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摘 要：“概率论与数理统计”在开展课程思政教学上有得天独厚的优势，本文以“相互独立条件下事件概率的计算”和“贝努利分布及其应用”两个教学案例，通过引入大量的生活常识、耳熟能详的谚语、搭建知识结构体系等教学方式，引导学生用概率的眼光解读未知的世界，用统计的方法指导工作与生活。在关注知识传授、能力培养、情感价值塑造的同时，将辩证唯物主义、科学精神、家国情怀、人生观及社会主义核心价值观等思政元素，润物细无声的融入“概率论与数理统计”课程教学，使知识传授与价值引领同频共振，最终实现“概率论与数理统计”课程“立德树人”的核心功能。
关键词：相互独立事件;概率;贝努利分布;知识传授;价值引领
“概率论与数理统计”是高等院校理工类、经管类开设的重要课程之一，在培养学生的理性精神、随机事件应对能力、数据处理与建模能力、综合素质培养及思想政治隐性教育等方面起着十分重要的作用。
在课程思政背景下，“概率论与数理统计”课程在培养什么人、怎样培养人、为谁培养人这个教育根本问题上，除了要关注知识传授与能力培养，更要关注知识传授与价值引领的同频共振。目前关于“概率论与数理统计”课程开展课程思政教学的文献和教学案例还很少，笔者多年从事高校“概率论与数理统计”课程教学，形成了自身的一些教学特点，对其推进课程思政的教学有些体会，本文就此做些
总结。
一、课程思政背景及“概率论与数理统计”课程思政的优势
习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，要把立德树人作为中心环节，要用好课堂教学这个主渠道，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人。……各类课程都要守好一段渠，种好责任田，与思想政治理论课同向同行，形成协同效应[1]。“概率论与数理统计”作为研究随机现象及其统计规律性的一门学科，在课程思政教育教学上自带得天独厚的优势。
从人文价值角度看，“概率论与数理统计”中很多随机实验、概念、公式、定理和方法背后，都体现着统计学家们不懈努力、刻苦研究、严谨周密、一丝不苟的科学精神，这足以激发学生勇攀科学高峰、战胜各种困难的信念和勇气。
从哲学层面看，“概率论与数理统计”独具特色的概念、公式、定理和方法中，体现着大量的随机与确定、联系与发展、局部与整体、一般与特殊、精确与近似、对立与统一、量变与质变、理论与实践等辩证唯物主义哲学思想，这些都是很好的思政元素资源。
从技术层面看，“概率论与数理统计”提供了从不同角度认识世界和改造世界的具体理论和方法。概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，并作出数量上的描述。数理统计则是基于概率论的理论和方法，研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定结论的科学和艺术。无论是贝叶斯学派，还是皮尔逊、费舍尔、尼曼等学派，都希望通过统计方法从归纳的角度认识世界，改造世界，很好体现了“知行合一”。
二、“概率论与数理统计”开展课程思政的教学设计素材
课堂教学是育人最主要的过程，也是教书育人最重要的途径。知识传授与价值引领是育人的基本实现形式。教学中既要注重在价值传播中凝聚知识底蕴，又要注重在知识传播中强调价值引领，突出显性教育和隐性教育相融通，实现从思政课程向课程思政创造性转化[2]。
在“概率论与数理统计”课程教学中，要充分挖掘并呈现课程思政优势的各种素材。
1.将科学家的钻研精神和爱国主义情怀融入教学
