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摘 要:元素多于位置,可以将元素捆绑分配。元素不区分时就可以解决,最好用组合办法计数。
关键词:元素捆绑
在高中(理)数学教材中,对概率分布列作了一定的研究,由于普通高中学生概率基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。尤其是高三复习阶段,要对分布列的基本概念和基本性质灵活应用,还需再深入学习。
元素捆绑解决分布列计数问题
对事件计数时,元素多于位置,可以将元素捆绑分配。
例1. 将5封信投入3个不同的邮筒,没有空邮筒,第一个邮筒的信件数为ξ,求ξ的分布列及期望。
思路点拨:元素捆绑的不同方式及局部均匀分组问题的处理。
解:将5封信投入3个不同的邮筒,没有空邮筒是对5封信捆绑为3堆有2种捆绑办法,然后再排列的不同方法一共有N=CA+A=150。
当ξ=1时,第一个邮筒的信件数为1。先选1封信放进第一个邮筒,然后对其余4封信捆绑为2堆有2种捆绑办法。P(ξ=1)==。
当ξ=2时,第一个邮筒的信件数为2。先选2封信放进第一个邮筒,然后对其余3封信捆绑为2堆有1种捆绑办法。P(ξ=2)==。
当ξ=3时,第一个邮筒的信件数为3。先选2封信放进第一个邮筒。P(ξ=3)==
Eξ=
解后反思:1.求解分布列的关键求出随机变量ξ每一个值概率。
2.求解概率分布可用概率和为1来检验。
例2.6本不同的书分给3个人,每人至少分得1本,甲得书数为ξ,求ξ的分布列及期望。
解:6本不同的书分给3个人,每人至少分得1本。需要对元素捆绑成三堆然后分配给三个人,一共有三种不同捆绑办法,注意会出现局部均匀分配的问题。
N=CA+C·C·A+CC=540
當ξ=1时,甲得书数为1本。先选1本书给甲,然后对其余5本书捆绑为2堆有2种捆绑办法然后分配。P(ξ=1)==
同理,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==
Eξ=2
元素相同组合计数解决分布列计数问题
在对元素计数,元素不区分时就可以解决,最好用组合办法计数。
例3. 某人有6把相似钥匙,其中仅有2把钥匙可以打开房门,试开锁次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
思路点拨:把钥匙分两类,按要求选择2个位置放置开房门的钥匙。
解:由于6把相似钥匙,其中仅有2把钥匙可以打开房门,所以最好看成组合问题。
当ξ=1时,第一把可以打开房门,而剩下一把在后边5个位置均可。
P(ξ=1)===
当ξ=2时,仅有第二把可以打开房门,而剩下一把在后边4个位置均可。
P(ξ=2)==
同理,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)=
Eξ=
解后反思:此题亦可按排列计数不过比较复杂。
例4. 有10只不同的试验产品,其中有4只次品,6只正品,现每次取一只测试,直到测出3只次品为止,检测次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
解:正品和正品均无区别,次品和次品也没区别,是组合问题。
ξ的可取值3,4,5,6,7,8,9
当ξ=3时,前三件是次品,第四件次品可在后边7个位置均可。P(ξ=3)==
当ξ=4时,前三件有两件是次品,第四件是次品,最后一件在后边6个位置均可。
P(ξ=4)==
当ξ=5时,前四件有两件是次品,第五件是次品,最后一件在后边5个位置均可。
P(ξ=5)==
当ξ=6时,前五件有两件是次品,第六件是次品,最后一件在后边4个位置均可。
P(ξ=7)==
同理,P(ξ=8)==;P(ξ=9)==
Eξ=
利用分布列解决概率问题
例5:甲射手命中目标概率分别是0.6,乙射手命中目标概率分别是0.8。训练时各射击3次。求甲击中目标次数比乙击中目标次数多的概率。
思路点拨:甲击中目标次数比乙击中目标次数多包括多种情况,而各种情况又服从二项分布。为此利用分布列解决较为容易。
解:设甲击中目标次数为X,乙击中目标次数为Y.
