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【摘要】线段和角是中学几何学习中非常重要的知识点,也是中考的必考点.本文通过介绍两道数学题的解题思路,发现线段、角此类题共通性问题,以便学生掌握线段和角的相关问题的设计与解决方法.
【关键词】线段;角;共通性
在帮助学生处理线段、角的相关练习时,有一道题目引起了我的浓厚兴趣.它是这样描述的:已知线段AB=m,点C是AB上的一点,点D,E分别是AB和BC的中点,求两中点之间的长度.乍看起来没什么特别的,就是一个不相干的数学问题,没什么价值.认真琢磨琢磨,发现原来别有洞天.
这道习题的解题过程如下:
解题过程:
解因为点D,E分别是线段AC,BC的中点,
所以DC=1/2AC,CE=1/2BC.
又因为DE=DC CE,
所以DE=1/2AC 1/2BC=1/2(AC CB)=1/2AB.
又因为AB=m,所以DE=1/2m.
通过此题发现了一个有趣的现象——它在问题设计和解题过程上存在一定的共通性.
线段、角的很多问题是不是都具有共通性呢?经过搜集、整理、对比相关资料后发现,线段、角的问题中至少在以下几个方面具有共通性.
一、数线段、数角的个数相关问题具有共通性
例如,数线段的问题:已知2个端点,可以得到一条线段,3个点则可以得到3条线段,4个点则可以得到6条线段,5个点则可以得到_____条线段,n点则可以得到_____条线段.(5个点可以得到10条线段,n个点则可以得到n(n-1)2条线段)
与之对应的数角的问题:从一个点引出2条射线,可以得到1个角,引出3条射线,可以得到3个角,引出4条射线,可以得到6个角,引出5条射线可以得到个角,引出n条射线则可以得到个角.(5条射线可以得到10个角,n条射线可以得到n(n-1)2个角)
二、线段的和差、角的和差问题具有共通性
在线段的问题中经常要求某条线段的长度,我们通常可以几条线段之间的加减运算得到,而角呢,也会涉及求某个角的度数,也是通过几个角之间的加减运算得到.
例如,线段的问题:如图所示,已知AB=12,点C是AB上的一点,点D是AC的中点,且DC=4,求线段BC的长.
与之对应的角的问题:
如图所示,已知∠AOB=120°,OC是∠AOB内部的一条射线,OD平分∠AOC,且∠DOC=40°,求∠BOC的度数.
有一个线段的和差问题,就应当有一个与之对应的角的和差问题.
三、动点、动线问题具有共通性
线段的问题中,有一类叫作动点问题,而角的问题中也有动线问题,它们也存在共通性.
例如,线段的问题:已知线段AB=12,在线段AB上有一动点P,点P从A向B以每秒2个单位的速度做匀速运动,P点出发多少秒后,线段AP=12AB?
与之对应的角的问题:
已知∠AOB=120°,射线OP从OA开始出发,绕点O向OB边以每秒20°的速度,做匀速旋转,试问多少秒后,∠AOP=12∠AOB?
再如,线段的问题:直线上有A,B两动点,A,B在某一时刻相距12 cm,已知点A、点B分别以1 cm/s,2 cm/s的速度做匀速运动.请解决以下问题:(1)若A,B两点相向而行,则多少秒后,两点相距8 cm?(2)若A,B同向而行,则多少秒后兩点相距8 cm?
对应的角的问题如下:
射线OA,OB是绕O点做匀速旋转的射线,在某一时刻,OA,OB的夹角为120°,已知OA,OB的速度分别为10°/s,20°/s.请解决以下问题:(1)若OA,OB相向旋转,多少秒后夹角为80°?(2)若OA在前,OA,OB做同向旋转一周,则多少秒后夹角为80°?
综上所述,线段与角的问题中有着诸多的共通性,我们在设计和解决此类问题时,可以利用这一特点来帮助我们用“此”思路或方法解决“彼”的问题.
【参考文献】
[1]仇日锋.线段与角相关问题中的数学思想应用[J]中学教学参考,2015(23):36-37.
[2]王天宇.选择最优的方法证明两条线段相等[J].中小学数学(初中版),2017(12):36-37.