挖掘“概率论与数理统计”基本概念、实验、公式、定理和方法背后的人文价值素材。例如开创中国概率论、数理统计领域教学和研究工作的一代宗师许宝騄教授，是世界公认的多元统计分析奠基人之一，在参数估计理论、奈曼-皮尔逊理论、多元分析、极限理论等领域都取得了卓越成就。许教授曾在英国伦敦大学留学并任教，但在祖国艰难时期，谢绝国外著名大学的挽留，毅然选择回国。通过开设讲习班等形式，为我国培养了一批批概率统计学科的教学和科研人才。许教授心怀祖国、报效祖国、为科学奉献终身的事迹足以激发学生勇攀科学高峰的信念和报效祖国的爱国情怀。
2.将辩证唯物主义哲学思想融入教学
挖掘“概率论与数理统计”基本概念、实验、公式、定理所蘊含的对立统一、量变质变、局部与整体、精确与近似、理论与实践、绝对与相对转化等规律，这些都是对学生进行辩证唯物主义思想教育的很好素材。例如，随机现象的概念体现了表面呈现的偶然性与内部蕴含的必然性二者的对立统一关系。随机变量分布函数的引入，体现了随机性思维与确定性思维的统一，也体现了数学不同学科之间的联系和统一。大数定律和中心极限定理体现了从量变到质变、从精确到近似的转化规律。数理统计中的参数估计和假设检验体现了从部分与总体、理论与实践的区别与联系的和谐统一。
3.将正确的世界观、人生观、价值观融入教学
“概率论与数理统计”课程的大量计算、证明及其应用中，每个过程都要依据概念、性质、定理或推论，有理有据的推导，这种贯穿课程始终的严谨理性的逻辑思维，会引领学生将规则意识铭记于心，不做违法、违规之事。
可通过列举身边大量的生活常识、耳熟能详的谚语或寓言故事、讲述知识点的历史典故、总结搭建知识结构体系等方式，启发学生用概率的眼光解读我们的世界，用统计的方法来指导我们的工作与生活，在关注知识传授、能力培养、情感价值塑造的同时，进行道德品质教育，起到育才与育人一举两得的效果。例如，在全概率公式和贝叶斯公式教学中，以“狼来了”寓言故事，展现人们以动态的方式思考问题，对一些问题的看法要随着新信息的加入而进行动态的调整、修正，通过建立诚信度的量化评价模型，得出结论：诚信缺失之后，若想重建诚信、重新获得人们信任并不是简单的一两次信守承诺就可以做到，很可能用相当长时间也不易恢复，以此告诫社会中的每个成员都要信守承诺[3]。总之，用统计知识解读日常生活和工作中碰到的一些现象，用统计方法去指导生活和工作，做到知行合一。 三、“概率论与数理统计”课程思政教学的探索实践
下面通过两个教学案例抛砖引玉，探索以知识传授与价值引领同频共振的方式践行课程思政的教学模式。
1.相互独立事件概率计算的教学探索
随机事件发生可能性大小的度量是通过概率的大小来反映。在很多实际问题和理论研究中，经常会涉及相互独立事件概率的计算问题。与一般随机事件的概率计算相比，独立事件概率的计算有其特殊的性质和结论。
（2）相互独立事件概率计算的思政元素
随机非随意，概率破玄机。生活中很多耳熟能详的成语、谚语、生活常识、甚或国家政策制定，大多都呈现出随机性的特点。用数学的语言表达，从概率的眼光来进行分析，其实就是“多个事件相互独立时至少有一个事件发生的概率计算”问题。
例1. 兄弟同心，其利断金
以“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”来分析。
假设号称诸葛亮的那个聪明人能正确解决某问题的把握为P（A0）=0.90，另假设刘备、关羽、张飞三人，各自能独立解决该问题的把握分别为P（A1）=0.60，P（A2）=0.55，P（A3）=0.45。将数据代
入性质4，可以得到刘关张三人合作，解决该问题的概率为：
P（A1∩B2∩C3）=1?P（A1）P（B2）P（C3）=0.901
该计算结果表明，虽然刘关张三人实力并不很强，各自独立解决该问题的把握都不太大，但他们三人若能在充分发挥自身能力的情况下展开合作，则该问题被解决的把握却达到0.901，已经超过号称聪明人的诸葛亮的能力。这足以体现弱者间互助合作、抱团取暖的重要。