P(x=0)=C030.43=0.064P(Y=0)=C030.23=0.008
P(x=1)=C130.42(0.6)=0.288 P(Y=1)=C130.22(0.8)=0.096
P(x=2)=C230.41(0.6)2=0.432P(Y=2)=C230.21(0.8)2=0.384
P(x=3)=C330.63=0.216 P(Y=3)=C330.83=0.512
P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=1,0)+P(X=3,Y=0,1,2)= 0.15264
附相关练习题
1.7本不同的书,分给甲、乙、丙三人。甲得书数为为ξ,求ξ的分布列及期望。
2.20张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买2张,则前3个购买者中,中奖人数ξ,求ξ的分布列及期望。
3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在7局4胜制中,所打局数为ξ,求ξ的分布列及期望。
4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛。男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,男生参选数为ξ,求ξ的分布列及期望。
5.某人有7把钥匙其中仅有3把钥匙可以打开房门,开锁次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
6.6人分4张同样的足球票,每人至多分两张,而且票必须分完,得票人数为ξ,求ξ的分布列及期望。
7.学校召开学生代表大会,高二年级的3个班共选6名代表,每班至少1名,一班所去人数为ξ,求ξ的分布列及期望。
8.公共汽车上有4位乘客,汽车沿途停靠6个站,停车次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
9.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台参加展览,原装计算机参展数为ξ,求ξ的分布列及期望
10.在10瓶饮料中,有5瓶已过了保质期,逐一检测,直到过期产品全部确定为止检验次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
11.5封信投入4个信箱,空信箱数是ξ,求ξ的分布列及期望。
12.5名旅客随机地住入旅馆的3间客房中,所占房间数为ξ,求ξ的分布列及期望。
13.关8只果蝇箱内混进2只苍蝇,于是,逐个放出,直至箱内没有苍蝇为止,放出果蝇数为ξ,求ξ的分布列及期望。
14.从装有10个红球和5个白球的口袋中,任意摸出4个球,白球个数为ξ,求ξ的分布列及期望。
15.一盒中装有一打(12个)乒乓球,其中9个新的,3个旧的(用过的球即为旧的),从盒中任取3个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量,求ξ的分布列。
16.已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病。下面是两种化验方法:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止。
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望。
关键词:元素捆绑
在高中(理)数学教材中,对概率分布列作了一定的研究,由于普通高中学生概率基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。尤其是高三复习阶段,要对分布列的基本概念和基本性质灵活应用,还需再深入学习。
元素捆绑解决分布列计数问题
对事件计数时,元素多于位置,可以将元素捆绑分配。
例1. 将5封信投入3个不同的邮筒,没有空邮筒,第一个邮筒的信件数为ξ,求ξ的分布列及期望。
思路点拨:元素捆绑的不同方式及局部均匀分组问题的处理。
解:将5封信投入3个不同的邮筒,没有空邮筒是对5封信捆绑为3堆有2种捆绑办法,然后再排列的不同方法一共有N=CA+A=150。
当ξ=1时,第一个邮筒的信件数为1。先选1封信放进第一个邮筒,然后对其余4封信捆绑为2堆有2种捆绑办法。P(ξ=1)==。
当ξ=2时,第一个邮筒的信件数为2。先选2封信放进第一个邮筒,然后对其余3封信捆绑为2堆有1种捆绑办法。P(ξ=2)==。
当ξ=3时,第一个邮筒的信件数为3。先选2封信放进第一个邮筒。P(ξ=3)==
Eξ=
解后反思:1.求解分布列的关键求出随机变量ξ每一个值概率。
2.求解概率分布可用概率和为1来检验。
例2.6本不同的书分给3个人,每人至少分得1本,甲得书数为ξ,求ξ的分布列及期望。
解:6本不同的书分给3个人,每人至少分得1本。需要对元素捆绑成三堆然后分配给三个人,一共有三种不同捆绑办法,注意会出现局部均匀分配的问题。
N=CA+C·C·A+CC=540
當ξ=1时,甲得书数为1本。先选1本书给甲,然后对其余5本书捆绑为2堆有2种捆绑办法然后分配。P(ξ=1)==
同理,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==
Eξ=2
元素相同组合计数解决分布列计数问题
