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從教育的使命“教书育人”的角度分析，教育具有双重性，即教育的知识性和智慧性.知识只关乎事物，智慧却关乎人生；知识是理念的外化，智慧是人生的反观.从人的全面和自由发展的意义上讲，知识的地位和作用是基础性和工具性的，而智慧一方面涵盖了知识，另一方面又超越了知识，直达人的自由和自觉，直达人的有意义生活.[1]因此，教育不能止于知识的传承，而是要通过知识的学习引导人的智慧成长.本文通过“生活中的比”的教学，谈一些关于“凸显数学本质，关注智慧成长”的浅见，敬请同行们研教.
一、溯源——在数学概念的引入中，促进学生智慧的萌生
问题情境：用现有的条件能解决下面两个问题吗？
（1）淘气班有45人，笑笑班有35人，哪个班拥挤？
（2）A号茶杯放入25 g蔗糖，B号茶杯放入同样的蔗糖30 g，哪个茶杯的糖水甜？
（同桌两人各选一题，思考后交流，再全班汇报.）
师：这两题用现有的条件能解决吗？认为能解决的请举手（学生举手），认为不能解决的也请举手（学生举手）.
师：势均力敌.认为能解决的请亮出你的观点，认为不能解决的也请亮出你的观点.
生1：人多就会拥挤，所以淘气班拥挤.放入糖多就会甜，所以B号茶杯的糖水甜.
生2：光看人数，不能判断拥挤，还要看面积的大小.
生3：哪个茶杯的糖水甜，不能光看放入的糖多少，还要看里面水的多少.
小结：判断拥挤与糖水甜的情况，不能用一个量刻画，需要“两个量结合”.
板书：两个量结合
师：现在老师把条件补充完整，请同学们继续解决这两个问题.
[在第（1）题上补充条件：淘气班的教室长9米、宽7米，笑笑班的教室长7米、宽6米.在第（2）题上补充条件：A号茶杯原有水100 mL，B号茶杯原有水120 mL.]
生1：9×7÷45=63÷45=1.4（m2/人），7×6÷35=42÷35=1.2（m2/人），所以笑笑班拥挤.
生2：25÷100=0.25（克糖/毫升水），30÷120=0.25（克糖/毫升水），所以一样甜.
师：刚才的“两个量结合”，是用什么计算方法来处理的？
生：除法.
板书：两数相除.
师：两个数的运算可以用加、减、乘和除，在这里为什么不用加法、减法或乘法？
生：不同的量不可以相加、相减，人数与面积相乘、水与糖相乘没有意义.
师：解决这两个问题有什么共同之处？
生：要考虑两个量，这两个量用除法计算.
师：是的！这两个问题都不能用一个量刻画，必须用两个对等的量来刻画.像这样的“两数相除”叫作两数的比.
（在“两数相除”的下面再板书“两数的比”.）
分析荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔强调，“现代数学在建立数学概念的方法上，已从典型的通过‘外延描述的抽象化’转向实现‘公理系统的抽象化’……它已经成为现代科学方法论的普遍范例”.[2]以这样的高观点指导中小学数学概念教学，不只要求学生理解概念的表层含义，还应着眼于定义概念的过程，学习像数学家那样思考，了解定义形成的方法和依据，理解蕴含在定义背后的规定和意义，以获得可靠的数学知识，并在此基础上进行创造性的学习.[3]数学教师的任务在于寻求数学之源，呈现有价值的数学问题情境，让学生在解决数学问题的过程中，经历数学知识的再创造过程.上述教学中，先呈现不完整情境，让学生思考、交流能否解决，待学生们认为少了一个条件（一个量）时，再出示完整的条件让学生解决，其实就是让学生经历祖先创造“比”的原委——用已有知识难以用一个量阐明类似房间的拥挤程度、液体的浓度、照片的形状等问题，必须创造一个新概念——“比”，用两个量刻画有些事物的属性.虽然“比”的概念引进或建立是前人的创造，但让学生回溯“比”的创造之源，实际上是为学生提供智慧萌生的契机.