再看刘备三顾茅庐请来诸葛亮辅佐之后，将上面相同的数据代入性质5，结果会很惊人，该问题被解决的概率为：
P（A0∩A1∩B2∩C3）
=1?P（A0）P（A1）P（B2）P（C3）=0.998845
计算结果表明，刘备、关羽、张飞邀请聪明的诸葛亮一起共商国是，问题被解决的把握几乎百分之百，简直天下无敌。这也是三国演义中看到的，刘备的兵力虽远远比不上曹操，但是却没有比曹操逊色多少，甚至在后期形成了魏蜀吴三国鼎立的局面。
进一步假设，若有100个人，每个人的实力都很弱，各自能独立解决某问题的把握很小，不妨都以0.05估计，仍采取合作，由性质5，可得到这个问题被解决的概率为：
这个结果，是不是从概率的角度能更好理解了“人民群众是人类历史的创造者”这句话的含义了呢？
（3）搭建知识体系，展现求解问题时“特殊化与一般化”相互转化的数学思想
对性质5做进一步的归纳引申：任意n个相互独立的随机事件A1， A2， …，An，若每个事件发生的概率都相同，是否会得到更一般的结论？这样的引申，既展现了解决问题所用的“一般化与特殊化”相互转化的数学思想，同时也自然引入后续的随机变量概念及其贝努利分布的相关内容，搭建了内容之间的联系框架，有利于学生能更好地掌握本课程的基本理论知识。
（4）知识传授与价值引领同频共振
与上面的分析类似，现实生活中有很多現象或道理，用“相互独立条件下事件概率的大小”来进行解释、阐述，其结果比空洞的说教更具说服力。
例如，在生活或工作、学习中，每个人难免会遇到各种各样的不如意和困难相互独立的随机事件，正确解决问题或战胜困难的打开方式，应该是学会和人沟通，与人合作，通过与人合作提高解决问题或战胜困难的把握，成就团队的同时也会提升自身的价值。同时，发扬团结友爱、合作互助精神在提高整个团队工作效率的同时，也会温暖彼此的心灵，营造融洽的人际关系。另外，对生活中聪明的诸葛亮也有一定警示作用，为人要谦逊，山外有山，人外有人，做人做事都应该胜不骄、败不馁。
小到个人、企业，大到一个国家都是一样，面对共同的问题，都可以看作是n个相互独立的随机事件，寻求真诚合作实乃明智之举。共同的机遇，强强联合可以打造精品，发展更大。共同的难题，寻求合作抱团取暖，可以共渡难关，实现突破。这样的实例还可以举出很多，比如，在民事诉讼或刑事诉讼中大多都采用合议庭审理案件，再如，国家重大政策采用民主集中制等，都可按“相互独立事件概率的计算”结果来进行解释和阐述其中的道理。
但要注意的是，在对“相互独立事件的概率”进行计算时要明确，合作每一方的工作态度假设都要前后一致，要各尽所能、各尽其力，才能体现合作的优越性。否则，如果合作时有人想搭便车、或为一己私利互相拆台，则合作的优越性就会荡然无存，甚至会起到相反作用。正如水能载舟，亦能覆舟。
2.贝努利分布及其应用的教学探索
随机变量概念的引进，使得对随机现象的处理更简单与直接，也更统一而有力，它是通向现代概率理论的起点，是概率论发展走向成熟的一个标志。其中贝努利分布（或称二项分布）是一种常见的离散型随机变量分布，在理论研究中占据非常重要的地位，在日常生活中也有广泛的应用。
（1）贝努利分布的特点及性质
定义1. 若随机试验在相同条件下可以独立重复进行n次，每次试验只有两个可能结果A和A，事件A在每次试验中出现的概率p保持不变，即P（A）=p，就称这样的试验为n重贝努利试验。
上述结果很好阐述了，某件事即使仅有1%的希望，也要尽100%的努力。当努力的次数n足够多，即n→∞时，几乎可以百分百的肯定“事件A至少会发生一次”。即
例3. 人生在勤，不索何获
假设在某次“概率论与数理统计”课程的考试中，依据教学大纲，一共设计了100道来自不同知识点的单项选择题，每道题附有A、B、C、D四个选项，至少答对60道题为及格。下面计算下考生凭运气侥幸通过这次考试的概率有多大？ 以X表示答对的题数，假定每道题的选择是相互独立的，则这个问题可以看成是100重贝努利试验，即X～B（100，0.25），其分布列为