在对元素计数,元素不区分时就可以解决,最好用组合办法计数。
例3. 某人有6把相似钥匙,其中仅有2把钥匙可以打开房门,试开锁次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
思路点拨:把钥匙分两类,按要求选择2个位置放置开房门的钥匙。
解:由于6把相似钥匙,其中仅有2把钥匙可以打开房门,所以最好看成组合问题。
当ξ=1时,第一把可以打开房门,而剩下一把在后边5个位置均可。
P(ξ=1)===
当ξ=2时,仅有第二把可以打开房门,而剩下一把在后边4个位置均可。
P(ξ=2)==
同理,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)=
Eξ=
解后反思:此题亦可按排列计数不过比较复杂。
例4. 有10只不同的试验产品,其中有4只次品,6只正品,现每次取一只测试,直到测出3只次品为止,检测次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
解:正品和正品均无区别,次品和次品也没区别,是组合问题。
ξ的可取值3,4,5,6,7,8,9
当ξ=3时,前三件是次品,第四件次品可在后边7个位置均可。P(ξ=3)==
当ξ=4时,前三件有两件是次品,第四件是次品,最后一件在后边6个位置均可。
P(ξ=4)==
当ξ=5时,前四件有两件是次品,第五件是次品,最后一件在后边5个位置均可。
P(ξ=5)==
当ξ=6时,前五件有两件是次品,第六件是次品,最后一件在后边4个位置均可。
P(ξ=7)==
同理,P(ξ=8)==;P(ξ=9)==
Eξ=
利用分布列解决概率问题
例5:甲射手命中目标概率分别是0.6,乙射手命中目标概率分别是0.8。训练时各射击3次。求甲击中目标次数比乙击中目标次数多的概率。
思路点拨:甲击中目标次数比乙击中目标次数多包括多种情况,而各种情况又服从二项分布。为此利用分布列解决较为容易。
解:设甲击中目标次数为X,乙击中目标次数为Y.
P(x=0)=C030.43=0.064P(Y=0)=C030.23=0.008
P(x=1)=C130.42(0.6)=0.288 P(Y=1)=C130.22(0.8)=0.096
P(x=2)=C230.41(0.6)2=0.432P(Y=2)=C230.21(0.8)2=0.384
P(x=3)=C330.63=0.216 P(Y=3)=C330.83=0.512
P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=1,0)+P(X=3,Y=0,1,2)= 0.15264
附相关练习题
1.7本不同的书,分给甲、乙、丙三人。甲得书数为为ξ,求ξ的分布列及期望。
2.20张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买2张,则前3个购买者中,中奖人数ξ,求ξ的分布列及期望。
3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在7局4胜制中,所打局数为ξ,求ξ的分布列及期望。
4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛。男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,男生参选数为ξ,求ξ的分布列及期望。
5.某人有7把钥匙其中仅有3把钥匙可以打开房门,开锁次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
6.6人分4张同样的足球票,每人至多分两张,而且票必须分完,得票人数为ξ,求ξ的分布列及期望。
7.学校召开学生代表大会,高二年级的3个班共选6名代表,每班至少1名,一班所去人数为ξ,求ξ的分布列及期望。
8.公共汽车上有4位乘客,汽车沿途停靠6个站,停车次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
9.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台参加展览,原装计算机参展数为ξ,求ξ的分布列及期望
10.在10瓶饮料中,有5瓶已过了保质期,逐一检测,直到过期产品全部确定为止检验次数为ξ,求ξ的分布列及期望。
11.5封信投入4个信箱,空信箱数是ξ,求ξ的分布列及期望。
12.5名旅客随机地住入旅馆的3间客房中,所占房间数为ξ,求ξ的分布列及期望。
13.关8只果蝇箱内混进2只苍蝇,于是,逐个放出,直至箱内没有苍蝇为止,放出果蝇数为ξ,求ξ的分布列及期望。
14.从装有10个红球和5个白球的口袋中,任意摸出4个球,白球个数为ξ,求ξ的分布列及期望。
15.一盒中装有一打(12个)乒乓球,其中9个新的,3个旧的(用过的球即为旧的),从盒中任取3个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量,求ξ的分布列。
16.已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病。下面是两种化验方法:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止。
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望。