二、求真——在数学联系的思考中，实现学生智慧的超越
（一）比与除法、分数的等价格关系
在自学、交流的基础上，得出了比与除法、分数的如下关系：
学生一边说，课件一边演示.
：如果用a表示被除数，b表示除数，请写出相应的分数和比.
（a÷b=ab=a∶b，b≠0，重点让学生理解比的后项为什么不能为0.）
师：从相等关系的角度分析，谁来说说比是什么？
生1：比就是除法，被除数是比的前项，除数是比的后项，除号是比号，商是比值.
生2：比就是分数，分子是比的前项，分母是比的后项，分数线是比号.
2.比与除法、分数的区别
师：学到这里，谁有疑问？
生1：比就是除法，比就是分数，为什么还要学习比呢？
生2：比与除法、分数有什么区别呢？
师：这些问题都很有价值，请同学们先完成下面的填空题后再思考.
课件出示填空题：
① 2米长的木头用去15，还剩（）.
② 48个桃子平均分给3只猴子，每只猴子得到（）个桃子，是用（）计算的.
③ 与图片A比较像的是图片（），理由是（）.
A
B
C
在汇报“填空题”答案的基础上，教师继续补问.
师：通过这三题的解答，请找一找比与除法、分数的区别.
先小组交流，再全班交流.在全班交流的同时完成下表：
分数除法比
区别不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示某个具体数量.是一种运算表示两个量的关系（用两个可以度量的量刻画事物）. 师：比表示两个量的关系，这个关系能说成倍数关系吗？为什么？
生：不能说成倍数关系，如面积与人数的比，不能说成面积是人数的几倍，只能说它们的比值是多少.
小结：在“比”中，当两个量的单位一样时，可以说成倍数关系；当单位不是同一类时，只能说成比是用“两个量结合”刻画事物.如用路程与时间这两个量的结合（速度）刻画汽车行驶的快慢.
师：谁来回答，有了除法和分数为什么还要学习比？
生：除法是一种运算，分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示某个具体数量，而比是用两个可以度量的量刻画事物.
分析“数学是研究数量关系和空间形式的科学.”[4]所以求“真”是数学学科的秉性.数学的求真精神不仅能够养成学生独立发现问题、思考问题和解决问题的良好习惯，还能激发学生追求和坚持“不唯上、不唯书、只唯实”（陈云语）的精神.可见，数学求真的过程正是对学生智慧成长的一次次启迪与砥砺的过程.如上述的教学中，当课堂得出比与除法、分数的等价关系后，教师先引导学生质疑：“比就是除法，比就是分数，为什么还要学习比呢？”“比与除法、分数有什么区别呢？”再通过“填空题”的解决与交流，使学生理解了比与除法、分数的本质区别——除法是一种运算，分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示某个具体数量，而比是用两个可以度量的量刻画事物.这样的教学，不仅促进了学生体会学习比的必要性，还让学生在比与除法、分数的联系与区别的思考、交流中，实现智慧的超越.
为了学生的智慧成长，我们不能局限于就知识教知识，围绕考点“炒”知识，而应该引导学生不断地追问是什么？为什么？一定是这样吗？还可能怎样？……充满思考与叩问的课堂才是启迪学生智慧成长的温床.[5]
三、追魂——在数学的应用中，加速学生智慧的发展
在課的尾声，笔者设计了下面的联系实际的拓展应用.
课件：《国旗法》规定，国旗的旗面是长方形，长和宽的比是3∶2.
（1）笑笑学校的国旗尺寸是长240 cm，宽160 cm.这样的尺寸符合《国旗法》吗？为什么？
（2）杨利伟是第一个上太空的中国人，他在太空中展开了联合国国旗和中华人民共和国国旗（出示图片）.请你估计这面中华人民共和国国旗的长为cm，宽为cm.
生1：笑笑学校国旗的尺寸符合《国旗法》，因为240∶160=3∶2.
生2：我估计杨利伟所展开的中华人民共和国国旗长3厘米，宽2厘米.
生3：那也太小了，我估计长24厘米，宽16厘米.
生4：我估计长30厘米，宽20厘米.
