【摘要】 高中数学中，不等式占有重要的地位，这其中，有理不等式的解法又占有举足轻重的地位，为此，特将有理不等式的解法归纳整理如下。
　　 【关键词】 不等式；解法
　　 Rational inequality solution summary
　　 Zi Jing
　　 【Abstract】 In high school mathematics, the inequality holds the important status, the rational inequality’s solution also holds the pivotal status, for this reason, especially will hold true the inequality solution induction reorganization to be as follows. 
　　 【Key words】 Inequality; Solution
　　
　　 高中数学中，不等式占有重要的地位，这其中，有理不等式的解法又占有举足轻重的地位，为此，特将有理不等式的解法归纳整理如下：
　　定理一、记f(x)=(x-x1) (x-x2) (x-x3)…(x-xn)，则f(x)=0的n个根为：
　　x1，x2，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，这n个数把实数集分成n+1个区间：
　　(-∞,x1)，(x1,x2)，…，(xn-1,xn)，(xn,+∞)。若从右至左依次标记各个区间为：
　　“+”、“-”、“+”、“-”…，直到标记完毕，则标记为“+”号的区间的并集是不等式 (x)＞0的解集，标记为“-”号的区间的并集是不等式f(x)＜0的解集。
　　例1．设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则f(x)=0的根为1，2，3，4，这四个数把实数集分为五个区间：(-∞,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,+∞)。从右到左标记为“+”号的区间是：(4,+∞)，(2,3)，(-∞,1)，标记为“-”号的区间是(3,4)，(1,2)，
　　∴f(x)＞0的解集为：(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)，
　　f(x)＜0的解集为：(1,2)∪(2,3)
　　定理二、若f(x)=(x-x1) (x-x2) …(x-xk-1) (x-xk)2n(x-xk+1)…(x-xn)，n∈N，
　　则f(x)＞0 等价于： φ(x)＞0 x-xk≠0，f(x)＜0 等价于： φ(x)＜0x-xk≠0 ，
　　其中φ(x)=(x-x1) (x-x2) …(x-xk-1) (x-xk+1)…(x-xn)。（注意：φ(x)不含因式(x-xk) ！）
　　例2．设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)6(x-4)，则f(x)＞0 等价于： (x-1)(x-2) (x-4)＞0x-3≠0 ，由此有f(x)＞0的解集：(1,2)∪(4,+∞);f(x)＜0等价于： (x-1)(x-2) (x-4)＜0x-3≠0 ，进而有f(x)＜0的解集: (-∞,1)∪(2,3)∪(3,4)
　　定理三、若f(x)= (x-x1) (x-x2) …(x-xk-1) (x-xk)2n-1(x-xk+1)…(x-xn)，n∈N，则f(x)＞0 等价于：(x-x1) (x-x2) …(x-xk-1) (x-xk) (x-xk+1)…(x-xn)＞0，f(x)＜0 等价于：(x-x1) (x-x2) …(x-xk-1) (x-xk) (x-xk+1)…(x-xn)＜0 
　　例3.设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)5(x-4)，则f(x)＞0等价于：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)＞0，从而f(x)＞0的解集为：(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)，f(x)＜0的解集为：(1,2)∪(2,3)
　　定理四、 f(x)φ(x) ＞0等价于：f(x)φ(x)＞0； f(x) φ(x) ＜0等价于：f(x)φ(x)＜0；
　　例4. 解不等式： x2-3x+2 x2-2x-3 ＜0
　　解：原不等式等价于(x2-3x+2)(x2-2x-3)＜0，即：(x-1)(x-2) (x-3)(x+1)＜0，由此有原不等式的解集：(-1,1)∪(2,3)
　　定理五、 f(x) φ(x) ≥0等价于： f(x)φ(x)≥0φ(x)≠0 ； f(x)φ(x) ≤0等价于： f(x)φ(x)≤0φ(x)≠0 ；
　　例5.解不等式： x-1 x-2 ≥0
　　解：原不等式等价于： (x-1)(x-2)≥0x-2≠0 ，由此有原不等式的解集：(-∞,1)∪(2,+∞)
　　定理六、0＜a＜f(x)＜b等价于(f(x)-a)(f(x)-b)＜0
　　例6.解不等式：0＜x2-x-2＜4
　　解：原不等式等价于：(x2-x-2-0)(x2-x-2-4)＜0
　　即：(x2-x-2)(x2-x-6)＜0
　　也即：(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)＜0
　　由此有原不等式的解集：(-2,-1)∪(2,3)
　　定理7.设a＞0，则|f(x)|＞a等价于f(x)＞a或f(x)＜-a，也等价于f2(x)＞a2，进而等价于(f(x)+a)( f(x)-a)＞0；
　　|f(x)|＜a等价于-a＜f(x)＜a，也等价于f2(x)＜a2，进而等价于(f(x)+a)(f(x)-a)＜0；
　　例7.解不等式：|x-1|＞3
　　解：原不等式等价于：(x-1-3)(x-1+3)＞0
　　即：(x-4)(x+2)＞0
　　由此有原不等式的解集：(-∞,-2)∪(4,+∞)
　　定理8.0＜a＜|f(x)|＜b等价于a2＜f2(x)＜b2，也等价于： 
　　(f2(x)-a2)(f2(x)-b2)＜0，进而等价于：(f(x)-a)(f(x)+a)(f(x)-b)(f(x)+b)＜0
　　例8.解不等式：1＜|f(x)|＜2
　　解：原不等式等价于：(x-1-1)(x-1+1)(x-1-2)(x-1+2)＜0
　　即：x(x+1)(x-2)(x-3)＜0
　　由此有原不等式的解集：(-1,0)∪(2,3)
　　以上八个定理，将高中可能遇到的各种类型的有理不等式的解法最终归结为三个定理：定理一、二、三，而定理二、三又是定理一的特殊情况。从这个意义上说，我们最终将有理不等式的解法归结为一个定理：定理一。
　　
　　“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”