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确切地确定并成功地突破教学难点是提高教学质量的关键。那么，如何确定又怎样突破教学难点呢？我认为，这不仅是一个方法问题，还是一个教学思想问题。中职数学教学中，有不少知识使学生学起来感到困难。一般地说，这些困难是由于在学生已有的认知结构和新知识的要求之间存在着一定的差距引起的。解决难点的过程，就是缩小和消灭差距的认知过程。本文浅析形成难点的原因，从而提出解决难点的方法。
一、形成难点的几种主要因素
在教学过程中，常见的形成难点的主要因素有：
1.知识的本身抽象而学生的具体经验少
例如在讲述数列极限定义时，对于无穷数列an=■
当n无限增大时an的极限值为0，是以怎样的方式接近，又以怎样的形式体现，产生学习上的困难。
2.知识的精深而学生基础知识浅薄
例如复数的概念学生不宜接受。虚数单位i则是从解二次方程的需要出发而给出的，i2=-1比较抽象。此外，复数、实数、虚数、纯虚数等概念也容易混淆，特别是复数的开方推导过程比较复杂，学生学起来很吃力，达不到形成能力的目的，因而产生困难。
3.知识的容量大，而学生对基础知识的掌握残缺不全
例如用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时，由假设当n=k时命题成立的递推基础去推证当n=k+1时命题亦成立，往往用到多方面的知识进行转化，学生一时难以融合各方面的知识而产生困难。
4.知识的内部结构错综复杂，而学生的分析综合推理能力薄弱
例如三角函数的公式纷繁复杂，如果没有相当熟练地技能，就易感于表面的现象而不能产生正确的解题思路。
5.知识由旧到新，而学生的认识守旧，没有真正理解新知识的本质，产生困难
例如数的概念由实数集扩充到复数集后，并不是实数集所有性质复数集都具有，而出现对于x∈c，x2≥0，x1=（x3）■这样的错误。
6.对重要的数学思想方法没有真正掌握
整体处理法、数学归纳法、分析综合法……等方法在数学解题中占有相当重要的地位，而学生却没有真正掌握，产生困难。
7.思维单一，方法死板
在解题过程中，知识的实质比较隐蔽，而学生又喜欢从表面上着眼，一味以陈规考虑问题，如一见到题目，不管三七二十一，就用传统的方法求解问题，限制了思维的扩展，如求方程x■+2■=17的整数解，学生拿到题目后，往往采用两边同时平方的方法，进而产生高次方程，不利于求解，若转向考虑x的取值范围是整数以及整数的性质，通过解不等式组5x+1≥0x■≤17得x=0，1，2，3，4，又因2■是偶数，17是奇数，要使方程有整数解，x2即x必须为奇数，所以x=1或x=3，经验证，x=3是原方程的解。
8.“语言不通”产生困难
用数学的特定含义的词句或符号表示的语言，我们称为数学语言。数学语言具有叙述简练，结构严谨，推理严密和表达抽象。某些字词具有特定含义等特点，如两个集合并集概念A∪B=x∈A或x∈B中的“或”与自然语言中的“或”是不相同的，自然语言中的“或”是作“不可兼有”理解，如甲去或乙去，应是甲去且乙不去、乙去且甲不去中两者之一成立。而并集概念中的“或”作“可兼有”理解，即有三种可能：甲去乙不去、乙去甲不去、甲乙都去，也就是甲乙中至少有一人去。正是数学语言的这些特点，增加了学生学习上的困难。
二、解决难点的方法
针对上述形成难点的原因，相应地有以下一些解决难点的方法：
1.丰富知识，积累经验，由感性认识逐步过渡到理性认识
2.由浅到深、由粗到精、循序渐进，逐步上升
如教授对应、映射、函数、一一映射；逆映射、反函数等概念时；我们要一一讲清各个概念，分析其间的区别与联系，使学生真正理解各个概念，消除难点。
3.温旧补缺，打好基础
如在讲授不等式的解法时，我们首先应复习一下一元二次函数、一元二次方程，一元一次方程等有关知识，以便在解一元二次不等式时能借助一元二次函数图像直观、准确、迅速地给出解答。
4.由浅入深，各个击破
在求数列的通项公式一节时，有题：写出数列7，77，777，7777……的通项公式。可先将数列改写为7×1，7×11，7×111……进一步写成7×■，7×■，7×■……而数列9，99，999……的通项公式学生已很熟知。这样就层层降低了解题难度。进而写出数列的通项公式：an=■（10n-1）（n∈N+）
5.左右衬托，相辅相成，突出本质
例如用分析法证明问题时，有的学生要在分析完毕时加上“以上推理步步可逆“，判断原命题得证。自以为该题证得完美，而并不去认真地审视推理过程中的每一步是否真的可逆；对于不可逆的，我们通常用综合叙述的方法来补分析法之不足，这亦是人们所说分析综合法之优势。
6.揭露新旧概念的联系与区别
例如在数的概念由实数集扩充到复数集后，实数集的性质复数集并不全部具有，但由于学生受实数集内解题的“定势思维”的影响，往往会不自觉地把实数集的性质、法则及解题方法应用到复数集中去，产生错误，数学中应通过一些典型例题，加深学生对复数概念和性质的理解，从而对实数与复数的性质有一个鲜明的对比，有一个整体的认识。
