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在数学课堂教学中，解题教学是一个重要的组成部分.诚然，教会学生如何从已知条件出发，找到解决问题的途径固然重要，但是如何纠正学生在解题过程中形成的错误思维定势也是极其重要的，在此，笔者通过高中数学中常见的几个错题为例，谈谈如何纠正学生在解题过程中的逻辑错误.
例1 已知函数f(x)=1x,x∈(－∞,0)x2,x∈［0,+∞)，求f(x+1).
错解：
f(x)=1x+1,x∈(－∞,0)(x+1)2,x∈［0,+∞).
剖析：x=－1∈(－∞,0),此时1x+1无意义，故上述解法错误
正解：f(x+1)=1x+1,x+1∈(－∞,0)(x+1)2,x+1∈［0,+∞)
即f(x+1)=1x+1,x∈(－∞,－1)(x+1)2,x∈［－1,+∞).
反思：要深刻理解已知解析式的本质，f括号内的小于0就用上面的解析式，反之用下面，当然还可以从图象变换的角度考虑该问题，所求f(x+1)的图象是f(x)向左平移1个单位而成.
例2 判断下列函数的奇偶性
（1）f(x)=x2－1+1－x2；
（2）f(x)=(x－1)1+x1－x；
（3）f(x)=1－x2|2－x|－2.
错解：（1）∵f(－x)=(－x)2－1+1－(－x)2=x2－1+1－x2=f(x)，
∴f(x)为偶函数.
（2）∵f(x)=(x－1)1+x1－x=－1－x2,f(－x)=－1－(－x)2=－1－x2=f(x)，
∴f(x)为偶函数.
(3)f(－x)=1－(－x)22+x－2=1－x2|2+x|－2,∴f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，
∴f(x)为非奇非偶函数.
剖析：(1)中错在只看到f(－x)=f(x)，没有注意到f(x)的定义域，事实上定义域满足x2－1≥0，1－x2≥0，∴x=±1，∴f(x)=0，正由于没有注意到f(x)=0，所以误以为只能是偶函数.
（2）中错在忽略了定义域［－1,1)，它不关于原点对称，而仅仅从f(－x)=f(x)出发而导致了错误.
（3）中错在忽略了定义域为，在定义域内函数很容易化简，错解忽略了定义域，导致无法化简而造成错误.
正解：（1）∵定义域满足x2－1≥0，1－x2≥0，∴x=±1，∴f(x)=0，∴f(－x)=－f(x)且
f(－x)=f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
（2）先确定函数的定义域［－1,1)，它不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.
（3）定义域满足1－x2≥0|2－x|－2≠0，∴－1≤x≤1x≠0
∴f(x)=1－x2|2－x|－2
=1－x2(2－x)－2=－1－x2x，∴f(－x)=－1－x2－x=1－x2x=－f(x).
∴函数f(x)为奇函数.
反思：涉及到判断函数奇偶性问题，可以分3步，（1）先求定义域，判断是否关于原点对称，（2）在定义域范围内看看f(x)是否可以化解，（3）最后去判断f(－x)与f(x)的关系.
例3 求函数y=log0.7(x2－3x+2)的单调区间.
错解：令u=x2－3x+2，有二次函数的单调性知：当x∈－∞,32时，u(x)为减函数，当x∈(32,+∞)时，u(x)为增函数.
又y=log0.7u为减函数，依复合函数的单调性知，增区间为－∞,32，减区间为(32,+∞).
剖析：对数要有意义，必须使真数x2－3x+2>0，即x>2或x<1，所以，上述解法所对应的单调区间是错误的.因此，函数的定义域是讨论函数性质的前提，任何问题的解决必须在定义域内进行.
正解：由u=x2－3x+2>0得知x>2或x<1，结合二次函数的图象及单调性易知：
当x∈(－∞,1)时，u(x)为减函数，当x∈(2,+∞)时，u(x)为增函数，又y=log0.7u为减函数，依复合函数的单调性知，增区间为(－∞,1)，减区间为(2,+∞).
反思：应用复合函数的原理最主要解决单调性问题和值域问题，在应用时一定要考虑定义域问题，这是解题的关键.
例4 设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象关于 对称.
错解：函数定义在实数集上且f(x－1)=f(1－x)，函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称.
剖析：这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈，即对称问题中一结论.设函数y=f(x)定义在实数集上，且f(-a+x)=f(a－x)，则函数f(x)关于直线x=0对称，这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题.
正解：∵y=f(x),x∈R，而f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)的图象是f(x)的图象关于x轴对称变为f(－x)，再向右平移1个单位而得到的，所以f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x=1对称.
反思：涉及到对称问题，首先要分清到底是两个函数的对称问题还是一个函数的对称问题，要熟练地掌握并能应用图象的变换，平移变换，对称变换，伸缩变换等等.
