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摘 要：本文在明确小学教育专业微积分课程目标及学生数学学习基础之上，提出了教学设计的原则，并据此对《微分的概念》一课做了课堂教学设计。
关键词：教学设计；微积分；小学教育；微分的概念
中图分类号：G652 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）03-0090-02
Abstract： Based on the course objectives of calculus in elementary education specialty and the students' learning capacity ， this paper puts forward some principles of teaching design and makes the teaching design of "the concept of differential" accordingly.
Keywords： teaching design； calculus； elementary education； the concept of differential
《微积分》作为现代数学的重要分支，已成为众多专业所开设的必修课程，不同专业的微积分课程在目标设置、内容选材及教学策略上应有自身的特色。教学设计是教师开发课程的首要环节，小学教育专业的微积分教学设计应在明确课程目标的基础上，从学生现有的数学学习基础出发， 使设计的各环节凸显出本专业特有的“师范性和基础性”。
一、小学教育专业微积分课程目标
首先，学生应当获得微积分的基础理论和基本技能，为进一步学习和深造做好必要的知识储备；其次，学习以运动、变化、无穷的观点看待事物，体会微积分解决问题的神奇力量。这将使学生懂得微积分的价值，同时获得现代高素质人才必有的辩证、广阔的思维；最后，要借助微积分的学习，加深对数学基本思想和数学方法的认识。高等数学与初等数学内容不同，但研究的思想和方法是一致的，学生在微积分学习中的思维方式方法必将对其今后的数学教学工作产生重大影响。
二、小学教育专业学生的数学学习基础
小学教育专业的微积分课程是专业必修的核心课程，在一年级开设，学生学习的基础有以下几方面。
（一）知识技能方面
微积分的研究对象是函数，而小学教育专业的学生已在中学阶段学习了函数的有关概念、公式、定理及性质，懂得基本初等函数的运算和作图，具备了学习微积分的知识技能基础，但这些知识的清晰度和可利用程度较低，相关技能并不娴熟，需要在教学过程中帮助其辨认和再回忆，以加快其思考速度，提高课堂教学效率。
（二）数学思考方面
学生能领会数学的抽象、推理和建模，但多数学生的抽象逻辑思维能力较低，不能自觉、合理地运用数学方法，鲜能独立发现。同时，受高考前“题海战术”的影响，存在“重技巧轻思路，重答案轻过程”的倾向，在微积分的学习中缺乏思考的主动性和条理性。在教学中，教师势必要关注学生的思维过程。
三、小学教育专业微积分教学设计原则
（一）重视各概念间的意义建构
微积分是一个庞大的知识体系，各基本概念（增量、极限、导数、连续、定积分、不定积分等）相互联系生长形成了微积分的主要脉络，进而生成附属的性质、定理、公式等。从专业培养和课时量考虑，小学教育专业的学生不可能也无必要学完其中的各个知识点，但他们必须认识微积分基本框架结构中最基础最重要的部分：概念。学生头脑中建立起概念间实质性的联系就能把握微积分的知识生长点和重要思想方法，同时清晰稳定的概念是学生进行判断推理的的依据。学生获得概念是同化和顺应的相互交替过程，在讲授新概念时，教师应当帮助学生明确新旧概念的关系，以实现概念的同化；提供具体直观的材料引导观察、作图、演算、猜测、推理等活动帮助学生理清概念中各要素之间的关系，澄清概念本质，从而扩大和重组其认知结构，加快概念的顺应过程。
