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【摘要】射影定理是平面几何中大家熟知的一个重要定理, 射影定理是针对直角三角形而言。它的存在能够帮助我们解决很多三角形的问题。在初中平面几何课本上,射影定理是利用相似三角形的性质证明的。在新课程标准实验教材人教版中它以习题的形式崭露头角，但没有命名为三角形射影定理，事实上，三角形射影定理是三角形中仅次于正弦和余弦定理的第三个著名定理，是揭示三角形边角关系的重要定理之一，在近几年考试中，有很多相关三角形边角关系的试题，若是能把射影定理恰到好处的加以灵活运用，可起到简化运算过程取得事半功倍的神奇效果。
【关键词】几何；射影定理；妙用本文试对教科书中的射影定理作一点探究，并提出几个实用性结论，用来解决初中几何中的几类问题。
一、射影
射影就是正投影点到过顶点垂直于底边的垂足这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
二、直角三角形射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理）：在直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，公式 在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC，则有射影定理如下：
（1）AB2=BD•BC
（2） AC2=CD•CB
（3）AD2=BD•CD .
等积式
（4） AB•BC=BD•AC
（一）、证明射影定理
1、在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD＝BD/CD，即 .其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)
另外我们还可以用由勾股定理来证明上述射影定理的存在。
由公式（2）+（3）得：
AB2+BC2=AD•AC+CD•AC=(AD+CD)•AC=AC2
即 AB2+BC2=AC2.
这就是勾股定理的结论。
2、已知:三角形中∠A=90°，AD是高。
用勾股证射影:因为 AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,所以2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BD+CD)2 -(BD2+CD2）=2BD•CD.故AD2=BD•CD .运用此结论可得:
AB2=BD2+AD2=BD2+BD•CD=BD•（BD+CD)=BD•BC
AC2=CD2+AD2=CD2+BD•CD=CD•（BD+CD)=CD•CB（二）、类比射影定理
1、
①.当光线从AC正上方射入时可得AC的投影为 CD。
②.当光线从AC右上方斜射入时可得AC的投影为BC， 则在以上两次事件中 被照射了2次，其所得投影分别为 CD、BC ，所以得到AC2=CD•BC
2、
①.当光线从AD右斜上方射入时可得AD的投影为BD
②.当光线从AD左斜上方斜射入时可得AD的投影为CD， 则在以上两次事件中 被照射了2次，其所得投影分别为 BD、CD ，所以得到AD2=BD•CD
3、
①.当光线从AB正上方射入时可得AC的投影为BD。
②.当光线从AB左上方斜射入时可得AC的投影为BC，则在以上两次事件中 被照射了2次，其所得投影分别为BD、BC ，所以得到 AB2=BD•BC
综上所述得到射影定理。
三、任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”。
设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有：
a=b•cosC+c•cosB，
b=c•cosA+a•cosC ，
c=a•cosB+b•cosA 。
注：以“a=b•cosC+c•cosB”为例，b、c在a上的射影分别为 b•cosC 、 c•cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c•cosB， CD=b•cosC
∴a= BD+CD=b•cosC+C•cosB .
证明2：由余弦定理，可得
c2=a2b2-2ab•cosC ，b2=a2+c2-2ac•cosB ，
两式相加得 0=2a2-2ab•cosC-2ac•cosB
化简得a=b•cosC+c•cosB.
射影定理中的三个公式轮换对称结构优美简单明了，三个公式的几何意义清楚明白呼之欲出，即三角形中的任意一边的长度是另外两边在这一边上的射影的代数和，三角形射影定理由此而得名。
四、射影定理的妙用
［例1］ 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，
求证：△BFD∽△BAE。
证明：∵ ∠ACB=90°
∴ Rt△ECBCF⊥BE
∴ 由射影定理得BC2=BF•BE 又∠ACB=90°CD⊥AB
∴ BC2=BD•AB
∴ BF•BE=BD•AB
∴ BFAB=BDBE
又 ∵ ∠FBD=∠ABE
∴ △BFD∽△BAE
［例2］ 在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于D，求证：AC2 AD2=BC2BD
证明：过C作AD的垂线垂足为E，CE的延长线交AB于F，则由射影定理AC2=AE•AD过E作EG//BC交AB于G
∵ ∠CAD=∠BADAE⊥CF
∴ CE=EF
∴ BC=2EG
∴ AC2AD2=AE•ADAD2=AEAD=EGBD=BC2BD
［例3］ 已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，在AB，AC边上分别取点P、Q，连结PQ，作AF⊥PQ于F，AF延长线交BC于D，求证：BDCD=AP•ABAQ•AC
证明：作BM⊥AD于M，CN⊥AD交AD延长线于点N
∵ PQ⊥AD
∴ PQ//BM//CN
∵ PQ//BM
∴ABAP=BMPF
∵ NC//PQ
∴AQAC=QFNC
∴AB•AQAP•AC=BM•FQPF•MC