例5 已知数列{an}的前n项和Sn=2•3n－1，求数列{an}的通项公式.
错解：∵an=Sn－Sn－1=2•3n－1－2•3n－2=4•3n－2
剖析：忽略了an=Sn－Sn－1中隐含条件n≥2.
正解：∵an=Sn－Sn－1=2•3n－1－2•3n－2=4•3n－2（n≥2），
a1=S1=2不满足上式，∴通项公式an=2,n=14•3n－2,n≥2.
反思:涉及到数列问题是下标出现例如n－1等的时候，为了有意义，必须把隐含的条件考虑到，此处n－1≥1,即n≥2.
例6 已知数列{an}的通项公式是an=4n－25，求数列{|an|}的前n项和.
错解:数列{an}前6项为负，第7项开始为正，∴|a1|+|a2|+…+|an|
=－a1－a2…－a6+a7…+an=－S6+Sn－S6=2n2－23n+132.
剖析:对数列前n项和Sn的含义认识不深刻，得出数列{|an|}前n项和的表达式，当n≥7时的情况，忽略了数列的前6项，因而导致错误.
正解:（1）n≤6，∴|a1|+|a2|+…+|an|=－a1－a2…－an
=－Sn=n(－21)+n(n－1)2•4=2n2－23n
（2）n≥7时，∴|a1|+|a2|+…+|an|=－a1－a2…－a6+a7…+an
=－S6+Sn－S6=2n2－23n+132，
∴|a1|+|a2|+…+|an|=2n2－23n,n≤62n2－23n+132,n≥7.
反思:事实上，讨论的思想贯穿整个高中数学，这里仅仅是其中的一个缩影，当情况不确定时，往往会用到讨论..
例7 已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=7n+14n+27(n∈N*)，求a11b11.
错解:可设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0，则a11=S11－S10=7k，
b11=T11－T10=4k，∴a11b11=74
剖析:问题出在可设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0上，这种设法虽然可以保证SnTn=7n+14n+27成立，但因等差数列的前n项和Sn（当公差d≠0时）不是n的一次函数，而是n的二次函数.
正解:SnTn=7n+14n+27=n(a1+an)2n(b1+bn)2=a1+anb1+bn
令n=21，7×21+14×21+27=a1+a21b1+b21=a11b11，∴a11b11=43
反思:对于等差数列{an}，等比数列{bn}前n项和分别为Sn，Tn，要能熟练掌握Sn，Tn的特征，例如Sn=an2+bn，常数项为0的至多是二次函数，Tn=a•qn－a，公比不为1时等等，对我们解题很有帮助.
例8 先将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得函数图象对应的解析式为 .
错解:将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位，写成了y=sin(2x－π3)，再将所得图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，写成了y=sin(x－π6).
剖析:左右平移变的只是x，而不是2x，应该写成y=sin2(x－π3)=sin(2x－2π3)，横坐标只影响x前的系数，和后面的初相φ无任何关系.
正解:将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位，变成了
y=sin2(x－π3)=sin(2x－2π3)，再将所得图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，写成了y=sin(x－2π3).
反思:特别是左右平移时，一定要注意变的只是x，横坐标变换时一要注意只影响x前的系数，二要注意是“反”的，变为原来的2倍，x前的系数反而要乘12，而纵坐标变换是很“顺”的.
例9 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.
错解:本题用换元法求解令t=sinx+cosx，则y=f(t)=12(t+1)2－1，求得ymin=－1，无最大值，有最小值为－1，∴值域为［－1,+∞).
剖析:其实t=sinx+cosx=2sin(x+π4)∴t∈［－2,2］∴－1≤y≤2+12.
正解:令t=sinx+cosx=2sin(x+π4)，∴t∈［－2,2］，则
t2=1+2sinxcosx,sinxcosx=t2－12，y=f(t)=12(t+1)2－1∴t∈［－2,2］，
∴－1≤y≤2+12，∴值域为［－1,2+12］.
反思:涉及到换元法时一定要考虑“t”的取值范围，往往会对题目有影响，要养成习惯.
笔者认为：随着新课程计划的实施,大多数课堂改革的力度还不够,教师的启发和引导往往停留在牵牛似的思维引导上.学生只能跟着教师的思路走,思维也往往是与教师同向的,那些思维受阻的学生往往被忽略,对他们解题中出现的问题难于发现或发现较晚,不利于学生对新知识的理解和掌握,学习效率不高.笔者认为,作为一个有经验的教师,不但上课要引导启发学生正面接受知识、解答问题,而且还要根据教材的内容及以往的经验,结合学生认知的“漏洞”和思维的“盲区”,对学生易于出现的错误或本节课的随机练习出现的问题,及时展示(可采用多媒体、投影仪或小黑板等)给学生,让学生在讨论中探究错解出现的原因.这样不仅能做到预防在前,而且还能调动学生学习的积极性,克服学生思维的惰性和依赖性,从而提高他们的学习效率.
