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【摘 要】《义务教育数学课程标准》指出，在数学教学活动中，“错误”往往是学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象。在数学教学中，学生的错误往往贯穿整个教学过程，教师若能将学生的错误当成一种教学资源，对其加以巧妙利用，引领学生探究，那么课堂教学就会因“错误”而精彩。
【关键词】初中数学;错误资源;解题素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0171-02
在初中数学教学中，学生出现解题错误是一种常见现象，教师要充分利用这种错误资源，使学生的错误“来源于学生，服务于学生”，成为提高学生学习效率的重要资源。以下是笔者在教学中巧用错误资源，提升学生解题素养的实践与探索。
学生在解题中常出现的错误有以下四种：①见到题目无从下手，感觉对这个知识很陌生，这种为知识性错误。②对于一些综合性的数学问题，学生往往考虑问题不够全面，只能得出片面的答案，可称之为逻辑性错误。③对于一些几何图形问题，经常需要添加辅助线进行解答，如果辅助线处理不当就会增加解题难度甚至出现错误，可以称之为策略性错误。④学生经常会看错题目，甚至在抄写答案时写错位置，这类问题越到大考越明显，这种为心理性错误。针对以上这几种错误，教师可以找出学生的错误根源，再加以例题训练，有针对性地提升学生的解题素养[1]。
1 类比易混错误，厘清概念本质
类比思想是根据两个对象之间的某些相同或相似的属性，推出它们存在其他相同或相似的属性的思维方法。而有一些数学概念很相近，但却是完全不同的两个概念，如去分母和通分是分數和分式学习中的两个重要的概念，学生经常混淆。这就要求教师从概念入手，帮助学生厘清这两个概念，认清它们的本质特征[2]。
如在解分式方程?1=时，学生将方程移项得到?=1，然后习惯性将作为公因式提出来，得到（2x?1）=1，这样增加了计算量，而在计算时，却反而将式子转化为2a?（a+2），丢了分母。出现这种情况的原因在于学生没有厘清去分母和通分的概念，去分母是运用等式的基本性质，它只适用于等式，而通分是分式的基本性质，只对分子分母进行同时扩大（或缩小）。
2 利用漏解错误，培养严密思维
数学课堂教学不仅是传授学生知识，更重要的是给学生提供思考和探究的机会。教师在教学中可留意学生的一些错误，对一些有代表性、拓展性、“错的有道理”的错误进行挖掘，将其开发成教学资源，因为学生都想知道错在哪里，自然学习兴趣浓厚，教学效果往往超过预期[3]。如解一元二次方程是数学计算中的一个重点，但学生在解题时经常出现漏解的情况，合理运用解一元二次方程的四种方法对解方程问题有很大的帮助。
如（3x?4）2=（4x?3）2这道题目，笔者发现本班有十几位学生只考虑到两底数相等的情况得3x?4=4x?3，得出x=?1。这时要进一步探究一元二次方程解的个数情况，当Δ>0时，方程有两个解，从而得出漏掉两底数相反数的情况，像这种情形可以先认清方程结构，移项后利用平方差公式的方法防止漏解，得（3x?4）2?（4x?3）2=0，进而得出[（3x?4）+（4x?3）][（3x?4）?（4x?3）]=0，又得（3x?4）+（4x?3）=0，（3x?4）?（4x?3）=0两个方程，这样就不会出现漏解的情形了。因此，通过深入探究和拓展学生的错误，让学生顺着自己错误不断探究，从而得出正确的结论和错误的原因，能够生成有价值的认知，把学生的错误转变为宝贵的教学资源，在探究与比较的过程中提升了学生思维的深刻性、严密性。
通过以上分析，不难发现数学学习是一个不断总结、挖掘问题，然后解决问题的过程。教师在讲解一些比较难的问题时，可先用一些浅显易懂的问题引入，然后逐步渗透一些数学思想和数学方法，从而提高学生的思维能力，使学生掌握一定的数学方法。
3 巧借解题挫折，渗透化归思想