此概率几乎为零，它相当于在10 000亿个碰运气的考生中，会有1.33人能通过该考试。而到2020年，人口数最多的中国仅有14多亿人口，全球人口总数也才仅有75多亿人口，足可认为靠运气通过这次考试几乎是不可能发生的事件，这也就从概率的角度刻画了这种考试对每个考生都是公平的。
（3）搭建知识体系，展现数学解决问题的模型思维、发散思维
贝努利分布实际就是一个数学模型，利用该模型可以解决所有条件相同下的大数时，计算概率变得很麻烦，此时需要寻找近似求解的变通方法。既可以用“切比雪夫不等式”以期望和方差估计概率，也有法国数学家泊松引入的“泊松分布”作为二项分布的近似，更有棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理给出的二项分布的“正态近似”。这些都很好展现了发散思维，也体现了“概率论与数理统计”中精确与近似、离散与连续的对立与统一，同时也自然引申出后续的教学内容（在此仅给出如下近似求解定理结论，不做过多阐述）。
定理1.（二项分布的泊松近似）若随机变量X服从二项分布B（n，pn），满足，则当n很大，p很小时，有Cknpk（1?p）n?k≈[4]。
定理2.（二项分布的正态近似）设随机变量Y服从参数为n和p（0<p<1）的二项分布，当n很大时，二项分布随机变量Y近似服从正态分布N（np，np（1?p）），即对任意实数x，有P（≤x）≈Φ（x）=∫x?∞e?dt[4]。
（4）知识传授与价值引领同频共振
随机现象在生活当中随处可见，某种未知的结果将来可能发生也可能不发生，正如“天有不测风云，人有旦夕祸福”，说不好将来会如何。因此对生活和学习中的各种不如意要清醒认知，好好珍惜当下，做好当下的自己。但行好事，莫问前程。
推论2的结论，也是概率论中“大数定理”所展现的偶然中蕴含必然的原理。就是说，小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就会形成大概率事件。因此，在工作和生活中，每个人都应用辩证的眼光看待小概率事件。从积极的人生角度看，某件事情即使只有1%的成功希望，也要坚持做下去，只要有恒心，铁杵就能磨成针，生活中的不如意终会过去，美好总会不期而至。从法律风险的角度来看，若一时未能抵住某种违法的诱惑，被发现的概率即使很低，但若不加以规范自身的行为，久而久之，终会有被发现的那天，所谓法网恢恢疏而不漏。因此，人生在世，要谨守道德和法律底线，勿以善小而不为，勿以恶小而为之。
四、结束语
课程思政是大学教育回归育人本质的关键途径，教师在肩负传道、授业、解惑的重要使命之前，自身应明道、信道，方可传道。针对“概率论与数理统计”课程教学，教师除自身要具备扎实的课程理论功底，不断扩展、丰富自身知识面，还要不断提高自身思想水平，对时事政治的认识要深刻，并能够理性分析，以自身的好思想、好道德、好作风为学生树立榜样。在关注知识传授和能力培养的同时，将辩证唯物主义、科学精神、家国情怀及社会主义核心价值观等内容，润物细无声地融入课程教学，使知识传授与价值引领同频共振，最终实现“概率论与数理统计”课程“立德树人”的核心功能，这也是笔者一直坚守并一以贯之的教学初心。
参考文献：
[1] 习近平.把思想政治工作贯穿教育教学全过程[EB/OL].（2016-12-08）[2020-05-13]. http：//www.xinhuanet.com/politics/2016-12/08/c_1120082577.htm.
[2]高德毅.宗爱东.从思政课程到课程思政：从战略高度构建高效思想政治教育课程体系[J].中国高等教育，2017（1）：43-46.
