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数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题，高考对应用题的考查已经逐步成熟，特别是新课程标准出来之后，对应用问题考查的力度正在加大，考试注重分析问题及方法的新颖性，提高了对同学们适应陌生情境能力的考查.对于一些数学的应用问题，同学们往往感觉无从下手，十分困难.高考数学应用题的命题背景常常关注一些与函数导数、平面图形、数列、空间图形、概率统计等相关的问题.
一、与平面图形相关的应用题
例1如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.
（1）求x的取值范围;（运算中2取14）
（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为433ax元/m2，其余区域的造价为12a11元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
①审题
（1）本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得x的取值范围;
（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.
②建模
（1）由题意得，x≥9，
100-2x≥60，
1002-2x-2×15x2≥2×10，
解得x≥9，
x≤20，
-20≤x≤15，即9≤x≤15.
（2）记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y=a×π×（15x2）2+433ax×πx2+12a11×（104-π×（15x2）2-πx2）
=a11[π（-125x4+43x3-12x2）+12×104].
③求模
令f（x）=-125x4+43x3-12x2，则f′（x）=-425x3+4x2-24x=-4x（125x2-x+6），
由f′（x）=0，解得x=10或x=15.
列表如下：
x9（9，10）10（10，15）15
f′（x）-0+0
f（x）↘极小值↗
所以当x=10，y取最小值.
④还原
答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低.
例2如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=23π.管理部门欲在该地从M到D修建小路：在MN上选一
点P（异于M、N两点），小路由MP、PQ和QD组成，其中小路PQ过点P且与BC平行.记小路总长为l.
（1）设∠PBC=θ，将l表示为θ的函数关系式，并求θ的取值范围;
（2）当θ为何值时，小路总长l最短？
解：（1）连接PB，过P作PR∥CQ，在△PBR中
PBsinπ3=BRsin（2π3-θ）=PRsinθ
BR=233sin（2π3-θ），PR=233sinθ，
∴l=（2π3-θ）+[2-233sin（2π3-θ）]+[2-233sinθ]
=-3sinθ-cosθ-θ+2π3+4，0<θ<2π3.
（2）令l′=-3cosθ+sinθ-1=0，
即sinθ-3cosθ=1，
sin（θ-π3）=12，0<θ<2π3，
θ=π2，
又l在（0，π2）递减，在（π2，2π3）递增，
∴当θ=π2时，小路总长l最短.
二、与函数相关的应用题
例3为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=168-x-1，0≤x≤4，
5-12x，4<x≤10. 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用.
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到01，参考数据：2取14）.
解：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度f（x）=4y=648-x-4，0≤x≤4，
20-2x，4<x≤10.
则当0≤x≤4时，由648-x-4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.
当4<x≤10时，由20-2x≥4解得x≤8，所以此时4<x≤8.
综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天.
（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，
浓度g（x）=2（5-12x）+a[168-（x-6）-1]=10-x+16a14-x-a=（14-x）+16a14-x-a-4.
因为14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以4a∈[4，8]，故当且仅当14-x=4a时，y有最小值为8a-a-4.
令8a-a-4≥4，解得24-162≤a≤4，所以a的最小值为24-162≈1.6. 三、与概率统计相关的应用题
例4某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间第二车间第三车间
女工173100y
男工177xz
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.
（1）求x的值;
（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
（3）已知y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率.
解：（1）由题意可知x1000=0.15，x=150.
（2）由题意可知第三车间共有工人数为1000-（173+177）-（100+150）=400名，则设应在第三车间级抽取m名工人，则501000=m400，m=20.
（3）由题意可知y+z=400，且y≥185，z≥185，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214），…，（215，185），共有31组.
设事件A：第三车间中女工比男工少，即y<z，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214），…，（199，201），共有15组.
故P（A）=1531.
答：（1）x=150，（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为1531.
四、与数列相关的应用题
例5在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层.
①共有几种不同的方案？
②已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，从而由2009-n（n+1）2<n
n（n+1）2≤2009且n∈N*得，当n=62时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢.
（2）①当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx+12n（n-1）=2009，即n（2x+n-1）=2×2009=2×7×7×41，因n-1与n的奇偶性不同，所以2x+n-1与n的奇偶性也不同，且n<2x+n-1，从而由上述等式得：
n=7
2x+n-1=574或n=14
2x+n-1=287
或n=41
2x+n-1=98或n=49
2x+n-1=82，
所以共有4种方案可供选择.