由于 BM//NC
∴ AB•AQAP•AC=BD•FQDC•PF
∵ Rt△ABC中，∠BAC=90°AF⊥PQ
∴ 由射影定理得：
AP2=PF•PQ,AQ2=FQ•PQ
∴ AP2AQ2=PFFQ
∴ AB•AQAP•AC=BD•AQ2DC•AP2
∴ ABAC=BD•AQDC•AP
∴ BDDC=AB•APAC•AQ
［例4］已知：梯形ABCD中，
∠B=∠C=90°过BC的中点F，作FE⊥AD，且EF=CF，求证： BC2=4AB•CD
解：连结FD、FA ∵ FE⊥AD
∴ ∠DEF=90°
∵ CF=EF FD=FD
∠C=∠DEF=90°
∴ △DCF≌△DEF
∴ DE=DC ∠1=∠2
同理可证EA=BA ∠3=∠4
∴ ∠2+∠4=90°
∴EF=12CB
∴(12CB)2=AB•CD
∴Rt△DFA
∵ EF⊥AD
由射影定理得 EF2=DE•EA
ΘEF=CF
∴CB2=4AB•CD
［例5］ 已知：如图，AB=AC=15，AD⊥AB交BC于D，若CD=7，求BC的长。
解法一：取BD中点E，连结AE
∵ AD⊥AB
∴ AE=BE=12BD∴ ∠1=∠B
∵ AB=AC=15
∴ ∠C=∠B
∴ ∠1=∠C
∵ ∠B=∠B (公共用)
∴ △BAE∽△BCA
∴ AB2=BR•BC
∴ 12BD•BC=12(BC-CD)•BC=AB2∵ CD=1
∴ BC2-7BC=450
∴ (BC-25)(BC+18)=0
∴BC=25
解法二：作AF⊥BC于D
∵ AD⊥AB
∴AB2=BD•BF
ΘAB=AC，AF ⊥
BC∴BF=12BC
∴ 12BC•BD=12(BC-BD)•BC
∴ BC2-7BC=450
∴ (BC-25)(BC+18)=0
∴ BC=25
［例6］ 已知：在△ABC中，已知a=2b•cosC 则△ABC是什么图形？
解：由射影定理得，b•cosC+c•cosB=2b•cosC ，
∴c•cosB=b•cosC
又由正弦定理得，sinCcosB-sinBcosC=0 ，
∴sin(B-C)=0，
又ΘB,C∈(0,∏)
∴∠B=∠C，即△ABC为等腰三角形。
通过对这一内容的了解，想必大家对射影定理的又有了更多的认识。那么在今后类似的生活中，若遇到此类问题可尽量应射影定理来巧妙的解决，它能够帮助我们使需要解决的问题便捷、明了、轻松。
同时我们教师在数学教学中同样需要做好学生的引导者，用各种不同的方式、方法，简单、直观、形象的把所要教授的内容让学生消化、牢记。从而在今后的学习中学生遇到问题时才能迎刃而解，不至于无从下手。
参考文献
［1］罗崇善，高等几何（第二版）［D］.高等教育版社，2006年5月。
【关键词】几何；射影定理；妙用本文试对教科书中的射影定理作一点探究，并提出几个实用性结论，用来解决初中几何中的几类问题。
一、射影
射影就是正投影点到过顶点垂直于底边的垂足这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
二、直角三角形射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理）：在直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，公式 在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC，则有射影定理如下：
（1）AB2=BD•BC
（2） AC2=CD•CB
（3）AD2=BD•CD .
等积式
（4） AB•BC=BD•AC
（一）、证明射影定理
1、在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD＝BD/CD，即 .其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)
另外我们还可以用由勾股定理来证明上述射影定理的存在。
由公式（2）+（3）得：
AB2+BC2=AD•AC+CD•AC=(AD+CD)•AC=AC2
即 AB2+BC2=AC2.
这就是勾股定理的结论。
2、已知:三角形中∠A=90°，AD是高。
用勾股证射影:因为 AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,所以2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BD+CD)2 -(BD2+CD2）=2BD•CD.故AD2=BD•CD .运用此结论可得:
AB2=BD2+AD2=BD2+BD•CD=BD•（BD+CD)=BD•BC
AC2=CD2+AD2=CD2+BD•CD=CD•（BD+CD)=CD•CB（二）、类比射影定理
1、
①.当光线从AC正上方射入时可得AC的投影为 CD。
②.当光线从AC右上方斜射入时可得AC的投影为BC， 则在以上两次事件中 被照射了2次，其所得投影分别为 CD、BC ，所以得到AC2=CD•BC
2、
①.当光线从AD右斜上方射入时可得AD的投影为BD
②.当光线从AD左斜上方斜射入时可得AD的投影为CD， 则在以上两次事件中 被照射了2次，其所得投影分别为 BD、CD ，所以得到AD2=BD•CD
3、
①.当光线从AB正上方射入时可得AC的投影为BD。
②.当光线从AB左上方斜射入时可得AC的投影为BC，则在以上两次事件中 被照射了2次，其所得投影分别为BD、BC ，所以得到 AB2=BD•BC
综上所述得到射影定理。
三、任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”。
设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有：
a=b•cosC+c•cosB，
b=c•cosA+a•cosC ，
c=a•cosB+b•cosA 。
注：以“a=b•cosC+c•cosB”为例，b、c在a上的射影分别为 b•cosC 、 c•cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c•cosB， CD=b•cosC
∴a= BD+CD=b•cosC+C•cosB .