（二）注重问题的解决过程
没有固定模式可套用解决的数学题就是数学问题，一旦掌握了该类问题解决的固定方法，形成模型后，遇到此类问题只需套模式解答就行了，就是做练习。问题解决的過程是学生建立模型的基础，教师应充分利用问题引发学生的思考，以问题解决为平台通过讲授、演示、启发式谈话等方法引导学生展开数学思考，通过反问、质疑、点评等手段提高学生思维的条理性、逻辑性和深刻性，从而实现抽象和建模。做练习可以加深对模型的认识，体会模型的高效便捷。练习是必不可少的，但应注意练习的典型性减少重复性，同时要关注学生能否正确判断出练习与模型的匹配，如设置一些纠错练习：（3x）'=x.3x-1是否正确，为什么？
（三）加强数学方法的运用，减轻逻辑论证的过程性
数学方法是在数学思想指导下解决问题的步骤程序， 数学思想抽象概括，而数学方法则是思想的具体表达。理解数学思想必需经过数学方法的长期实践运用。如极限的思想，学生要通过“无限分割、无限逼近、化曲为直”等方法解决问题才能逐步领悟。同时数学活动过程中结论的发现、证明都离不开数学方法，学生只有懂得其中的方法才能理解结论的意义及其正确性。对于小学教育专业的学生来说，他们应当懂得微积分结论的来龙去脉而不必过于关注细枝末节。因此，教师要关注的是如何引导学生运用数学方法发现结论及寻求证明的路径，对于证明结论过程，则应降低要求，逻辑推理严谨的细节，可以直接提示或演示给学生看，达到“知晓”的目的即可。在教学过程中，对于学生未曾接触过的数学方法，教师可以通过演示和讲解使之接受，对于学生较为生疏尚不能自觉运用的数学方法，教师应适时提示或帮助其回忆，并提供机会让学生效仿、操作和反思。长此以往，学生对数学思想的认识及思维品质都会得到提高。 四、《微分的概念》教学设计
（一）教学内容
微分定义的背景材、微分定义、函数可微的条件。
（二）教学目标
1. 经历求解实际问题中函数增量近似值的过程：
（1）抽象出函数f（x）在点x0处的微分定义；
（2）能理解并记忆表达式：？驻y=A？驻x+O（？琢） ？驻y=dy+O（？琢） ？驻y≈dy；
（3）初步体会微分的应用性。
2. 通过对比导数和微分概念中的表达式及观察实际问题中的A值，能猜测出A=f'（x0）。
3. 通过阅读证明过程，理解可微？圳可导，记忆公式dy|x=x0=f'（x0）△x。
（三）教学重点
？驻y、dy、f'（x）的关系。难点：微分定义的构造性表述方式。
（四）学情分析
无穷小量及高阶无穷小量的概念是学生解决新问题，理解？驻y≈dy的必要的知识，这一知识点大多数学生达到理解水平；导数的概念，基本初等函数的导数是学生将导数与微分建立联系的知识基础，多数学生能大致回忆导数的概念公式，能快速计算基本初等函数的导数。
（五）教学方法
启发式谈话法与讲解演示法、阅读法相结合。
（六）学习方式
有意义的接受学习和有指导的发现学习相结合，独立思考与合作交流相结合。
（七）教学过程
课前准备：复习导数概念、几个基本初等函数求导公式。
（设计意图：通过简单复习，使学生获得将导数与微分建立联系的知识准备和心理倾向。）
1. 问题驱动
（1）出示问题一：一个正方形金属薄片受温度变化影响，边长由x0变到x0+？驻x，问它的面积改变了多少？面积估计改变多少？
（学生独立计算，提示：若x0=10，？驻x=0.0001时，面积估计改变多少？
提示：？驻x很微小，即？驻x→0）
（设计意图：提示一旨在使学生体验“特殊化”方法的作用，这时学生易得出？驻s≈2x0？驻x。
