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摘要：在中考压轴题中，常常遇到一些复杂的、以几何图形为背景的两个角的和、差正切值进而求解线段长度或点的坐标、位置等问题，三角函数方法是一种高效地解决此类型问题的方法，为学生提供了一种自然的解题途径。
关键词：三角函数；几何问题；中考压轴题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-0127
笔者在近些年中考中发现，直接求两个角的和、差正切值或通过求两个角的和、差正切值进而求解线段长度或点的坐标、位置等问题越来越多，这类题目的特征一般是以几何图形为背景， 常规思路是自然地当做一道几何题目来对待，考生一般会选择添加辅助线，构造相似，利用相似比例等解决。事实上，此类题目难度较大，解题思路的形成到实施是一件非常难完成的任务，题目的设置，正确率非常低。经过笔者认真研究，找到一种固定的三角函数法以解决此类型相似的问题，现将研究成果与同仁们分享。
一、预备知识
公式1：tan（α β）=■； 公式2：（特别的），当α=β时，tan2α=■；
我们知道公式1是高中三角函数中的公式，在高中数学中，此公式的推导证明是由公式tan（α β）=■得出的，是建立在公式sin（α β）、cos（α β）的已知基础上的。
显然，初中学生是无法理解此种证明方法的。笔者在课堂上引导学生通过几何构造的方法，尝试用tanα，tanβ表示tan（α β），进而得出公式1。学生推理演算得到公式，比笔者直接给出结论，学生死记硬背更有效。这样不仅可以培养学生构造或建模思维方式，提高学生的思维能力和数学素养，也真正拓宽了学生思路，丰富了学生的解题方法。
二、例题分析
例1. 已知：如图1，在RT△ABC中，∠C=90°（为简单起见，我们取△BAC为直角三角形），点D为BC边上的任意一点。
求证：tan∠ADC=■
证明：如图2，过点D作AB垂线，垂足为E。令DE=a，BE=b，AE=c，AC=d，CD=e，BD=f，由题知△BDE∽△BAC，所以■=■，即■=■，所以e f=■。由△ABC是RT△，则d2 （e f）2=（b c）2，所以d2 ■d2=（b c）2，d=■。又因为a2 c2=d2 e2，所以e=■。所以tan∠ADC=tan（α β）=■=■=■。又因为tanα=■，tanβ=■，所以两角和的正切值可以用可以用這两个的正切值表示：tan（α β）=■。特别的，当α=β时，tan2α=■。同理根据这种构造方法，我们亦可以用两个角的正切值表示两角差的正切值，即tan（α-β）=■。
例2. （湖北·武汉卷）如图3，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D。若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 。
评析：本题的常规思路是连结圆心与一个切点，并反向延长与另外一条切线相交，构造直角三角形，且通过相似比例求得其中一条直角边，进而求解正切值。图形较为复杂，计算量也较大，教学中发现优秀的学生也浅尝辄止，得分率非常低。
解：连接OA、OB、OP，因为PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，所以∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，而△PCD的周长=PC CE DE PD=PC AC PD DB=PA PB=3r，可求得PA=PB=■r，所以在RT△APO中，tan∠APO=■=■，根据∠APB=2∠APO可得，tan∠ABO=■=■。
例3. （内蒙古·呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 .