（作者：毛东良，江苏省苏州第十中学）
例1 已知函数f(x)=1x,x∈(－∞,0)x2,x∈［0,+∞)，求f(x+1).
错解：
f(x)=1x+1,x∈(－∞,0)(x+1)2,x∈［0,+∞).
剖析：x=－1∈(－∞,0),此时1x+1无意义，故上述解法错误
正解：f(x+1)=1x+1,x+1∈(－∞,0)(x+1)2,x+1∈［0,+∞)
即f(x+1)=1x+1,x∈(－∞,－1)(x+1)2,x∈［－1,+∞).
反思：要深刻理解已知解析式的本质，f括号内的小于0就用上面的解析式，反之用下面，当然还可以从图象变换的角度考虑该问题，所求f(x+1)的图象是f(x)向左平移1个单位而成.
例2 判断下列函数的奇偶性
（1）f(x)=x2－1+1－x2；
（2）f(x)=(x－1)1+x1－x；
（3）f(x)=1－x2|2－x|－2.
错解：（1）∵f(－x)=(－x)2－1+1－(－x)2=x2－1+1－x2=f(x)，
∴f(x)为偶函数.
（2）∵f(x)=(x－1)1+x1－x=－1－x2,f(－x)=－1－(－x)2=－1－x2=f(x)，
∴f(x)为偶函数.
(3)f(－x)=1－(－x)22+x－2=1－x2|2+x|－2,∴f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，
∴f(x)为非奇非偶函数.
剖析：(1)中错在只看到f(－x)=f(x)，没有注意到f(x)的定义域，事实上定义域满足x2－1≥0，1－x2≥0，∴x=±1，∴f(x)=0，正由于没有注意到f(x)=0，所以误以为只能是偶函数.
（2）中错在忽略了定义域［－1,1)，它不关于原点对称，而仅仅从f(－x)=f(x)出发而导致了错误.
（3）中错在忽略了定义域为，在定义域内函数很容易化简，错解忽略了定义域，导致无法化简而造成错误.
正解：（1）∵定义域满足x2－1≥0，1－x2≥0，∴x=±1，∴f(x)=0，∴f(－x)=－f(x)且
f(－x)=f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
（2）先确定函数的定义域［－1,1)，它不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.
（3）定义域满足1－x2≥0|2－x|－2≠0，∴－1≤x≤1x≠0
∴f(x)=1－x2|2－x|－2
=1－x2(2－x)－2=－1－x2x，∴f(－x)=－1－x2－x=1－x2x=－f(x).
∴函数f(x)为奇函数.
反思：涉及到判断函数奇偶性问题，可以分3步，（1）先求定义域，判断是否关于原点对称，（2）在定义域范围内看看f(x)是否可以化解，（3）最后去判断f(－x)与f(x)的关系.
例3 求函数y=log0.7(x2－3x+2)的单调区间.
错解：令u=x2－3x+2，有二次函数的单调性知：当x∈－∞,32时，u(x)为减函数，当x∈(32,+∞)时，u(x)为增函数.
又y=log0.7u为减函数，依复合函数的单调性知，增区间为－∞,32，减区间为(32,+∞).
剖析：对数要有意义，必须使真数x2－3x+2>0，即x>2或x<1，所以，上述解法所对应的单调区间是错误的.因此，函数的定义域是讨论函数性质的前提，任何问题的解决必须在定义域内进行.
正解：由u=x2－3x+2>0得知x>2或x<1，结合二次函数的图象及单调性易知：
当x∈(－∞,1)时，u(x)为减函数，当x∈(2,+∞)时，u(x)为增函数，又y=log0.7u为减函数，依复合函数的单调性知，增区间为(－∞,1)，减区间为(2,+∞).
反思：应用复合函数的原理最主要解决单调性问题和值域问题，在应用时一定要考虑定义域问题，这是解题的关键.
例4 设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象关于 对称.
错解：函数定义在实数集上且f(x－1)=f(1－x)，函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称.
剖析：这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈，即对称问题中一结论.设函数y=f(x)定义在实数集上，且f(-a+x)=f(a－x)，则函数f(x)关于直线x=0对称，这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题.
正解：∵y=f(x),x∈R，而f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)的图象是f(x)的图象关于x轴对称变为f(－x)，再向右平移1个单位而得到的，所以f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x=1对称.
反思：涉及到对称问题，首先要分清到底是两个函数的对称问题还是一个函数的对称问题，要熟练地掌握并能应用图象的变换，平移变换，对称变换，伸缩变换等等.
例5 已知数列{an}的前n项和Sn=2•3n－1，求数列{an}的通项公式.
