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在日常教学中，不少教师在复习课上只是把所要复习的知识进行简单的罗列，变成新授课的机械重复，学生无论从知识、能力上都得不到更多收获。如何提高复习课的效能，这是毕业班教师非常关心的问题。“生长数学”理念下的数学复习课，能根据所要复习的知识内容和学生已有的认知经验，坚持系统化理论，践行“生长数学”的教学主张，运用结构化的思维方法，架设生长型路径，开展探究性活动。学生可从中积累新经验、经历新感受、收获新成长。
数与式这两章的内容，知识点多而散，数中包含有理数、无理数、实数、开方、方根等概念及运算，式中包含整式、分式、二次根式等概念、性质及运算。复习课除了要对这些知识进行查漏补缺外，还要打开章节通道，贯通前后内容，聚集所要复习的核心知识，智慧地整合教学资源。
教学环节1.数的复习
问题1.我们到现在为止，学过哪些数？
设计意图：复习实数的分类。
问题2.认识了实数后，我们还学过哪些实数的运算？
设计意图：引发学生对实数相关运算知识的回忆。
问题3.现在把学过的一些数用运算符号连接起来，得到算式3-1-[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0，记为①，计算这个算式，我们需要哪些知识？
设计意图：把学生在回答问题1、问题2中的数字和符号连起来，生成算式，让学生回顾开方、负指数幂、绝对值、零指数幂等中考常考的知识点。
问题4.请同学们对①式进行计算，并说出计算结果。
问题5.若把①式中的3改为4，得到算式4-1-[（-4）2]+[14-4]+（-[4]）0，记为②，再次计算;若改为5呢？
设计意图：本环节用问题串的形式启发学生思考，通过理性计算，验证了意想不到的结论，既提升了学生的数学运算能力，也为下一个问题做好铺垫。
问题6.若要保持计算结果不变，①式中的数字3还能不能改了？若能，还能改成哪些数？
设计意图：此环节让学生归纳结论，提出猜想，让他们在求知心切的状态下，全身心地投入到学习中去。
教学环节2.由数到式
问题7.如何证明上述猜想？
设计意图：让学生经历完整的“归纳——猜想——证明”推理过程，提升学生的逻辑推理能力，同时体悟由數到式的必要性和优越性。
问题8.将①式中的3用字母a代替，得到代数式a-1-[（-a）2]+[1a-a]+（-[a]）0，记为③，在这个代数式里，有哪些特殊的代数式呢？
设计意图：用问题来引出代数式的分类，对比数的分类，让学生感受两者之间的异同点。让学生亲历整合碎片化知识的过程，更好地理清知识之间的联系。
问题9.使③式成立的条件是什么？
预设生成：学生的回答可能有缺漏，需引导学生考虑问题要全面，进而得出字母a的取值范围是a>0。
设计意图：通过这个问题，复习了二次根式、分式等代数式成立的条件，学生养成了看到含字母的代数式就有挖掘隐含条件的习惯和意识，感受数与式之间的区别。
问题10.化简③式，除了用到数的相关知识外，还需要掌握什么知识或方法呢？
预设生成：在作差时，有的学生化解至[1a]?a=[1-a2a]就开始判断符号，此时应引导学生进行因式分解，再在a>0的前提条件下与0进行比较，当因式1?a无法确定符号时，启发学生利用分类讨论思想解决问题。
设计意图：进一步巩固化简绝对值的方法，并引出新问题，[1a]与a谁大谁小？复习比较代数式大小的方法——比差法、因式分解知识及渗透分类讨论思想。
问题11.通过化简③式，我们能发现①式中的数字3换成哪些数可使答案不变呢？
预设生成：在问题10的铺垫下，学生不难得出：当0<a<1时，原式=[2a]?2a+1;当a≥1时，原式=1。所以，可以将①中的数字3换成任何不小于1的数，答案都为1。学生能够感受到用字母表示数的优越性以及代数问题中变中不变的规律。
设计意图：进一步巩固代数式的化简。
教学环节3.拓展提升
问题12.已知x=[12+3]、y=[12-3]，求 [x2+xy+y2xy]的值。
预设生成：此题有多种解答方法，第一种是直接代入;第二种是将x、y分母有理化后再直接代入;第三种是求出x+y=4，xy=1后，再整体代入变形后的代数式[（x+y）2?xyxy]，或求出x2+y2的值再整体代入;第四种是把所求代数式化为[1y]+1+[1x]后再计算。学生会答出多种思路，教师只需引导学生思考更简捷的思路即可。
设计意图：学生通过化简计算，提高分式、二次根式的运算能力，体会解题方法的多样性和感受整体思想的优越性。
问题13.上题中，由x+y=4，xy=1，我们可以求出x2+y2的值，那么你还能求出哪些代数式的值？
预设生成：学生可能回答（x?y）2，[1x]+[1y]，x2y+xy2……不管说出几个，教师都可引导学生观察这些代数式具有的共同特点，给出对称式的概念，再举出更多代数式的例子，任选几个典型代数式并求出它们的值。