评析：本题难度较大，绝大部分考生没有任何思路，究其原因是45°角不知如何转化和使用。命题人给出的参考答案是构造含有90°圆心角的隐⊙P。如图5所示，巧妙的利用圆周角的性质转化已知条件中45°角，进而通过勾股定理解Rt△PFC，但实际教学中，笔者发现四点共圆，定直（长或角）隐圆这些拓展知识点，学生很难在紧张的考试中自然地想到。
解：设∠ACO=α，∠BCO=β，CO=h，所以由题得，tanα=■，tanβ=■，tan∠ACB=tan（α β）=■=1，即h2-10h-24=0，解得h1=12，h2=-2（舍去）。由题知点C是y轴上的一个动点，所以的坐标为（0，12）或（0，-12）。
例4. （陕西卷）如图7，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。
评析：本题作为考卷最后一题最后一问，难度非常大。属于存在性唯一性问题，参考答案的方法是构造隐圆，即构造△BPC的外接圆O（如图8），进而确定点P的位置，此进而求解cos∠BPC的最小值。考生面对复杂的几何图形，无从下手。
解：如图9所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，根据锐角三角函数定义知，当cos∠BPC最小值时，即此时∠BPC最大，也就是tan∠BPC最大，所以考虑转化为三角函数求解本题。过点P作BC垂线交于点Q，令∠BPQ=α，∠CPQ=β，且BQ=x，则 CQ=12-x（4≤x≤12），则tanα=■，tanβ=■，所以tan∠BPC=tan（α β）=■=■， 事实上观察上面这个表达式，我们发现分母是一个二次三项式，令函数y=x2-12x=48（4≤x≤12），此时问题可转化为求二次函数在确定范围内的最小值问题，不难得出，当x=6时函数有最小值，即此时tan∠BPC取最大值4■，则此时cos∠BPC=■。
例5. （浙江·宁波卷）如图10，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B 两点，且M是AB的中点，以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E位于点M右下方），连结DE交OM于点K。设（0 评析：本题综合性非常强，参考答案是设MK=t，然后运用相似三角形的性质，勾股定理用y，t的代数式分别表示OE，BE，计算量非常复杂，解题过程冗长。教学中发现，对于参考答案的方法，优秀学生迫于计算量，放弃研究者较多，更不用说考场上完成了。
解：如图11，连接DM，过点K作DO的垂线，垂足为点P，根据题意得DM∥PK，因为■=y，所以■=y，我们不妨设ON=y，DN=1，∠OBA=α，所以∠NOK=α，∠ODK=2α，所以在Rt△NOK中，tan∠NOK=tanα，即■=x。同理在Rt△DNK中，tan∠ODK=tan2α，即■=■，消去NK得y关于x的函数解析式为y=■。
综上所述，三角函数法为解决复杂的几何难题提供了一种可能性，其本质是把几何问题转化为代数问题来解，而代数方法本身具有方法的固定性、便捷性，适合解决同类型的问题。此类方法的掌握和灵活应用，需要考生平日注重题目的总结，学会举一反三，以不变应万变。
参考文献：
[1] 李宏宇.用几何方法求15°、75°角的三角函数值[J].中学生数学，2003（6）.
（作者单位：浙江省宁波市镇海区立人中学 315200）
关键词：三角函数；几何问题；中考压轴题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-0127
笔者在近些年中考中发现，直接求两个角的和、差正切值或通过求两个角的和、差正切值进而求解线段长度或点的坐标、位置等问题越来越多，这类题目的特征一般是以几何图形为背景， 常规思路是自然地当做一道几何题目来对待，考生一般会选择添加辅助线，构造相似，利用相似比例等解决。事实上，此类题目难度较大，解题思路的形成到实施是一件非常难完成的任务，题目的设置，正确率非常低。经过笔者认真研究，找到一种固定的三角函数法以解决此类型相似的问题，现将研究成果与同仁们分享。
一、预备知识
公式1：tan（α β）=■； 公式2：（特别的），当α=β时，tan2α=■；
我们知道公式1是高中三角函数中的公式，在高中数学中，此公式的推导证明是由公式tan（α β）=■得出的，是建立在公式sin（α β）、cos（α β）的已知基础上的。
显然，初中学生是无法理解此种证明方法的。笔者在课堂上引导学生通过几何构造的方法，尝试用tanα，tanβ表示tan（α β），进而得出公式1。学生推理演算得到公式，比笔者直接给出结论，学生死记硬背更有效。这样不仅可以培养学生构造或建模思维方式，提高学生的思维能力和数学素养，也真正拓宽了学生思路，丰富了学生的解题方法。
二、例题分析
例1. 已知：如图1，在RT△ABC中，∠C=90°（为简单起见，我们取△BAC为直角三角形），点D为BC边上的任意一点。
求证：tan∠ADC=■
证明：如图2，过点D作AB垂线，垂足为E。令DE=a，BE=b，AE=c，AC=d，CD=e，BD=f，由题知△BDE∽△BAC，所以■=■，即■=■，所以e f=■。由△ABC是RT△，则d2 （e f）2=（b c）2，所以d2 ■d2=（b c）2，d=■。又因为a2 c2=d2 e2，所以e=■。所以tan∠ADC=tan（α β）=■=■=■。又因为tanα=■，tanβ=■，所以两角和的正切值可以用可以用這两个的正切值表示：tan（α β）=■。特别的，当α=β时，tan2α=■。同理根据这种构造方法，我们亦可以用两个角的正切值表示两角差的正切值，即tan（α-β）=■。
例2. （湖北·武汉卷）如图3，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D。若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 。
评析：本题的常规思路是连结圆心与一个切点，并反向延长与另外一条切线相交，构造直角三角形，且通过相似比例求得其中一条直角边，进而求解正切值。图形较为复杂，计算量也较大，教学中发现优秀的学生也浅尝辄止，得分率非常低。
解：连接OA、OB、OP，因为PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，所以∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，而△PCD的周长=PC CE DE PD=PC AC PD DB=PA PB=3r，可求得PA=PB=■r，所以在RT△APO中，tan∠APO=■=■，根据∠APB=2∠APO可得，tan∠ABO=■=■。
例3. （内蒙古·呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 .