[3] 劉淑环.课程思政理念下全概公式和贝叶斯公式教学研究[J].中国政法大学教育文选，2019（26）：71-79.
[4] 刘淑环.文科高等数学[M].北京：中国政法大学出版社.2016：159，174.
[责任编辑：周晓燕]
关键词：相互独立事件;概率;贝努利分布;知识传授;价值引领
“概率论与数理统计”是高等院校理工类、经管类开设的重要课程之一，在培养学生的理性精神、随机事件应对能力、数据处理与建模能力、综合素质培养及思想政治隐性教育等方面起着十分重要的作用。
在课程思政背景下，“概率论与数理统计”课程在培养什么人、怎样培养人、为谁培养人这个教育根本问题上，除了要关注知识传授与能力培养，更要关注知识传授与价值引领的同频共振。目前关于“概率论与数理统计”课程开展课程思政教学的文献和教学案例还很少，笔者多年从事高校“概率论与数理统计”课程教学，形成了自身的一些教学特点，对其推进课程思政的教学有些体会，本文就此做些
总结。
一、课程思政背景及“概率论与数理统计”课程思政的优势
习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，要把立德树人作为中心环节，要用好课堂教学这个主渠道，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人。……各类课程都要守好一段渠，种好责任田，与思想政治理论课同向同行，形成协同效应[1]。“概率论与数理统计”作为研究随机现象及其统计规律性的一门学科，在课程思政教育教学上自带得天独厚的优势。
从人文价值角度看，“概率论与数理统计”中很多随机实验、概念、公式、定理和方法背后，都体现着统计学家们不懈努力、刻苦研究、严谨周密、一丝不苟的科学精神，这足以激发学生勇攀科学高峰、战胜各种困难的信念和勇气。
从哲学层面看，“概率论与数理统计”独具特色的概念、公式、定理和方法中，体现着大量的随机与确定、联系与发展、局部与整体、一般与特殊、精确与近似、对立与统一、量变与质变、理论与实践等辩证唯物主义哲学思想，这些都是很好的思政元素资源。
从技术层面看，“概率论与数理统计”提供了从不同角度认识世界和改造世界的具体理论和方法。概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，并作出数量上的描述。数理统计则是基于概率论的理论和方法，研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定结论的科学和艺术。无论是贝叶斯学派，还是皮尔逊、费舍尔、尼曼等学派，都希望通过统计方法从归纳的角度认识世界，改造世界，很好体现了“知行合一”。
二、“概率论与数理统计”开展课程思政的教学设计素材
课堂教学是育人最主要的过程，也是教书育人最重要的途径。知识传授与价值引领是育人的基本实现形式。教学中既要注重在价值传播中凝聚知识底蕴，又要注重在知识传播中强调价值引领，突出显性教育和隐性教育相融通，实现从思政课程向课程思政创造性转化[2]。
在“概率论与数理统计”课程教学中，要充分挖掘并呈现课程思政优势的各种素材。
1.将科学家的钻研精神和爱国主义情怀融入教学
挖掘“概率论与数理统计”基本概念、实验、公式、定理和方法背后的人文价值素材。例如开创中国概率论、数理统计领域教学和研究工作的一代宗师许宝騄教授，是世界公认的多元统计分析奠基人之一，在参数估计理论、奈曼-皮尔逊理论、多元分析、极限理论等领域都取得了卓越成就。许教授曾在英国伦敦大学留学并任教，但在祖国艰难时期，谢绝国外著名大学的挽留，毅然选择回国。通过开设讲习班等形式，为我国培养了一批批概率统计学科的教学和科研人才。许教授心怀祖国、报效祖国、为科学奉献终身的事迹足以激发学生勇攀科学高峰的信念和报效祖国的爱国情怀。