②因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，可知：
若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为2003cm，而2003+10<400所以符合条件;
若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为2403cm，显然大于4m，不合条件，舍去，综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.
五、与空间图形相关的应用题
例6某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.
已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元.设该容器的建造费用为y千元.
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;
（2）求该容器的建造费用最小时的r.
解：（1）设容器的容积为V，
由题意知V=πr2l+43πr3，又V=80π3，
故l=V-43πr3πr2=803r2-43r=43（20r2-r）.
由于l≥2r，
因此0<r≤2.
所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×43（20r2-r）×3+4πr2c，
因此y=4π（c-2）r2+160πr，0<r≤2.
（2）由（1）得y′=8π（c-2）r-160πr2
=8π（c-2）r2（r3-20c-2），0<r≤2.
由于c>3，所以c-2>0.
当r3-20c-2=0时，r=320c-2.
令320c-2=m，则m>0，
所以y′=8π（c-2）r2（r-m）（r2+rm+m2）.
①当0<m<2，即c>92时，
当r=m时，y′=0;
当r∈（0，m）时，y′<0;
当r∈（m，2）时，y′>0，
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点.
②当m≥2，即3<c≤92时，
当r∈（0，2）时，y′<0，函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点.
综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r=2;
当c>92时，建造费用最小时r=320c-2.
例7如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m.某广告公司计划在此空地
上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN∶NE=16∶9.线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕
MNEF的面积为S（m2）.
（1）用x的代数式表示AM;
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域;
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
解：（1）AM=3xx-9（10≤x≤30）.
（2）MN2=AN2+AM2=x2+9x2（x-9）2.
∵MN∶NE=16∶9，∴NE=916MN.
∴S=MN·NE=916MN2=916[x2+9x2（x-9）2].
定义域为[10，30].
（3）S′=916[2x+18x（x-9）2-9x2（2x-18）（x-9）4]
=98×x[（x-9）3-81]（x-9）3，
令S′=0，得x=0（舍），x=9+333.
当10≤x<9+333时，S′<0，S关于x为减函数;
当9+333<x≤30时，S′>0，S关于x为增函数;
∴当x=9+333时，S取得最小值.
答：当AN长为9+333m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小.
函数实际应用题的信息量大，重点考查同学们处理问题的能力.在解应用题时通常有以下步骤：首先是审题：理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础;接着是建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关;然后求模：求解数学模型，得到数学结论，一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程;最后还原：将数学结论还原成实际问题的结果.
（作者：孙海建，如皋市第一中学）
一、与平面图形相关的应用题
例1如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.
（1）求x的取值范围;（运算中2取14）
（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为433ax元/m2，其余区域的造价为12a11元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
①审题
（1）本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得x的取值范围;
（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.
②建模
（1）由题意得，x≥9，
100-2x≥60，
1002-2x-2×15x2≥2×10，
解得x≥9，
x≤20，
-20≤x≤15，即9≤x≤15.
（2）记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y=a×π×（15x2）2+433ax×πx2+12a11×（104-π×（15x2）2-πx2）
=a11[π（-125x4+43x3-12x2）+12×104].
③求模
令f（x）=-125x4+43x3-12x2，则f′（x）=-425x3+4x2-24x=-4x（125x2-x+6），
由f′（x）=0，解得x=10或x=15.
列表如下：
x9（9，10）10（10，15）15
f′（x）-0+0
f（x）↘极小值↗
所以当x=10，y取最小值.
④还原
答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低.
例2如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=23π.管理部门欲在该地从M到D修建小路：在MN上选一
点P（异于M、N两点），小路由MP、PQ和QD组成，其中小路PQ过点P且与BC平行.记小路总长为l.
（1）设∠PBC=θ，将l表示为θ的函数关系式，并求θ的取值范围;
（2）当θ为何值时，小路总长l最短？
解：（1）连接PB，过P作PR∥CQ，在△PBR中
PBsinπ3=BRsin（2π3-θ）=PRsinθ
BR=233sin（2π3-θ），PR=233sinθ，
∴l=（2π3-θ）+[2-233sin（2π3-θ）]+[2-233sinθ]
=-3sinθ-cosθ-θ+2π3+4，0<θ<2π3.
（2）令l′=-3cosθ+sinθ-1=0，
即sinθ-3cosθ=1，
sin（θ-π3）=12，0<θ<2π3，
θ=π2，
又l在（0，π2）递减，在（π2，2π3）递增，
∴当θ=π2时，小路总长l最短.