化归思想是一种重要的解题思想和思维方式，尤其在解答综合型数学问题时，化归思想显得尤为重要。应用化归思想往往能将一个复杂的问题分解为若干个简单的小问题，然后逐步攻克每一个小问题，最后达到解决整个问题的目的[4]。此外，学生最怕的就是数学应用题，这种题型往往比较抽象，学生很难把握要点，这就需要教师在教学中引导学生选择合适的方法进行分析，将问题画成线段图、借助坐标系等。初中生在计算中经常会遭遇挫折，出现突然算不下去的情况，如用方程解应用题，方程已经列出来，却解不出方程。
如题：据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率。当列出方程15（1+x）2=21.6后，有些学生习惯于将方程展开进行求解，15+30x+15x2=21.6，这样用不了几步就会出现解不下去的情况。对于这种情况，教师首先可向学生强调直接开平方法的应有的结构为（x+m）2=n（n ≥ 0），从而将方程转化为（1+x）2=1.44，就能轻松地得出x=0.2。处理这类问题时不要盲目地展开求解，要先观仔细察方程结构，再对照解一元二次方程的几种常用方法，选择合适的方法，突出数学化归思想，从而让学生在遭遇“解题挫折”时豁然开朗。
学生解题出错或者方法繁琐难解，是学生必然要经历的过程。此时教师要正确引导，帮助学生分析错误原因，适当配以例题教学和拓展练习，让学生正确理解相同类型题目的解题思路，进而帮助学生掌握解题方法，培养学生良好的数学学习习惯，增强学生的学习信心，达到帮助学生熟练掌握解题策略的目的。
4 运用计算技巧，实现化繁为简 初中生在解题时经常会遇到一些计算量大而繁杂的题目，很多学生常常半途而废，这主要是因为学生的计算能力不强。学生想要具备比较扎实的计算能力，一定先要掌握常用的定理、口诀、公式，如三角函数公式、二次函数的顶点坐标公式、圆的垂径定理等，学生在记忆这些公式时，还要弄清公式的来源。
如题：如图1，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE=1，AB=6，求弦AF的长。
本题考查圆的性质和有关的计算。通过Rt?AOE的三边关系，确定半径OA=OB=5，AE=BE=3，下面就是针对线段AM灵活运用勾股定理，单靠一次勾股定理无法得出AM的长，必须借助Rt?ABM和Rt?AOM两次勾股定理，即AB2?BM2=AM2，AO2?OM2=AM2，从而得出AB2?BM2=AO2?OM2，62?（5?OM）2=52?OM2。這里的计算量较大，要求学生熟练掌握勾股定理的内容以及完全平方公式的展开式。得出OM=后，教师进一步提问，如何求AM的长，学生异口同声AM2=AO2?OM2，但接下来大家都愣住，因为式子中出现AM2=52?（）2，有学生看到分数的平方就产生畏难情绪，做不下去了，索性放弃。还有学生采用平方差公式，AM2=×=进行开方，还是无法得出结果。出现这种情形，不妨先观察几个数字的结构，5可以看作，由此可以联想到常用的勾股数7、24、25，因此可以直接确定AM的值是。从这道例题可以看出，计算不仅需要有扎实的基本功和较好的心理素质，还要掌握一定技巧，而这种技巧来源于数学知识的积累。
初中生的数学成绩在很大程度上取决于解题能力的强弱，而解题能力不是一朝一夕就能提高的，要靠学生平时的积累和教师适时的引导。学生解题时要多观察，多思考，找出规律。教师也要让学生通过一些相应的练习巩固知识，让学生形成完整的知识体系。
总之，笔者通过多年的实践发现，善于利用学生的错误资源，对提高学生成绩有很大的帮助。教师可引导学生将一个学习阶段中的错题按选择题、填空题和解答题划分，集合成一个错题库。在阶段测试时，教师让学生在自己的错题库中挑选一些题目制成一份试卷，这种方法能让学生对错题有更深的认识，有效提升学生的解题素养。
【参考文献】
[1]王海燕.初中数学教学生成资源利用研究[D].南京：南京师范大学，2015.
[2]黄玉华.一道习题的解法探究与思考[J].中学数学教学参考，
2020（8）：54-56.
[3]李娜.注重反思，发挥错题效益[J].中学教学参考，2017（5）：7-8.
[4]卢凌.利用学生错误发展学生思维水平[J].物理教师，2017
（8）：20-22.