2.将辩证唯物主义哲学思想融入教学
挖掘“概率论与数理统计”基本概念、实验、公式、定理所蘊含的对立统一、量变质变、局部与整体、精确与近似、理论与实践、绝对与相对转化等规律，这些都是对学生进行辩证唯物主义思想教育的很好素材。例如，随机现象的概念体现了表面呈现的偶然性与内部蕴含的必然性二者的对立统一关系。随机变量分布函数的引入，体现了随机性思维与确定性思维的统一，也体现了数学不同学科之间的联系和统一。大数定律和中心极限定理体现了从量变到质变、从精确到近似的转化规律。数理统计中的参数估计和假设检验体现了从部分与总体、理论与实践的区别与联系的和谐统一。
3.将正确的世界观、人生观、价值观融入教学
“概率论与数理统计”课程的大量计算、证明及其应用中，每个过程都要依据概念、性质、定理或推论，有理有据的推导，这种贯穿课程始终的严谨理性的逻辑思维，会引领学生将规则意识铭记于心，不做违法、违规之事。
可通过列举身边大量的生活常识、耳熟能详的谚语或寓言故事、讲述知识点的历史典故、总结搭建知识结构体系等方式，启发学生用概率的眼光解读我们的世界，用统计的方法来指导我们的工作与生活，在关注知识传授、能力培养、情感价值塑造的同时，进行道德品质教育，起到育才与育人一举两得的效果。例如，在全概率公式和贝叶斯公式教学中，以“狼来了”寓言故事，展现人们以动态的方式思考问题，对一些问题的看法要随着新信息的加入而进行动态的调整、修正，通过建立诚信度的量化评价模型，得出结论：诚信缺失之后，若想重建诚信、重新获得人们信任并不是简单的一两次信守承诺就可以做到，很可能用相当长时间也不易恢复，以此告诫社会中的每个成员都要信守承诺[3]。总之，用统计知识解读日常生活和工作中碰到的一些现象，用统计方法去指导生活和工作，做到知行合一。 三、“概率论与数理统计”课程思政教学的探索实践
下面通过两个教学案例抛砖引玉，探索以知识传授与价值引领同频共振的方式践行课程思政的教学模式。
1.相互独立事件概率计算的教学探索
随机事件发生可能性大小的度量是通过概率的大小来反映。在很多实际问题和理论研究中，经常会涉及相互独立事件概率的计算问题。与一般随机事件的概率计算相比，独立事件概率的计算有其特殊的性质和结论。
（2）相互独立事件概率计算的思政元素
随机非随意，概率破玄机。生活中很多耳熟能详的成语、谚语、生活常识、甚或国家政策制定，大多都呈现出随机性的特点。用数学的语言表达，从概率的眼光来进行分析，其实就是“多个事件相互独立时至少有一个事件发生的概率计算”问题。
例1. 兄弟同心，其利断金
以“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”来分析。
假设号称诸葛亮的那个聪明人能正确解决某问题的把握为P（A0）=0.90，另假设刘备、关羽、张飞三人，各自能独立解决该问题的把握分别为P（A1）=0.60，P（A2）=0.55，P（A3）=0.45。将数据代
入性质4，可以得到刘关张三人合作，解决该问题的概率为：
P（A1∩B2∩C3）=1?P（A1）P（B2）P（C3）=0.901
该计算结果表明，虽然刘关张三人实力并不很强，各自独立解决该问题的把握都不太大，但他们三人若能在充分发挥自身能力的情况下展开合作，则该问题被解决的把握却达到0.901，已经超过号称聪明人的诸葛亮的能力。这足以体现弱者间互助合作、抱团取暖的重要。
再看刘备三顾茅庐请来诸葛亮辅佐之后，将上面相同的数据代入性质5，结果会很惊人，该问题被解决的概率为：
P（A0∩A1∩B2∩C3）
=1?P（A0）P（A1）P（B2）P（C3）=0.998845