错解：∵an=Sn－Sn－1=2•3n－1－2•3n－2=4•3n－2
剖析：忽略了an=Sn－Sn－1中隐含条件n≥2.
正解：∵an=Sn－Sn－1=2•3n－1－2•3n－2=4•3n－2（n≥2），
a1=S1=2不满足上式，∴通项公式an=2,n=14•3n－2,n≥2.
反思:涉及到数列问题是下标出现例如n－1等的时候，为了有意义，必须把隐含的条件考虑到，此处n－1≥1,即n≥2.
例6 已知数列{an}的通项公式是an=4n－25，求数列{|an|}的前n项和.
错解:数列{an}前6项为负，第7项开始为正，∴|a1|+|a2|+…+|an|
=－a1－a2…－a6+a7…+an=－S6+Sn－S6=2n2－23n+132.
剖析:对数列前n项和Sn的含义认识不深刻，得出数列{|an|}前n项和的表达式，当n≥7时的情况，忽略了数列的前6项，因而导致错误.
正解:（1）n≤6，∴|a1|+|a2|+…+|an|=－a1－a2…－an
=－Sn=n(－21)+n(n－1)2•4=2n2－23n
（2）n≥7时，∴|a1|+|a2|+…+|an|=－a1－a2…－a6+a7…+an
=－S6+Sn－S6=2n2－23n+132，
∴|a1|+|a2|+…+|an|=2n2－23n,n≤62n2－23n+132,n≥7.
反思:事实上，讨论的思想贯穿整个高中数学，这里仅仅是其中的一个缩影，当情况不确定时，往往会用到讨论..
例7 已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=7n+14n+27(n∈N*)，求a11b11.
错解:可设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0，则a11=S11－S10=7k，
b11=T11－T10=4k，∴a11b11=74
剖析:问题出在可设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0上，这种设法虽然可以保证SnTn=7n+14n+27成立，但因等差数列的前n项和Sn（当公差d≠0时）不是n的一次函数，而是n的二次函数.
正解:SnTn=7n+14n+27=n(a1+an)2n(b1+bn)2=a1+anb1+bn
令n=21，7×21+14×21+27=a1+a21b1+b21=a11b11，∴a11b11=43
反思:对于等差数列{an}，等比数列{bn}前n项和分别为Sn，Tn，要能熟练掌握Sn，Tn的特征，例如Sn=an2+bn，常数项为0的至多是二次函数，Tn=a•qn－a，公比不为1时等等，对我们解题很有帮助.
例8 先将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得函数图象对应的解析式为 .
错解:将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位，写成了y=sin(2x－π3)，再将所得图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，写成了y=sin(x－π6).
剖析:左右平移变的只是x，而不是2x，应该写成y=sin2(x－π3)=sin(2x－2π3)，横坐标只影响x前的系数，和后面的初相φ无任何关系.
正解:将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位，变成了
y=sin2(x－π3)=sin(2x－2π3)，再将所得图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，写成了y=sin(x－2π3).
反思:特别是左右平移时，一定要注意变的只是x，横坐标变换时一要注意只影响x前的系数，二要注意是“反”的，变为原来的2倍，x前的系数反而要乘12，而纵坐标变换是很“顺”的.
例9 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.
错解:本题用换元法求解令t=sinx+cosx，则y=f(t)=12(t+1)2－1，求得ymin=－1，无最大值，有最小值为－1，∴值域为［－1,+∞).
剖析:其实t=sinx+cosx=2sin(x+π4)∴t∈［－2,2］∴－1≤y≤2+12.
正解:令t=sinx+cosx=2sin(x+π4)，∴t∈［－2,2］，则
t2=1+2sinxcosx,sinxcosx=t2－12，y=f(t)=12(t+1)2－1∴t∈［－2,2］，
∴－1≤y≤2+12，∴值域为［－1,2+12］.
反思:涉及到换元法时一定要考虑“t”的取值范围，往往会对题目有影响，要养成习惯.
笔者认为：随着新课程计划的实施,大多数课堂改革的力度还不够,教师的启发和引导往往停留在牵牛似的思维引导上.学生只能跟着教师的思路走,思维也往往是与教师同向的,那些思维受阻的学生往往被忽略,对他们解题中出现的问题难于发现或发现较晚,不利于学生对新知识的理解和掌握,学习效率不高.笔者认为,作为一个有经验的教师,不但上课要引导启发学生正面接受知识、解答问题,而且还要根据教材的内容及以往的经验,结合学生认知的“漏洞”和思维的“盲区”,对学生易于出现的错误或本节课的随机练习出现的问题,及时展示(可采用多媒体、投影仪或小黑板等)给学生,让学生在讨论中探究错解出现的原因.这样不仅能做到预防在前,而且还能调动学生学习的积极性,克服学生思维的惰性和依赖性,从而提高他们的学习效率.
（作者：毛东良，江苏省苏州第十中学）