提示二旨在提示学生用“一般化”方法论证结果，指出了论证？驻s≈2x0？驻x的路径。）
（2）出示问题二：一个正方体金属受到温度变化的影响，边长由x0变化到x0+？驻x，问它的体积改变了多少？体积估计改变多少？
（学生独立计算求？驻v=？，同桌讨论？驻v≈？说明理由。）
（设计意图：问题一和二作为引导性材料，其涉及的运算简便，结果特征明显，易于学生发现其中的共同点和特征。在学生能力范围内的独立思考和讨论可提高学生的学习主动性。）
2. 抽象、建立模型
（1）提问：两个例子的已知条件、问题有何相同之处？结果表达式有何特点？
（梳理、完善学生的回答，指出抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量上的共性，就是微分的定义。）
（2）提问：微分和增量之间的关系？（要求学生说明理由）
（设计意图：学生发现共同点、特点的过程就是对具体问题概括抽象的过程，在此基础上给出微分的定义，学生易于接受，从而突破本节课的难点。提问“微分和增量的关系”又促使学生回顾微分的定义过程，头脑中建立起微分和增量的实质性联系）
（3）记忆：微分定义中包含的重要等式：？驻y=A？驻x+O（？驻x）；dy=A？驻x；？驻y≈dy
（设计意图：培根说过：“一切知识，不过是记忆”。学生记忆重要等式就是对先前学习活动经验的加工存储，头脑中微分概念各要素的关系更为稳定清晰，同时为后继的思考准备原材料。）
3. 猜想、验证
（1）猜想A是f（x）的？（要求学生说明是怎么猜的）
（设计意图：猜想是数学发现的重要步骤，鼓励猜想并说明理由可以讓学生体会猜想所带来的探索意义并获得一些合情推理的数学方法）
（2）证明猜想A=f'（x）
（引导学生观察分析等式？驻y=A？驻x+O（x）和
课件演示证明过程，请学生阅读后提出：可微？圯可导，其逆命题成立吗？
课件演示证明过程请学生阅读后指出：可微？圳可导，要求学生记忆dy|x=x0=f'（x0）？驻x。
（设计意图：此环节重在引导学生用观察分析及转化的数学方法寻找证明的路径，阅读证明过程旨在向学生展示数学的严谨性，同时避免学生机械记忆等式）
4. 练习
设x的值从x=1变到x=1.01，试求函数y=2x2-x的增量和微分。
（设计意图：通过求具体函数在某个确定点的增量和微分，巩固？驻y、dy、f'（x）的关系，同时学生可以直接体验到公式dy|x=x0=f'（x0）？驻x在求函数微分计算中的价值和微分近似代替增量的优越性。）
5. 总结
提问微分和增量的关系？微分和导数的关系？dy近似代替？驻y的优点？
（设计意图：最后提问的答案，是从练习的具体问题到一般化的概括，最终实现微分概念的意义建构。）
参考文献
[1]姚绍义.大学数学（上册）[M].北京：人民教育出版社，2002：160-161.
关键词：教学设计；微积分；小学教育；微分的概念
中图分类号：G652 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）03-0090-02
Abstract： Based on the course objectives of calculus in elementary education specialty and the students' learning capacity ， this paper puts forward some principles of teaching design and makes the teaching design of "the concept of differential" accordingly.