设计意图：复习乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向运用，引出对称式的概念，并感受知二求多的过程。
问题14.由x+y=4，xy=1，你能不能将x，y放在其他不同的背景中，如几何图形或者函数背景下，尝试设计出其他问题？
预设生成：学生可能想到矩形，已知周长和面积，求对角线长;也可能想到直角三角形，已知两条直角边的和与面积，求斜边长;可能放在函数背景下，已知一次函数y=?x+4和反比例函数y=[1x]，求两个函数图像的交点到原点的距离。此问题难度高，可给予学生足够的时间，小组合作探讨，再分享成果。
设计意图：让学生回顾所学知识，并将知识进行横纵向联系，提升学生的思维深度和广度。
该部分设计利用由数到式、数式应用这条主线，勾勒出异于新授课的思维场景，营造出复习这一内容的新思维氛围。经过教师创造性演变过的学习活动，是有价值且高效的，是学生骤然顿悟的质变过程。这个过程可助力学生思维活动的展开，培养学生思维的创新性。
【教学思考】
1.选准问题的起点与终点。
创造性地使用教材，要有打破教材结构的勇气，总结教学中相近或相邻的知识，从知识体系和知识结构上去把握初中数学教学内容和教学要求，选准问题的起点与终点。本课例以“我们到现在为止，学过哪些数？”这一个典型问题为学习起点，引出数与式的概念、运算的复习。设置问题“已知x=[12+3]、y=[12-3]，求[x2+xy+y2xy]的值”是为了将教材中的基本问题逐步演变成中考中的焦点问题，帮助学生寻找和总结解题的方案。
2.设计好问题生长的路径。
在选好问题的起点与终点之后，要认真谋划所要复习内容的生长过程，精心设计好问题生长的路径，创造性地提炼知识的生长链，充分展示模型变化、结构变化、背景变化、深度变化的关系。如：改变算式3?1?[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0中的数字3，若使得算式的结果不变，猜想可以改成哪些数？由数到式加以论证，揭示变化中的不变性的规律。再如：由x+y=4，xy=1，能否将x，y放在其他不同的背景中，如几何图形或者函数背景下，尝试设计出其他问题？学生在创造过程中感受成功的喜悦，不断地开拓与超越，凸显数学问题的本质，彰显数学变式的魅力。
3.精选生长链中的例题和习题。
用“生长数学”理念进行架构，要根据所复习的内容，精选生长链中的例题和习题，如问题12选择分式的化简求值问题，是中考的重要考点，该题解法多样，且渗透了重要的数学思想方法。还可以对此进行变式，让学生进行针对性的练习。最后提升难度，学生根据数学等式，设计不同领域的数学问题。所选的变式问题注意到不同的梯度，重构旧知识的新视野，学生从中积累新经验，收获新成长。
（作者单位：江苏省太仓市实验中学）
数与式这两章的内容，知识点多而散，数中包含有理数、无理数、实数、开方、方根等概念及运算，式中包含整式、分式、二次根式等概念、性质及运算。复习课除了要对这些知识进行查漏补缺外，还要打开章节通道，贯通前后内容，聚集所要复习的核心知识，智慧地整合教学资源。
教学环节1.数的复习
问题1.我们到现在为止，学过哪些数？
设计意图：复习实数的分类。
问题2.认识了实数后，我们还学过哪些实数的运算？
设计意图：引发学生对实数相关运算知识的回忆。
问题3.现在把学过的一些数用运算符号连接起来，得到算式3-1-[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0，记为①，计算这个算式，我们需要哪些知识？
设计意图：把学生在回答问题1、问题2中的数字和符号连起来，生成算式，让学生回顾开方、负指数幂、绝对值、零指数幂等中考常考的知识点。
问题4.请同学们对①式进行计算，并说出计算结果。
问题5.若把①式中的3改为4，得到算式4-1-[（-4）2]+[14-4]+（-[4]）0，记为②，再次计算;若改为5呢？
设计意图：本环节用问题串的形式启发学生思考，通过理性计算，验证了意想不到的结论，既提升了学生的数学运算能力，也为下一个问题做好铺垫。
问题6.若要保持计算结果不变，①式中的数字3还能不能改了？若能，还能改成哪些数？
设计意图：此环节让学生归纳结论，提出猜想，让他们在求知心切的状态下，全身心地投入到学习中去。
教学环节2.由数到式
问题7.如何证明上述猜想？
设计意图：让学生经历完整的“归纳——猜想——证明”推理过程，提升学生的逻辑推理能力，同时体悟由數到式的必要性和优越性。
问题8.将①式中的3用字母a代替，得到代数式a-1-[（-a）2]+[1a-a]+（-[a]）0，记为③，在这个代数式里，有哪些特殊的代数式呢？
设计意图：用问题来引出代数式的分类，对比数的分类，让学生感受两者之间的异同点。让学生亲历整合碎片化知识的过程，更好地理清知识之间的联系。
问题9.使③式成立的条件是什么？
预设生成：学生的回答可能有缺漏，需引导学生考虑问题要全面，进而得出字母a的取值范围是a>0。