【作者简介】
吕学兵（1977～），男，汉族，江苏苏州人，本科，中学一级教师。研究方向：数学教育。
【关键词】初中数学;错误资源;解题素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0171-02
在初中数学教学中，学生出现解题错误是一种常见现象，教师要充分利用这种错误资源，使学生的错误“来源于学生，服务于学生”，成为提高学生学习效率的重要资源。以下是笔者在教学中巧用错误资源，提升学生解题素养的实践与探索。
学生在解题中常出现的错误有以下四种：①见到题目无从下手，感觉对这个知识很陌生，这种为知识性错误。②对于一些综合性的数学问题，学生往往考虑问题不够全面，只能得出片面的答案，可称之为逻辑性错误。③对于一些几何图形问题，经常需要添加辅助线进行解答，如果辅助线处理不当就会增加解题难度甚至出现错误，可以称之为策略性错误。④学生经常会看错题目，甚至在抄写答案时写错位置，这类问题越到大考越明显，这种为心理性错误。针对以上这几种错误，教师可以找出学生的错误根源，再加以例题训练，有针对性地提升学生的解题素养[1]。
1 类比易混错误，厘清概念本质
类比思想是根据两个对象之间的某些相同或相似的属性，推出它们存在其他相同或相似的属性的思维方法。而有一些数学概念很相近，但却是完全不同的两个概念，如去分母和通分是分數和分式学习中的两个重要的概念，学生经常混淆。这就要求教师从概念入手，帮助学生厘清这两个概念，认清它们的本质特征[2]。
如在解分式方程?1=时，学生将方程移项得到?=1，然后习惯性将作为公因式提出来，得到（2x?1）=1，这样增加了计算量，而在计算时，却反而将式子转化为2a?（a+2），丢了分母。出现这种情况的原因在于学生没有厘清去分母和通分的概念，去分母是运用等式的基本性质，它只适用于等式，而通分是分式的基本性质，只对分子分母进行同时扩大（或缩小）。
2 利用漏解错误，培养严密思维
数学课堂教学不仅是传授学生知识，更重要的是给学生提供思考和探究的机会。教师在教学中可留意学生的一些错误，对一些有代表性、拓展性、“错的有道理”的错误进行挖掘，将其开发成教学资源，因为学生都想知道错在哪里，自然学习兴趣浓厚，教学效果往往超过预期[3]。如解一元二次方程是数学计算中的一个重点，但学生在解题时经常出现漏解的情况，合理运用解一元二次方程的四种方法对解方程问题有很大的帮助。
如（3x?4）2=（4x?3）2这道题目，笔者发现本班有十几位学生只考虑到两底数相等的情况得3x?4=4x?3，得出x=?1。这时要进一步探究一元二次方程解的个数情况，当Δ>0时，方程有两个解，从而得出漏掉两底数相反数的情况，像这种情形可以先认清方程结构，移项后利用平方差公式的方法防止漏解，得（3x?4）2?（4x?3）2=0，进而得出[（3x?4）+（4x?3）][（3x?4）?（4x?3）]=0，又得（3x?4）+（4x?3）=0，（3x?4）?（4x?3）=0两个方程，这样就不会出现漏解的情形了。因此，通过深入探究和拓展学生的错误，让学生顺着自己错误不断探究，从而得出正确的结论和错误的原因，能够生成有价值的认知，把学生的错误转变为宝贵的教学资源，在探究与比较的过程中提升了学生思维的深刻性、严密性。
通过以上分析，不难发现数学学习是一个不断总结、挖掘问题，然后解决问题的过程。教师在讲解一些比较难的问题时，可先用一些浅显易懂的问题引入，然后逐步渗透一些数学思想和数学方法，从而提高学生的思维能力，使学生掌握一定的数学方法。
3 巧借解题挫折，渗透化归思想
化归思想是一种重要的解题思想和思维方式，尤其在解答综合型数学问题时，化归思想显得尤为重要。应用化归思想往往能将一个复杂的问题分解为若干个简单的小问题，然后逐步攻克每一个小问题，最后达到解决整个问题的目的[4]。此外，学生最怕的就是数学应用题，这种题型往往比较抽象，学生很难把握要点，这就需要教师在教学中引导学生选择合适的方法进行分析，将问题画成线段图、借助坐标系等。初中生在计算中经常会遭遇挫折，出现突然算不下去的情况，如用方程解应用题，方程已经列出来，却解不出方程。