师：不猜了.告诉大家吧，杨利伟在太空中所展开的中华人民共和国国旗长15厘米.请问宽是多少厘米？
生：宽10厘米.
师：一定吗？
生：一定！
师：为什么偏偏是10厘米呢？
生：因为长和宽的比是3∶2，也就是比值是1.5，现在15÷宽=1.5，宽只能是10厘米.
师：我们可以根据不同的场合因素，选用大小合适的国旗，国旗长和宽的尺寸在变，但什么不变呢？
生：长和宽的比值不变.
师：所以，有人曾说，数学是研究变化中的不变.如运算律中运算顺序变了，但运算结果不变；平面图形的等积变形，形状变化了，而面积未变；今天学习的照片像与不像和国旗的制作要求，长和宽尺寸可变，但比值不变.今后我们要善于抓住事物的不变属性进行多变.
分析数学教育家波利亚曾说：“解决数学问题，我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直至最终成功地找到某些有用的东西为止.”中学数学是如此，小学数学也不例外.如异分母分数加减，变换成同分母的分数计算；梯形转化成三角形或平行四边形，从而推导出其面积公式；不规则图形变换成规则图形计算等等.无论怎么变，但某个数学的要素没有变.[6]有了“比”，又多了一条进行数学变换的途径.因此，在本课“联系实际，拓展应用”的环节中，巧妙地渗透“数学变换”的思想方法，是十分必要的.这样的教学跳出了比的知识范畴，让学生在巩固比的知识的同时，不知不觉地感悟了数学的思想方法，进而促进了数学素养的提升.
数学思想是数学的灵魂.数学教育不能满足于学生对数学知识与技能的掌握，要通过数学知识的学习引导学生去触摸数学的灵魂，让学生在解决数学问题的过程中受到数学思想的熏陶，久而久之，学生做事、做人的智慧定会在“润物细无声”中茁壮成长.
【参考文献】
[1][5]顾亚龙.为学生智慧的成长而教——小学数学教育的智慧视界[J].小学教学研究，2014（7）：4-6.
[2]张奠宙.数学教育研究导引[M].南京：江苏教育出版社，1998：218.
[3]姜荣富.知识特征、认知规律与教学方式的有效选择[J].小学数学教师，2014（6）：43-47.
[4]教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版，2011：3.
[6]蔡宏圣.教学：从授业解惑到思想启蒙[J].小学教学，2014（12）：21-23.
一、溯源——在数学概念的引入中，促进学生智慧的萌生
问题情境：用现有的条件能解决下面两个问题吗？
（1）淘气班有45人，笑笑班有35人，哪个班拥挤？
（2）A号茶杯放入25 g蔗糖，B号茶杯放入同样的蔗糖30 g，哪个茶杯的糖水甜？
（同桌两人各选一题，思考后交流，再全班汇报.）
师：这两题用现有的条件能解决吗？认为能解决的请举手（学生举手），认为不能解决的也请举手（学生举手）.
师：势均力敌.认为能解决的请亮出你的观点，认为不能解决的也请亮出你的观点.
生1：人多就会拥挤，所以淘气班拥挤.放入糖多就会甜，所以B号茶杯的糖水甜.
生2：光看人数，不能判断拥挤，还要看面积的大小.
生3：哪个茶杯的糖水甜，不能光看放入的糖多少，还要看里面水的多少.
小结：判断拥挤与糖水甜的情况，不能用一个量刻画，需要“两个量结合”.
板书：两个量结合
师：现在老师把条件补充完整，请同学们继续解决这两个问题.
[在第（1）题上补充条件：淘气班的教室长9米、宽7米，笑笑班的教室长7米、宽6米.在第（2）题上补充条件：A号茶杯原有水100 mL，B号茶杯原有水120 mL.]
生1：9×7÷45=63÷45=1.4（m2/人），7×6÷35=42÷35=1.2（m2/人），所以笑笑班拥挤.
生2：25÷100=0.25（克糖/毫升水），30÷120=0.25（克糖/毫升水），所以一样甜.
师：刚才的“两个量结合”，是用什么计算方法来处理的？
生：除法.
板书：两数相除.