总之，在处理教学难点时，要树立正确的教学观，充分发挥它的正效应；在策略上，要围绕克服认知难点这个总任务来积极攻克知识难点。当然，本文强调教学难点的积极作用，并不是主张问题越难越好。因为教学难点的处理，都必须符合知识结构与认知结构的科学规律，遵循力所能及的原则。只有这样，才能收到良好的效果。
（作者单位：新疆奎屯七师职业技术学校）
一、形成难点的几种主要因素
在教学过程中，常见的形成难点的主要因素有：
1.知识的本身抽象而学生的具体经验少
例如在讲述数列极限定义时，对于无穷数列an=■
当n无限增大时an的极限值为0，是以怎样的方式接近，又以怎样的形式体现，产生学习上的困难。
2.知识的精深而学生基础知识浅薄
例如复数的概念学生不宜接受。虚数单位i则是从解二次方程的需要出发而给出的，i2=-1比较抽象。此外，复数、实数、虚数、纯虚数等概念也容易混淆，特别是复数的开方推导过程比较复杂，学生学起来很吃力，达不到形成能力的目的，因而产生困难。
3.知识的容量大，而学生对基础知识的掌握残缺不全
例如用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时，由假设当n=k时命题成立的递推基础去推证当n=k+1时命题亦成立，往往用到多方面的知识进行转化，学生一时难以融合各方面的知识而产生困难。
4.知识的内部结构错综复杂，而学生的分析综合推理能力薄弱
例如三角函数的公式纷繁复杂，如果没有相当熟练地技能，就易感于表面的现象而不能产生正确的解题思路。
5.知识由旧到新，而学生的认识守旧，没有真正理解新知识的本质，产生困难
例如数的概念由实数集扩充到复数集后，并不是实数集所有性质复数集都具有，而出现对于x∈c，x2≥0，x1=（x3）■这样的错误。
6.对重要的数学思想方法没有真正掌握
整体处理法、数学归纳法、分析综合法……等方法在数学解题中占有相当重要的地位，而学生却没有真正掌握，产生困难。
7.思维单一，方法死板
在解题过程中，知识的实质比较隐蔽，而学生又喜欢从表面上着眼，一味以陈规考虑问题，如一见到题目，不管三七二十一，就用传统的方法求解问题，限制了思维的扩展，如求方程x■+2■=17的整数解，学生拿到题目后，往往采用两边同时平方的方法，进而产生高次方程，不利于求解，若转向考虑x的取值范围是整数以及整数的性质，通过解不等式组5x+1≥0x■≤17得x=0，1，2，3，4，又因2■是偶数，17是奇数，要使方程有整数解，x2即x必须为奇数，所以x=1或x=3，经验证，x=3是原方程的解。
8.“语言不通”产生困难
用数学的特定含义的词句或符号表示的语言，我们称为数学语言。数学语言具有叙述简练，结构严谨，推理严密和表达抽象。某些字词具有特定含义等特点，如两个集合并集概念A∪B=x∈A或x∈B中的“或”与自然语言中的“或”是不相同的，自然语言中的“或”是作“不可兼有”理解，如甲去或乙去，应是甲去且乙不去、乙去且甲不去中两者之一成立。而并集概念中的“或”作“可兼有”理解，即有三种可能：甲去乙不去、乙去甲不去、甲乙都去，也就是甲乙中至少有一人去。正是数学语言的这些特点，增加了学生学习上的困难。
二、解决难点的方法
针对上述形成难点的原因，相应地有以下一些解决难点的方法：
1.丰富知识，积累经验，由感性认识逐步过渡到理性认识
2.由浅到深、由粗到精、循序渐进，逐步上升
如教授对应、映射、函数、一一映射；逆映射、反函数等概念时；我们要一一讲清各个概念，分析其间的区别与联系，使学生真正理解各个概念，消除难点。
3.温旧补缺，打好基础
如在讲授不等式的解法时，我们首先应复习一下一元二次函数、一元二次方程，一元一次方程等有关知识，以便在解一元二次不等式时能借助一元二次函数图像直观、准确、迅速地给出解答。
4.由浅入深，各个击破
在求数列的通项公式一节时，有题：写出数列7，77，777，7777……的通项公式。可先将数列改写为7×1，7×11，7×111……进一步写成7×■，7×■，7×■……而数列9，99，999……的通项公式学生已很熟知。这样就层层降低了解题难度。进而写出数列的通项公式：an=■（10n-1）（n∈N+）
5.左右衬托，相辅相成，突出本质
例如用分析法证明问题时，有的学生要在分析完毕时加上“以上推理步步可逆“，判断原命题得证。自以为该题证得完美，而并不去认真地审视推理过程中的每一步是否真的可逆；对于不可逆的，我们通常用综合叙述的方法来补分析法之不足，这亦是人们所说分析综合法之优势。
6.揭露新旧概念的联系与区别
例如在数的概念由实数集扩充到复数集后，实数集的性质复数集并不全部具有，但由于学生受实数集内解题的“定势思维”的影响，往往会不自觉地把实数集的性质、法则及解题方法应用到复数集中去，产生错误，数学中应通过一些典型例题，加深学生对复数概念和性质的理解，从而对实数与复数的性质有一个鲜明的对比，有一个整体的认识。
总之，在处理教学难点时，要树立正确的教学观，充分发挥它的正效应；在策略上，要围绕克服认知难点这个总任务来积极攻克知识难点。当然，本文强调教学难点的积极作用，并不是主张问题越难越好。因为教学难点的处理，都必须符合知识结构与认知结构的科学规律，遵循力所能及的原则。只有这样，才能收到良好的效果。
（作者单位：新疆奎屯七师职业技术学校）