如题：据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率。当列出方程15（1+x）2=21.6后，有些学生习惯于将方程展开进行求解，15+30x+15x2=21.6，这样用不了几步就会出现解不下去的情况。对于这种情况，教师首先可向学生强调直接开平方法的应有的结构为（x+m）2=n（n ≥ 0），从而将方程转化为（1+x）2=1.44，就能轻松地得出x=0.2。处理这类问题时不要盲目地展开求解，要先观仔细察方程结构，再对照解一元二次方程的几种常用方法，选择合适的方法，突出数学化归思想，从而让学生在遭遇“解题挫折”时豁然开朗。
学生解题出错或者方法繁琐难解，是学生必然要经历的过程。此时教师要正确引导，帮助学生分析错误原因，适当配以例题教学和拓展练习，让学生正确理解相同类型题目的解题思路，进而帮助学生掌握解题方法，培养学生良好的数学学习习惯，增强学生的学习信心，达到帮助学生熟练掌握解题策略的目的。
4 运用计算技巧，实现化繁为简 初中生在解题时经常会遇到一些计算量大而繁杂的题目，很多学生常常半途而废，这主要是因为学生的计算能力不强。学生想要具备比较扎实的计算能力，一定先要掌握常用的定理、口诀、公式，如三角函数公式、二次函数的顶点坐标公式、圆的垂径定理等，学生在记忆这些公式时，还要弄清公式的来源。
如题：如图1，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE=1，AB=6，求弦AF的长。
本题考查圆的性质和有关的计算。通过Rt?AOE的三边关系，确定半径OA=OB=5，AE=BE=3，下面就是针对线段AM灵活运用勾股定理，单靠一次勾股定理无法得出AM的长，必须借助Rt?ABM和Rt?AOM两次勾股定理，即AB2?BM2=AM2，AO2?OM2=AM2，从而得出AB2?BM2=AO2?OM2，62?（5?OM）2=52?OM2。這里的计算量较大，要求学生熟练掌握勾股定理的内容以及完全平方公式的展开式。得出OM=后，教师进一步提问，如何求AM的长，学生异口同声AM2=AO2?OM2，但接下来大家都愣住，因为式子中出现AM2=52?（）2，有学生看到分数的平方就产生畏难情绪，做不下去了，索性放弃。还有学生采用平方差公式，AM2=×=进行开方，还是无法得出结果。出现这种情形，不妨先观察几个数字的结构，5可以看作，由此可以联想到常用的勾股数7、24、25，因此可以直接确定AM的值是。从这道例题可以看出，计算不仅需要有扎实的基本功和较好的心理素质，还要掌握一定技巧，而这种技巧来源于数学知识的积累。
初中生的数学成绩在很大程度上取决于解题能力的强弱，而解题能力不是一朝一夕就能提高的，要靠学生平时的积累和教师适时的引导。学生解题时要多观察，多思考，找出规律。教师也要让学生通过一些相应的练习巩固知识，让学生形成完整的知识体系。
总之，笔者通过多年的实践发现，善于利用学生的错误资源，对提高学生成绩有很大的帮助。教师可引导学生将一个学习阶段中的错题按选择题、填空题和解答题划分，集合成一个错题库。在阶段测试时，教师让学生在自己的错题库中挑选一些题目制成一份试卷，这种方法能让学生对错题有更深的认识，有效提升学生的解题素养。
【参考文献】
[1]王海燕.初中数学教学生成资源利用研究[D].南京：南京师范大学，2015.
[2]黄玉华.一道习题的解法探究与思考[J].中学数学教学参考，
2020（8）：54-56.
[3]李娜.注重反思，发挥错题效益[J].中学教学参考，2017（5）：7-8.
[4]卢凌.利用学生错误发展学生思维水平[J].物理教师，2017
（8）：20-22.
【作者简介】
吕学兵（1977～），男，汉族，江苏苏州人，本科，中学一级教师。研究方向：数学教育。