评析：本题难度较大，绝大部分考生没有任何思路，究其原因是45°角不知如何转化和使用。命题人给出的参考答案是构造含有90°圆心角的隐⊙P。如图5所示，巧妙的利用圆周角的性质转化已知条件中45°角，进而通过勾股定理解Rt△PFC，但实际教学中，笔者发现四点共圆，定直（长或角）隐圆这些拓展知识点，学生很难在紧张的考试中自然地想到。
解：设∠ACO=α，∠BCO=β，CO=h，所以由题得，tanα=■，tanβ=■，tan∠ACB=tan（α β）=■=1，即h2-10h-24=0，解得h1=12，h2=-2（舍去）。由题知点C是y轴上的一个动点，所以的坐标为（0，12）或（0，-12）。
例4. （陕西卷）如图7，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。
评析：本题作为考卷最后一题最后一问，难度非常大。属于存在性唯一性问题，参考答案的方法是构造隐圆，即构造△BPC的外接圆O（如图8），进而确定点P的位置，此进而求解cos∠BPC的最小值。考生面对复杂的几何图形，无从下手。
解：如图9所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，根据锐角三角函数定义知，当cos∠BPC最小值时，即此时∠BPC最大，也就是tan∠BPC最大，所以考虑转化为三角函数求解本题。过点P作BC垂线交于点Q，令∠BPQ=α，∠CPQ=β，且BQ=x，则 CQ=12-x（4≤x≤12），则tanα=■，tanβ=■，所以tan∠BPC=tan（α β）=■=■， 事实上观察上面这个表达式，我们发现分母是一个二次三项式，令函数y=x2-12x=48（4≤x≤12），此时问题可转化为求二次函数在确定范围内的最小值问题，不难得出，当x=6时函数有最小值，即此时tan∠BPC取最大值4■，则此时cos∠BPC=■。
例5. （浙江·宁波卷）如图10，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B 两点，且M是AB的中点，以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E位于点M右下方），连结DE交OM于点K。设（0
解：如图11，连接DM，过点K作DO的垂线，垂足为点P，根据题意得DM∥PK，因为■=y，所以■=y，我们不妨设ON=y，DN=1，∠OBA=α，所以∠NOK=α，∠ODK=2α，所以在Rt△NOK中，tan∠NOK=tanα，即■=x。同理在Rt△DNK中，tan∠ODK=tan2α，即■=■，消去NK得y关于x的函数解析式为y=■。
综上所述，三角函数法为解决复杂的几何难题提供了一种可能性，其本质是把几何问题转化为代数问题来解，而代数方法本身具有方法的固定性、便捷性，适合解决同类型的问题。此类方法的掌握和灵活应用，需要考生平日注重题目的总结，学会举一反三，以不变应万变。
参考文献：
[1] 李宏宇.用几何方法求15°、75°角的三角函数值[J].中学生数学，2003（6）.
（作者单位：浙江省宁波市镇海区立人中学 315200）