设计意图：通过这个问题，复习了二次根式、分式等代数式成立的条件，学生养成了看到含字母的代数式就有挖掘隐含条件的习惯和意识，感受数与式之间的区别。
问题10.化简③式，除了用到数的相关知识外，还需要掌握什么知识或方法呢？
预设生成：在作差时，有的学生化解至[1a]?a=[1-a2a]就开始判断符号，此时应引导学生进行因式分解，再在a>0的前提条件下与0进行比较，当因式1?a无法确定符号时，启发学生利用分类讨论思想解决问题。
设计意图：进一步巩固化简绝对值的方法，并引出新问题，[1a]与a谁大谁小？复习比较代数式大小的方法——比差法、因式分解知识及渗透分类讨论思想。
问题11.通过化简③式，我们能发现①式中的数字3换成哪些数可使答案不变呢？
预设生成：在问题10的铺垫下，学生不难得出：当0<a<1时，原式=[2a]?2a+1;当a≥1时，原式=1。所以，可以将①中的数字3换成任何不小于1的数，答案都为1。学生能够感受到用字母表示数的优越性以及代数问题中变中不变的规律。
设计意图：进一步巩固代数式的化简。
教学环节3.拓展提升
问题12.已知x=[12+3]、y=[12-3]，求 [x2+xy+y2xy]的值。
预设生成：此题有多种解答方法，第一种是直接代入;第二种是将x、y分母有理化后再直接代入;第三种是求出x+y=4，xy=1后，再整体代入变形后的代数式[（x+y）2?xyxy]，或求出x2+y2的值再整体代入;第四种是把所求代数式化为[1y]+1+[1x]后再计算。学生会答出多种思路，教师只需引导学生思考更简捷的思路即可。
设计意图：学生通过化简计算，提高分式、二次根式的运算能力，体会解题方法的多样性和感受整体思想的优越性。
问题13.上题中，由x+y=4，xy=1，我们可以求出x2+y2的值，那么你还能求出哪些代数式的值？
预设生成：学生可能回答（x?y）2，[1x]+[1y]，x2y+xy2……不管说出几个，教师都可引导学生观察这些代数式具有的共同特点，给出对称式的概念，再举出更多代数式的例子，任选几个典型代数式并求出它们的值。
设计意图：复习乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向运用，引出对称式的概念，并感受知二求多的过程。
问题14.由x+y=4，xy=1，你能不能将x，y放在其他不同的背景中，如几何图形或者函数背景下，尝试设计出其他问题？
预设生成：学生可能想到矩形，已知周长和面积，求对角线长;也可能想到直角三角形，已知两条直角边的和与面积，求斜边长;可能放在函数背景下，已知一次函数y=?x+4和反比例函数y=[1x]，求两个函数图像的交点到原点的距离。此问题难度高，可给予学生足够的时间，小组合作探讨，再分享成果。
设计意图：让学生回顾所学知识，并将知识进行横纵向联系，提升学生的思维深度和广度。
该部分设计利用由数到式、数式应用这条主线，勾勒出异于新授课的思维场景，营造出复习这一内容的新思维氛围。经过教师创造性演变过的学习活动，是有价值且高效的，是学生骤然顿悟的质变过程。这个过程可助力学生思维活动的展开，培养学生思维的创新性。
【教学思考】
1.选准问题的起点与终点。
创造性地使用教材，要有打破教材结构的勇气，总结教学中相近或相邻的知识，从知识体系和知识结构上去把握初中数学教学内容和教学要求，选准问题的起点与终点。本课例以“我们到现在为止，学过哪些数？”这一个典型问题为学习起点，引出数与式的概念、运算的复习。设置问题“已知x=[12+3]、y=[12-3]，求[x2+xy+y2xy]的值”是为了将教材中的基本问题逐步演变成中考中的焦点问题，帮助学生寻找和总结解题的方案。
2.设计好问题生长的路径。
在选好问题的起点与终点之后，要认真谋划所要复习内容的生长过程，精心设计好问题生长的路径，创造性地提炼知识的生长链，充分展示模型变化、结构变化、背景变化、深度变化的关系。如：改变算式3?1?[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0中的数字3，若使得算式的结果不变，猜想可以改成哪些数？由数到式加以论证，揭示变化中的不变性的规律。再如：由x+y=4，xy=1，能否将x，y放在其他不同的背景中，如几何图形或者函数背景下，尝试设计出其他问题？学生在创造过程中感受成功的喜悦，不断地开拓与超越，凸显数学问题的本质，彰显数学变式的魅力。
3.精选生长链中的例题和习题。
用“生长数学”理念进行架构，要根据所复习的内容，精选生长链中的例题和习题，如问题12选择分式的化简求值问题，是中考的重要考点，该题解法多样，且渗透了重要的数学思想方法。还可以对此进行变式，让学生进行针对性的练习。最后提升难度，学生根据数学等式，设计不同领域的数学问题。所选的变式问题注意到不同的梯度，重构旧知识的新视野，学生从中积累新经验，收获新成长。
（作者单位：江苏省太仓市实验中学）