二、与函数相关的应用题
例3为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=168-x-1，0≤x≤4，
5-12x，4<x≤10. 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用.
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到01，参考数据：2取14）.
解：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度f（x）=4y=648-x-4，0≤x≤4，
20-2x，4<x≤10.
则当0≤x≤4时，由648-x-4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.
当4<x≤10时，由20-2x≥4解得x≤8，所以此时4<x≤8.
综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天.
（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，
浓度g（x）=2（5-12x）+a[168-（x-6）-1]=10-x+16a14-x-a=（14-x）+16a14-x-a-4.
因为14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以4a∈[4，8]，故当且仅当14-x=4a时，y有最小值为8a-a-4.
令8a-a-4≥4，解得24-162≤a≤4，所以a的最小值为24-162≈1.6. 三、与概率统计相关的应用题
例4某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间第二车间第三车间
女工173100y
男工177xz
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.
（1）求x的值;
（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
（3）已知y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率.
解：（1）由题意可知x1000=0.15，x=150.
（2）由题意可知第三车间共有工人数为1000-（173+177）-（100+150）=400名，则设应在第三车间级抽取m名工人，则501000=m400，m=20.
（3）由题意可知y+z=400，且y≥185，z≥185，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214），…，（215，185），共有31组.
设事件A：第三车间中女工比男工少，即y<z，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214），…，（199，201），共有15组.
故P（A）=1531.
答：（1）x=150，（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为1531.
四、与数列相关的应用题
例5在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层.
①共有几种不同的方案？
②已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，从而由2009-n（n+1）2<n
n（n+1）2≤2009且n∈N*得，当n=62时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢.
（2）①当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx+12n（n-1）=2009，即n（2x+n-1）=2×2009=2×7×7×41，因n-1与n的奇偶性不同，所以2x+n-1与n的奇偶性也不同，且n<2x+n-1，从而由上述等式得：
n=7
2x+n-1=574或n=14
2x+n-1=287
或n=41
2x+n-1=98或n=49
2x+n-1=82，
所以共有4种方案可供选择.
②因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，可知：
若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为2003cm，而2003+10<400所以符合条件;
若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为2403cm，显然大于4m，不合条件，舍去，综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.
五、与空间图形相关的应用题
例6某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.
已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元.设该容器的建造费用为y千元.
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;
（2）求该容器的建造费用最小时的r.
解：（1）设容器的容积为V，
由题意知V=πr2l+43πr3，又V=80π3，
故l=V-43πr3πr2=803r2-43r=43（20r2-r）.
由于l≥2r，
因此0<r≤2.
所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×43（20r2-r）×3+4πr2c，
因此y=4π（c-2）r2+160πr，0<r≤2.
（2）由（1）得y′=8π（c-2）r-160πr2
=8π（c-2）r2（r3-20c-2），0<r≤2.
由于c>3，所以c-2>0.
当r3-20c-2=0时，r=320c-2.
令320c-2=m，则m>0，
所以y′=8π（c-2）r2（r-m）（r2+rm+m2）.
①当0<m<2，即c>92时，
当r=m时，y′=0;
当r∈（0，m）时，y′<0;
当r∈（m，2）时，y′>0，
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点.
②当m≥2，即3<c≤92时，
当r∈（0，2）时，y′<0，函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点.
综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r=2;
当c>92时，建造费用最小时r=320c-2.
例7如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m.某广告公司计划在此空地
上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN∶NE=16∶9.线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕
MNEF的面积为S（m2）.
（1）用x的代数式表示AM;
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域;
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
解：（1）AM=3xx-9（10≤x≤30）.
（2）MN2=AN2+AM2=x2+9x2（x-9）2.
∵MN∶NE=16∶9，∴NE=916MN.
∴S=MN·NE=916MN2=916[x2+9x2（x-9）2].
定义域为[10，30].
（3）S′=916[2x+18x（x-9）2-9x2（2x-18）（x-9）4]
=98×x[（x-9）3-81]（x-9）3，
令S′=0，得x=0（舍），x=9+333.
当10≤x<9+333时，S′<0，S关于x为减函数;
当9+333<x≤30时，S′>0，S关于x为增函数;
∴当x=9+333时，S取得最小值.
答：当AN长为9+333m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小.
函数实际应用题的信息量大，重点考查同学们处理问题的能力.在解应用题时通常有以下步骤：首先是审题：理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础;接着是建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关;然后求模：求解数学模型，得到数学结论，一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程;最后还原：将数学结论还原成实际问题的结果.
（作者：孙海建，如皋市第一中学）