Keywords： teaching design； calculus； elementary education； the concept of differential
《微积分》作为现代数学的重要分支，已成为众多专业所开设的必修课程，不同专业的微积分课程在目标设置、内容选材及教学策略上应有自身的特色。教学设计是教师开发课程的首要环节，小学教育专业的微积分教学设计应在明确课程目标的基础上，从学生现有的数学学习基础出发， 使设计的各环节凸显出本专业特有的“师范性和基础性”。
一、小学教育专业微积分课程目标
首先，学生应当获得微积分的基础理论和基本技能，为进一步学习和深造做好必要的知识储备；其次，学习以运动、变化、无穷的观点看待事物，体会微积分解决问题的神奇力量。这将使学生懂得微积分的价值，同时获得现代高素质人才必有的辩证、广阔的思维；最后，要借助微积分的学习，加深对数学基本思想和数学方法的认识。高等数学与初等数学内容不同，但研究的思想和方法是一致的，学生在微积分学习中的思维方式方法必将对其今后的数学教学工作产生重大影响。
二、小学教育专业学生的数学学习基础
小学教育专业的微积分课程是专业必修的核心课程，在一年级开设，学生学习的基础有以下几方面。
（一）知识技能方面
微积分的研究对象是函数，而小学教育专业的学生已在中学阶段学习了函数的有关概念、公式、定理及性质，懂得基本初等函数的运算和作图，具备了学习微积分的知识技能基础，但这些知识的清晰度和可利用程度较低，相关技能并不娴熟，需要在教学过程中帮助其辨认和再回忆，以加快其思考速度，提高课堂教学效率。
（二）数学思考方面
学生能领会数学的抽象、推理和建模，但多数学生的抽象逻辑思维能力较低，不能自觉、合理地运用数学方法，鲜能独立发现。同时，受高考前“题海战术”的影响，存在“重技巧轻思路，重答案轻过程”的倾向，在微积分的学习中缺乏思考的主动性和条理性。在教学中，教师势必要关注学生的思维过程。
三、小学教育专业微积分教学设计原则
（一）重视各概念间的意义建构
微积分是一个庞大的知识体系，各基本概念（增量、极限、导数、连续、定积分、不定积分等）相互联系生长形成了微积分的主要脉络，进而生成附属的性质、定理、公式等。从专业培养和课时量考虑，小学教育专业的学生不可能也无必要学完其中的各个知识点，但他们必须认识微积分基本框架结构中最基础最重要的部分：概念。学生头脑中建立起概念间实质性的联系就能把握微积分的知识生长点和重要思想方法，同时清晰稳定的概念是学生进行判断推理的的依据。学生获得概念是同化和顺应的相互交替过程，在讲授新概念时，教师应当帮助学生明确新旧概念的关系，以实现概念的同化；提供具体直观的材料引导观察、作图、演算、猜测、推理等活动帮助学生理清概念中各要素之间的关系，澄清概念本质，从而扩大和重组其认知结构，加快概念的顺应过程。
（二）注重问题的解决过程
没有固定模式可套用解决的数学题就是数学问题，一旦掌握了该类问题解决的固定方法，形成模型后，遇到此类问题只需套模式解答就行了，就是做练习。问题解决的過程是学生建立模型的基础，教师应充分利用问题引发学生的思考，以问题解决为平台通过讲授、演示、启发式谈话等方法引导学生展开数学思考，通过反问、质疑、点评等手段提高学生思维的条理性、逻辑性和深刻性，从而实现抽象和建模。做练习可以加深对模型的认识，体会模型的高效便捷。练习是必不可少的，但应注意练习的典型性减少重复性，同时要关注学生能否正确判断出练习与模型的匹配，如设置一些纠错练习：（3x）'=x.3x-1是否正确，为什么？
（三）加强数学方法的运用，减轻逻辑论证的过程性