师：两个数的运算可以用加、减、乘和除，在这里为什么不用加法、减法或乘法？
生：不同的量不可以相加、相减，人数与面积相乘、水与糖相乘没有意义.
师：解决这两个问题有什么共同之处？
生：要考虑两个量，这两个量用除法计算.
师：是的！这两个问题都不能用一个量刻画，必须用两个对等的量来刻画.像这样的“两数相除”叫作两数的比.
（在“两数相除”的下面再板书“两数的比”.）
分析荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔强调，“现代数学在建立数学概念的方法上，已从典型的通过‘外延描述的抽象化’转向实现‘公理系统的抽象化’……它已经成为现代科学方法论的普遍范例”.[2]以这样的高观点指导中小学数学概念教学，不只要求学生理解概念的表层含义，还应着眼于定义概念的过程，学习像数学家那样思考，了解定义形成的方法和依据，理解蕴含在定义背后的规定和意义，以获得可靠的数学知识，并在此基础上进行创造性的学习.[3]数学教师的任务在于寻求数学之源，呈现有价值的数学问题情境，让学生在解决数学问题的过程中，经历数学知识的再创造过程.上述教学中，先呈现不完整情境，让学生思考、交流能否解决，待学生们认为少了一个条件（一个量）时，再出示完整的条件让学生解决，其实就是让学生经历祖先创造“比”的原委——用已有知识难以用一个量阐明类似房间的拥挤程度、液体的浓度、照片的形状等问题，必须创造一个新概念——“比”，用两个量刻画有些事物的属性.虽然“比”的概念引进或建立是前人的创造，但让学生回溯“比”的创造之源，实际上是为学生提供智慧萌生的契机.
二、求真——在数学联系的思考中，实现学生智慧的超越
（一）比与除法、分数的等价格关系
在自学、交流的基础上，得出了比与除法、分数的如下关系：
学生一边说，课件一边演示.
：如果用a表示被除数，b表示除数，请写出相应的分数和比.
（a÷b=ab=a∶b，b≠0，重点让学生理解比的后项为什么不能为0.）
师：从相等关系的角度分析，谁来说说比是什么？
生1：比就是除法，被除数是比的前项，除数是比的后项，除号是比号，商是比值.
生2：比就是分数，分子是比的前项，分母是比的后项，分数线是比号.
2.比与除法、分数的区别
师：学到这里，谁有疑问？
生1：比就是除法，比就是分数，为什么还要学习比呢？
生2：比与除法、分数有什么区别呢？
师：这些问题都很有价值，请同学们先完成下面的填空题后再思考.
课件出示填空题：
① 2米长的木头用去15，还剩（）.
② 48个桃子平均分给3只猴子，每只猴子得到（）个桃子，是用（）计算的.
③ 与图片A比较像的是图片（），理由是（）.
A
B
C
在汇报“填空题”答案的基础上，教师继续补问.
师：通过这三题的解答，请找一找比与除法、分数的区别.
先小组交流，再全班交流.在全班交流的同时完成下表：
分数除法比
区别不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示某个具体数量.是一种运算表示两个量的关系（用两个可以度量的量刻画事物）. 师：比表示两个量的关系，这个关系能说成倍数关系吗？为什么？
生：不能说成倍数关系，如面积与人数的比，不能说成面积是人数的几倍，只能说它们的比值是多少.
小结：在“比”中，当两个量的单位一样时，可以说成倍数关系；当单位不是同一类时，只能说成比是用“两个量结合”刻画事物.如用路程与时间这两个量的结合（速度）刻画汽车行驶的快慢.
师：谁来回答，有了除法和分数为什么还要学习比？
生：除法是一种运算，分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示某个具体数量，而比是用两个可以度量的量刻画事物.