证明2：由余弦定理，可得
c2=a2b2-2ab•cosC ，b2=a2+c2-2ac•cosB ，
两式相加得 0=2a2-2ab•cosC-2ac•cosB
化简得a=b•cosC+c•cosB.
射影定理中的三个公式轮换对称结构优美简单明了，三个公式的几何意义清楚明白呼之欲出，即三角形中的任意一边的长度是另外两边在这一边上的射影的代数和，三角形射影定理由此而得名。
四、射影定理的妙用
［例1］ 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，
求证：△BFD∽△BAE。
证明：∵ ∠ACB=90°
∴ Rt△ECBCF⊥BE
∴ 由射影定理得BC2=BF•BE 又∠ACB=90°CD⊥AB
∴ BC2=BD•AB
∴ BF•BE=BD•AB
∴ BFAB=BDBE
又 ∵ ∠FBD=∠ABE
∴ △BFD∽△BAE
［例2］ 在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于D，求证：AC2 AD2=BC2BD
证明：过C作AD的垂线垂足为E，CE的延长线交AB于F，则由射影定理AC2=AE•AD过E作EG//BC交AB于G
∵ ∠CAD=∠BADAE⊥CF
∴ CE=EF
∴ BC=2EG
∴ AC2AD2=AE•ADAD2=AEAD=EGBD=BC2BD
［例3］ 已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，在AB，AC边上分别取点P、Q，连结PQ，作AF⊥PQ于F，AF延长线交BC于D，求证：BDCD=AP•ABAQ•AC
证明：作BM⊥AD于M，CN⊥AD交AD延长线于点N
∵ PQ⊥AD
∴ PQ//BM//CN
∵ PQ//BM
∴ABAP=BMPF
∵ NC//PQ
∴AQAC=QFNC
∴AB•AQAP•AC=BM•FQPF•MC
由于 BM//NC
∴ AB•AQAP•AC=BD•FQDC•PF
∵ Rt△ABC中，∠BAC=90°AF⊥PQ
∴ 由射影定理得：
AP2=PF•PQ,AQ2=FQ•PQ
∴ AP2AQ2=PFFQ
∴ AB•AQAP•AC=BD•AQ2DC•AP2
∴ ABAC=BD•AQDC•AP
∴ BDDC=AB•APAC•AQ
［例4］已知：梯形ABCD中，
∠B=∠C=90°过BC的中点F，作FE⊥AD，且EF=CF，求证： BC2=4AB•CD
解：连结FD、FA ∵ FE⊥AD
∴ ∠DEF=90°
∵ CF=EF FD=FD
∠C=∠DEF=90°
∴ △DCF≌△DEF
∴ DE=DC ∠1=∠2
同理可证EA=BA ∠3=∠4
∴ ∠2+∠4=90°
∴EF=12CB
∴(12CB)2=AB•CD
∴Rt△DFA
∵ EF⊥AD
由射影定理得 EF2=DE•EA
ΘEF=CF
∴CB2=4AB•CD
［例5］ 已知：如图，AB=AC=15，AD⊥AB交BC于D，若CD=7，求BC的长。
解法一：取BD中点E，连结AE
∵ AD⊥AB
∴ AE=BE=12BD∴ ∠1=∠B
∵ AB=AC=15
∴ ∠C=∠B
∴ ∠1=∠C
∵ ∠B=∠B (公共用)
∴ △BAE∽△BCA
∴ AB2=BR•BC
∴ 12BD•BC=12(BC-CD)•BC=AB2∵ CD=1
∴ BC2-7BC=450
∴ (BC-25)(BC+18)=0
∴BC=25
解法二：作AF⊥BC于D
∵ AD⊥AB
∴AB2=BD•BF
ΘAB=AC，AF ⊥
BC∴BF=12BC
∴ 12BC•BD=12(BC-BD)•BC
∴ BC2-7BC=450
∴ (BC-25)(BC+18)=0
∴ BC=25
［例6］ 已知：在△ABC中，已知a=2b•cosC 则△ABC是什么图形？
解：由射影定理得，b•cosC+c•cosB=2b•cosC ，
∴c•cosB=b•cosC
又由正弦定理得，sinCcosB-sinBcosC=0 ，
∴sin(B-C)=0，
又ΘB,C∈(0,∏)
∴∠B=∠C，即△ABC为等腰三角形。
通过对这一内容的了解，想必大家对射影定理的又有了更多的认识。那么在今后类似的生活中，若遇到此类问题可尽量应射影定理来巧妙的解决，它能够帮助我们使需要解决的问题便捷、明了、轻松。
同时我们教师在数学教学中同样需要做好学生的引导者，用各种不同的方式、方法，简单、直观、形象的把所要教授的内容让学生消化、牢记。从而在今后的学习中学生遇到问题时才能迎刃而解，不至于无从下手。
参考文献
［1］罗崇善，高等几何（第二版）［D］.高等教育版社，2006年5月。