[3]王锋.由等腰三角形设计的线段和差关系[J].初中生天地,2017(29):40-43.
【关键词】线段;角;共通性
在帮助学生处理线段、角的相关练习时,有一道题目引起了我的浓厚兴趣.它是这样描述的:已知线段AB=m,点C是AB上的一点,点D,E分别是AB和BC的中点,求两中点之间的长度.乍看起来没什么特别的,就是一个不相干的数学问题,没什么价值.认真琢磨琢磨,发现原来别有洞天.
这道习题的解题过程如下:
解题过程:
解因为点D,E分别是线段AC,BC的中点,
所以DC=1/2AC,CE=1/2BC.
又因为DE=DC CE,
所以DE=1/2AC 1/2BC=1/2(AC CB)=1/2AB.
又因为AB=m,所以DE=1/2m.
通过此题发现了一个有趣的现象——它在问题设计和解题过程上存在一定的共通性.
线段、角的很多问题是不是都具有共通性呢?经过搜集、整理、对比相关资料后发现,线段、角的问题中至少在以下几个方面具有共通性.
一、数线段、数角的个数相关问题具有共通性
例如,数线段的问题:已知2个端点,可以得到一条线段,3个点则可以得到3条线段,4个点则可以得到6条线段,5个点则可以得到_____条线段,n点则可以得到_____条线段.(5个点可以得到10条线段,n个点则可以得到n(n-1)2条线段)
与之对应的数角的问题:从一个点引出2条射线,可以得到1个角,引出3条射线,可以得到3个角,引出4条射线,可以得到6个角,引出5条射线可以得到个角,引出n条射线则可以得到个角.(5条射线可以得到10个角,n条射线可以得到n(n-1)2个角)
二、线段的和差、角的和差问题具有共通性
在线段的问题中经常要求某条线段的长度,我们通常可以几条线段之间的加减运算得到,而角呢,也会涉及求某个角的度数,也是通过几个角之间的加减运算得到.
例如,线段的问题:如图所示,已知AB=12,点C是AB上的一点,点D是AC的中点,且DC=4,求线段BC的长.
与之对应的角的问题:
如图所示,已知∠AOB=120°,OC是∠AOB内部的一条射线,OD平分∠AOC,且∠DOC=40°,求∠BOC的度数.
有一个线段的和差问题,就应当有一个与之对应的角的和差问题.
三、动点、动线问题具有共通性
线段的问题中,有一类叫作动点问题,而角的问题中也有动线问题,它们也存在共通性.
例如,线段的问题:已知线段AB=12,在线段AB上有一动点P,点P从A向B以每秒2个单位的速度做匀速运动,P点出发多少秒后,线段AP=12AB?
与之对应的角的问题:
已知∠AOB=120°,射线OP从OA开始出发,绕点O向OB边以每秒20°的速度,做匀速旋转,试问多少秒后,∠AOP=12∠AOB?
再如,线段的问题:直线上有A,B两动点,A,B在某一时刻相距12 cm,已知点A、点B分别以1 cm/s,2 cm/s的速度做匀速运动.请解决以下问题:(1)若A,B两点相向而行,则多少秒后,两点相距8 cm?(2)若A,B同向而行,则多少秒后兩点相距8 cm?
对应的角的问题如下:
射线OA,OB是绕O点做匀速旋转的射线,在某一时刻,OA,OB的夹角为120°,已知OA,OB的速度分别为10°/s,20°/s.请解决以下问题:(1)若OA,OB相向旋转,多少秒后夹角为80°?(2)若OA在前,OA,OB做同向旋转一周,则多少秒后夹角为80°?
综上所述,线段与角的问题中有着诸多的共通性,我们在设计和解决此类问题时,可以利用这一特点来帮助我们用“此”思路或方法解决“彼”的问题.
【参考文献】
[1]仇日锋.线段与角相关问题中的数学思想应用[J]中学教学参考,2015(23):36-37.
[2]王天宇.选择最优的方法证明两条线段相等[J].中小学数学(初中版),2017(12):36-37.
[3]王锋.由等腰三角形设计的线段和差关系[J].初中生天地,2017(29):40-43.