计算结果表明，刘备、关羽、张飞邀请聪明的诸葛亮一起共商国是，问题被解决的把握几乎百分之百，简直天下无敌。这也是三国演义中看到的，刘备的兵力虽远远比不上曹操，但是却没有比曹操逊色多少，甚至在后期形成了魏蜀吴三国鼎立的局面。
进一步假设，若有100个人，每个人的实力都很弱，各自能独立解决某问题的把握很小，不妨都以0.05估计，仍采取合作，由性质5，可得到这个问题被解决的概率为：
这个结果，是不是从概率的角度能更好理解了“人民群众是人类历史的创造者”这句话的含义了呢？
（3）搭建知识体系，展现求解问题时“特殊化与一般化”相互转化的数学思想
对性质5做进一步的归纳引申：任意n个相互独立的随机事件A1， A2， …，An，若每个事件发生的概率都相同，是否会得到更一般的结论？这样的引申，既展现了解决问题所用的“一般化与特殊化”相互转化的数学思想，同时也自然引入后续的随机变量概念及其贝努利分布的相关内容，搭建了内容之间的联系框架，有利于学生能更好地掌握本课程的基本理论知识。
（4）知识传授与价值引领同频共振
与上面的分析类似，现实生活中有很多現象或道理，用“相互独立条件下事件概率的大小”来进行解释、阐述，其结果比空洞的说教更具说服力。
例如，在生活或工作、学习中，每个人难免会遇到各种各样的不如意和困难相互独立的随机事件，正确解决问题或战胜困难的打开方式，应该是学会和人沟通，与人合作，通过与人合作提高解决问题或战胜困难的把握，成就团队的同时也会提升自身的价值。同时，发扬团结友爱、合作互助精神在提高整个团队工作效率的同时，也会温暖彼此的心灵，营造融洽的人际关系。另外，对生活中聪明的诸葛亮也有一定警示作用，为人要谦逊，山外有山，人外有人，做人做事都应该胜不骄、败不馁。
小到个人、企业，大到一个国家都是一样，面对共同的问题，都可以看作是n个相互独立的随机事件，寻求真诚合作实乃明智之举。共同的机遇，强强联合可以打造精品，发展更大。共同的难题，寻求合作抱团取暖，可以共渡难关，实现突破。这样的实例还可以举出很多，比如，在民事诉讼或刑事诉讼中大多都采用合议庭审理案件，再如，国家重大政策采用民主集中制等，都可按“相互独立事件概率的计算”结果来进行解释和阐述其中的道理。
但要注意的是，在对“相互独立事件的概率”进行计算时要明确，合作每一方的工作态度假设都要前后一致，要各尽所能、各尽其力，才能体现合作的优越性。否则，如果合作时有人想搭便车、或为一己私利互相拆台，则合作的优越性就会荡然无存，甚至会起到相反作用。正如水能载舟，亦能覆舟。
2.贝努利分布及其应用的教学探索
随机变量概念的引进，使得对随机现象的处理更简单与直接，也更统一而有力，它是通向现代概率理论的起点，是概率论发展走向成熟的一个标志。其中贝努利分布（或称二项分布）是一种常见的离散型随机变量分布，在理论研究中占据非常重要的地位，在日常生活中也有广泛的应用。
（1）贝努利分布的特点及性质
定义1. 若随机试验在相同条件下可以独立重复进行n次，每次试验只有两个可能结果A和A，事件A在每次试验中出现的概率p保持不变，即P（A）=p，就称这样的试验为n重贝努利试验。
上述结果很好阐述了，某件事即使仅有1%的希望，也要尽100%的努力。当努力的次数n足够多，即n→∞时，几乎可以百分百的肯定“事件A至少会发生一次”。即
例3. 人生在勤，不索何获
假设在某次“概率论与数理统计”课程的考试中，依据教学大纲，一共设计了100道来自不同知识点的单项选择题，每道题附有A、B、C、D四个选项，至少答对60道题为及格。下面计算下考生凭运气侥幸通过这次考试的概率有多大？ 以X表示答对的题数，假定每道题的选择是相互独立的，则这个问题可以看成是100重贝努利试验，即X～B（100，0.25），其分布列为
