例子，加以解释。首先，明确解析几何中产生范围的因素主要有两个方向面：一是当直线与曲线相交时，消元后得到的一元二次方程的判别式大于零。二是圆锥曲线上点坐标所具有的范围。这个范围往往隐含在已知条件中，而恰恰是这个范围决定了所要解决的目标的范围问题。下列通过实例介绍解决这两类问题的方法。
一、利用消元后的一元二次方程的判别式大于零
例1：直线Y=kx 1与双曲线。X2-y2=1的左支交于A、B两点。另一条直线L过点（-2，0）和AB中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为。
满分解答：由方程组y=kx 1
x2-y2=1消去y
得（1-k2）x2-2kx-2=0 ①
设A（x1，y1），B（x2，y2），由于直线y=kx 1与双曲线左支交于A、B两点，则方程①应有不大于-1的不等实根。
令f（x）=（1-k2）x2-2kx-2則Δ=（-2k）2 8（1-k2）>0
2-k1-k2<-1
（1-k2）f（-1）>0且1-k2≠0
解得-2 -11
k>1或k<-1 得1 又由一元二次方程根与函数关系，知x1 x2=2k1-k2
∴AB中点为（k1-k2，11-k2）
∴直线L的方程为y-011-k2-0=x 2k1-k2 2
即y=x 2-2k2 k 2令x=0，得
b = 2-2k2 k 2 = 1-（k-14）2 1716
（找到目标b与k的函数关系）
∵12
例2：已知抛物线C方程为y2=-4x，设过点N（1，0）的直线L斜率为k，且与抛物线C相交于点P、Q，若P、Q两点只在第二象限内运动，线段PQ的垂直平分线交X轴于点M，则M点横坐标取值范围为
解题思路：根据条件设出PQ的方程，然后利用根与系数关系确定线段PQ中点坐标，求出垂直平分线方程，从而可求范围。
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得PQ方程为y=k（x-1）（k≠0）与y2=-4x联立消元得ky2 4y 4k=0，y1 y2=-4k，y1y2=4∵直线L交抛物线C于两点
∴Δ=16-16k>0
y1>0
y2>0 ∴得-1 可求得线段PQ中点坐标为（-2k2 1，-2k）
∴线段PQ的垂直平分线为y 2k=-1k（x 2k2-1）
令y=0，得M点的横坐标为Xm=-2k2-1<-3
（k2>1）
∴M横坐标取值范围（-∞，-6）。
归纳：①由判别式确定变量K范围
②用K表示目标变量
二、转化为几何知识求解范围
例3：已知F1F2是椭圆的2个焦点，满足MF1·MF2=0点M总在椭圆内，求椭圆离心率范围。
解：∴MF1·MF2=0∴MF1⊥MF2
∵点M在以O为圆心、以C为半径的圆上∵点M总在椭圆内部，∵c 又∵a2=b2 c2∴a2>2c2∴0 例3：若点A（4，0）在线L与曲线（x-2）2 y2=1有公共点，求直线L斜率取值范围。
解：显然直线L斜率存在，设直线L方程为y=k（x-3）
即：kx-y-1=0∵直线L与曲线（x-2）2 y2=1有公共点
∴2k-0-3kk2 1≤1∴-33≤k≤33
（也可以转化为判别式法）
例4：已知坐标平面内定点A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和动点P（x，y），若AP·BP=3求MP·NP取值范围？
满分解答：根据AP·BP=3得（x 1，y）·（x-1，y）=3即X2 y2=4
由MP·NP=x2 y2-4x-4y=（x-2）2 （y-2）2-8
∵（x-2）2 （y-2）2表示圆x2 y2=4上的点到点（2，2）距离，
这个距离的最小值是22-2，最大值为22 2
∴MP·NP的范围是4-82，4 82
三、点在曲线上确定范围
例5：双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，则PF1=2PF2，则双曲线离心率范围？
解：设PF2=m，则PF1=2m，∴m=2a
又∵P在椭圆上，且PF2≥c-a，∴2a≥c-a，1 例6：已知F1F2是椭圆x24 y2b2=1（b>0）在X轴上的两个焦点，若椭圆上存在点P，使PF1·PF2=0，求b点取值范围。
解：先证结论，若B为椭圆短轴端点
则∠F1PF2≤∠F1BF2设∠F1PF2=θ
PF1=r1，PF2=r2
cosθ = r21 r22 -4c22r1 r2 = 4a2-4c22r1 r2 -1
又∵r1r2≤（r1 r22）2=a2
∴cosθ≥a2 b2-4c22a2=cosF1BF2
当且仅当r1=r2时等号成立，即∠F1PF2≤∠F1BF2，题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°
当且仅当∠F1BF2≥90°即cos∠F1B0≤22∴b≤22a∵a≤2
∴b≤22*2=2∴b∈（0，2]
另法：∵r1 r2=2ar12 r22=4c2
∴r1r2=2b2又2r1r2≤r12 r22
∴b2≤c2=4-b2即b∈（0，2]
例7：若点O过点F（-2，0）分别是双曲线x2a2-y2=1（a>0）中心和左焦点，点M为双曲线右支上的任意一点，求OM·FM取值范围。
思路分析：①首先，根据双曲线中心过焦点求出双曲线方程
②再将OM，FM用坐标表示出来，列出OM·FM的表达式
③根据点P的坐标范围，从而求出结果
解：∵a2=（-2）2-1=3∴双曲线方程式：x23-y2=1