分析“数学是研究数量关系和空间形式的科学.”[4]所以求“真”是数学学科的秉性.数学的求真精神不仅能够养成学生独立发现问题、思考问题和解决问题的良好习惯，还能激发学生追求和坚持“不唯上、不唯书、只唯实”（陈云语）的精神.可见，数学求真的过程正是对学生智慧成长的一次次启迪与砥砺的过程.如上述的教学中，当课堂得出比与除法、分数的等价关系后，教师先引导学生质疑：“比就是除法，比就是分数，为什么还要学习比呢？”“比与除法、分数有什么区别呢？”再通过“填空题”的解决与交流，使学生理解了比与除法、分数的本质区别——除法是一种运算，分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系，还可以表示某个具体数量，而比是用两个可以度量的量刻画事物.这样的教学，不仅促进了学生体会学习比的必要性，还让学生在比与除法、分数的联系与区别的思考、交流中，实现智慧的超越.
为了学生的智慧成长，我们不能局限于就知识教知识，围绕考点“炒”知识，而应该引导学生不断地追问是什么？为什么？一定是这样吗？还可能怎样？……充满思考与叩问的课堂才是启迪学生智慧成长的温床.[5]
三、追魂——在数学的应用中，加速学生智慧的发展
在課的尾声，笔者设计了下面的联系实际的拓展应用.
课件：《国旗法》规定，国旗的旗面是长方形，长和宽的比是3∶2.
（1）笑笑学校的国旗尺寸是长240 cm，宽160 cm.这样的尺寸符合《国旗法》吗？为什么？
（2）杨利伟是第一个上太空的中国人，他在太空中展开了联合国国旗和中华人民共和国国旗（出示图片）.请你估计这面中华人民共和国国旗的长为cm，宽为cm.
生1：笑笑学校国旗的尺寸符合《国旗法》，因为240∶160=3∶2.
生2：我估计杨利伟所展开的中华人民共和国国旗长3厘米，宽2厘米.
生3：那也太小了，我估计长24厘米，宽16厘米.
生4：我估计长30厘米，宽20厘米.
师：不猜了.告诉大家吧，杨利伟在太空中所展开的中华人民共和国国旗长15厘米.请问宽是多少厘米？
生：宽10厘米.
师：一定吗？
生：一定！
师：为什么偏偏是10厘米呢？
生：因为长和宽的比是3∶2，也就是比值是1.5，现在15÷宽=1.5，宽只能是10厘米.
师：我们可以根据不同的场合因素，选用大小合适的国旗，国旗长和宽的尺寸在变，但什么不变呢？
生：长和宽的比值不变.
师：所以，有人曾说，数学是研究变化中的不变.如运算律中运算顺序变了，但运算结果不变；平面图形的等积变形，形状变化了，而面积未变；今天学习的照片像与不像和国旗的制作要求，长和宽尺寸可变，但比值不变.今后我们要善于抓住事物的不变属性进行多变.
分析数学教育家波利亚曾说：“解决数学问题，我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直至最终成功地找到某些有用的东西为止.”中学数学是如此，小学数学也不例外.如异分母分数加减，变换成同分母的分数计算；梯形转化成三角形或平行四边形，从而推导出其面积公式；不规则图形变换成规则图形计算等等.无论怎么变，但某个数学的要素没有变.[6]有了“比”，又多了一条进行数学变换的途径.因此，在本课“联系实际，拓展应用”的环节中，巧妙地渗透“数学变换”的思想方法，是十分必要的.这样的教学跳出了比的知识范畴，让学生在巩固比的知识的同时，不知不觉地感悟了数学的思想方法，进而促进了数学素养的提升.
数学思想是数学的灵魂.数学教育不能满足于学生对数学知识与技能的掌握，要通过数学知识的学习引导学生去触摸数学的灵魂，让学生在解决数学问题的过程中受到数学思想的熏陶，久而久之，学生做事、做人的智慧定会在“润物细无声”中茁壮成长.
【参考文献】
[1][5]顾亚龙.为学生智慧的成长而教——小学数学教育的智慧视界[J].小学教学研究，2014（7）：4-6.
[2]张奠宙.数学教育研究导引[M].南京：江苏教育出版社，1998：218.
[3]姜荣富.知识特征、认知规律与教学方式的有效选择[J].小学数学教师，2014（6）：43-47.
[4]教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版，2011：3.
[6]蔡宏圣.教学：从授业解惑到思想启蒙[J].小学教学，2014（12）：21-23.