此概率几乎为零，它相当于在10 000亿个碰运气的考生中，会有1.33人能通过该考试。而到2020年，人口数最多的中国仅有14多亿人口，全球人口总数也才仅有75多亿人口，足可认为靠运气通过这次考试几乎是不可能发生的事件，这也就从概率的角度刻画了这种考试对每个考生都是公平的。
（3）搭建知识体系，展现数学解决问题的模型思维、发散思维
贝努利分布实际就是一个数学模型，利用该模型可以解决所有条件相同下的大数时，计算概率变得很麻烦，此时需要寻找近似求解的变通方法。既可以用“切比雪夫不等式”以期望和方差估计概率，也有法国数学家泊松引入的“泊松分布”作为二项分布的近似，更有棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理给出的二项分布的“正态近似”。这些都很好展现了发散思维，也体现了“概率论与数理统计”中精确与近似、离散与连续的对立与统一，同时也自然引申出后续的教学内容（在此仅给出如下近似求解定理结论，不做过多阐述）。
定理1.（二项分布的泊松近似）若随机变量X服从二项分布B（n，pn），满足，则当n很大，p很小时，有Cknpk（1?p）n?k≈[4]。
定理2.（二项分布的正态近似）设随机变量Y服从参数为n和p（0<p<1）的二项分布，当n很大时，二项分布随机变量Y近似服从正态分布N（np，np（1?p）），即对任意实数x，有P（≤x）≈Φ（x）=∫x?∞e?dt[4]。
（4）知识传授与价值引领同频共振
随机现象在生活当中随处可见，某种未知的结果将来可能发生也可能不发生，正如“天有不测风云，人有旦夕祸福”，说不好将来会如何。因此对生活和学习中的各种不如意要清醒认知，好好珍惜当下，做好当下的自己。但行好事，莫问前程。
推论2的结论，也是概率论中“大数定理”所展现的偶然中蕴含必然的原理。就是说，小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就会形成大概率事件。因此，在工作和生活中，每个人都应用辩证的眼光看待小概率事件。从积极的人生角度看，某件事情即使只有1%的成功希望，也要坚持做下去，只要有恒心，铁杵就能磨成针，生活中的不如意终会过去，美好总会不期而至。从法律风险的角度来看，若一时未能抵住某种违法的诱惑，被发现的概率即使很低，但若不加以规范自身的行为，久而久之，终会有被发现的那天，所谓法网恢恢疏而不漏。因此，人生在世，要谨守道德和法律底线，勿以善小而不为，勿以恶小而为之。
四、结束语
课程思政是大学教育回归育人本质的关键途径，教师在肩负传道、授业、解惑的重要使命之前，自身应明道、信道，方可传道。针对“概率论与数理统计”课程教学，教师除自身要具备扎实的课程理论功底，不断扩展、丰富自身知识面，还要不断提高自身思想水平，对时事政治的认识要深刻，并能够理性分析，以自身的好思想、好道德、好作风为学生树立榜样。在关注知识传授和能力培养的同时，将辩证唯物主义、科学精神、家国情怀及社会主义核心价值观等内容，润物细无声地融入课程教学，使知识传授与价值引领同频共振，最终实现“概率论与数理统计”课程“立德树人”的核心功能，这也是笔者一直坚守并一以贯之的教学初心。
参考文献：
[1] 习近平.把思想政治工作贯穿教育教学全过程[EB/OL].（2016-12-08）[2020-05-13]. http：//www.xinhuanet.com/politics/2016-12/08/c_1120082577.htm.
[2]高德毅.宗爱东.从思政课程到课程思政：从战略高度构建高效思想政治教育课程体系[J].中国高等教育，2017（1）：43-46.
[3] 劉淑环.课程思政理念下全概公式和贝叶斯公式教学研究[J].中国政法大学教育文选，2019（26）：71-79.
[4] 刘淑环.文科高等数学[M].北京：中国政法大学出版社.2016：159，174.
[责任编辑：周晓燕]