数学方法是在数学思想指导下解决问题的步骤程序， 数学思想抽象概括，而数学方法则是思想的具体表达。理解数学思想必需经过数学方法的长期实践运用。如极限的思想，学生要通过“无限分割、无限逼近、化曲为直”等方法解决问题才能逐步领悟。同时数学活动过程中结论的发现、证明都离不开数学方法，学生只有懂得其中的方法才能理解结论的意义及其正确性。对于小学教育专业的学生来说，他们应当懂得微积分结论的来龙去脉而不必过于关注细枝末节。因此，教师要关注的是如何引导学生运用数学方法发现结论及寻求证明的路径，对于证明结论过程，则应降低要求，逻辑推理严谨的细节，可以直接提示或演示给学生看，达到“知晓”的目的即可。在教学过程中，对于学生未曾接触过的数学方法，教师可以通过演示和讲解使之接受，对于学生较为生疏尚不能自觉运用的数学方法，教师应适时提示或帮助其回忆，并提供机会让学生效仿、操作和反思。长此以往，学生对数学思想的认识及思维品质都会得到提高。 四、《微分的概念》教学设计
（一）教学内容
微分定义的背景材、微分定义、函数可微的条件。
（二）教学目标
1. 经历求解实际问题中函数增量近似值的过程：
（1）抽象出函数f（x）在点x0处的微分定义；
（2）能理解并记忆表达式：？驻y=A？驻x+O（？琢） ？驻y=dy+O（？琢） ？驻y≈dy；
（3）初步体会微分的应用性。
2. 通过对比导数和微分概念中的表达式及观察实际问题中的A值，能猜测出A=f'（x0）。
3. 通过阅读证明过程，理解可微？圳可导，记忆公式dy|x=x0=f'（x0）△x。
（三）教学重点
？驻y、dy、f'（x）的关系。难点：微分定义的构造性表述方式。
（四）学情分析
无穷小量及高阶无穷小量的概念是学生解决新问题，理解？驻y≈dy的必要的知识，这一知识点大多数学生达到理解水平；导数的概念，基本初等函数的导数是学生将导数与微分建立联系的知识基础，多数学生能大致回忆导数的概念公式，能快速计算基本初等函数的导数。
（五）教学方法
启发式谈话法与讲解演示法、阅读法相结合。
（六）学习方式
有意义的接受学习和有指导的发现学习相结合，独立思考与合作交流相结合。
（七）教学过程
课前准备：复习导数概念、几个基本初等函数求导公式。
（设计意图：通过简单复习，使学生获得将导数与微分建立联系的知识准备和心理倾向。）
1. 问题驱动
（1）出示问题一：一个正方形金属薄片受温度变化影响，边长由x0变到x0+？驻x，问它的面积改变了多少？面积估计改变多少？
（学生独立计算，提示：若x0=10，？驻x=0.0001时，面积估计改变多少？
提示：？驻x很微小，即？驻x→0）
（设计意图：提示一旨在使学生体验“特殊化”方法的作用，这时学生易得出？驻s≈2x0？驻x。
提示二旨在提示学生用“一般化”方法论证结果，指出了论证？驻s≈2x0？驻x的路径。）
（2）出示问题二：一个正方体金属受到温度变化的影响，边长由x0变化到x0+？驻x，问它的体积改变了多少？体积估计改变多少？
（学生独立计算求？驻v=？，同桌讨论？驻v≈？说明理由。）
（设计意图：问题一和二作为引导性材料，其涉及的运算简便，结果特征明显，易于学生发现其中的共同点和特征。在学生能力范围内的独立思考和讨论可提高学生的学习主动性。）
2. 抽象、建立模型
（1）提问：两个例子的已知条件、问题有何相同之处？结果表达式有何特点？
（梳理、完善学生的回答，指出抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量上的共性，就是微分的定义。）
（2）提问：微分和增量之间的关系？（要求学生说明理由）
（设计意图：学生发现共同点、特点的过程就是对具体问题概括抽象的过程，在此基础上给出微分的定义，学生易于接受，从而突破本节课的难点。提问“微分和增量的关系”又促使学生回顾微分的定义过程，头脑中建立起微分和增量的实质性联系）
（3）记忆：微分定义中包含的重要等式：？驻y=A？驻x+O（？驻x）；dy=A？驻x；？驻y≈dy
（设计意图：培根说过：“一切知识，不过是记忆”。学生记忆重要等式就是对先前学习活动经验的加工存储，头脑中微分概念各要素的关系更为稳定清晰，同时为后继的思考准备原材料。）
3. 猜想、验证
（1）猜想A是f（x）的？（要求学生说明是怎么猜的）
（设计意图：猜想是数学发现的重要步骤，鼓励猜想并说明理由可以讓学生体会猜想所带来的探索意义并获得一些合情推理的数学方法）
（2）证明猜想A=f'（x）
（引导学生观察分析等式？驻y=A？驻x+O（x）和
课件演示证明过程，请学生阅读后提出：可微？圯可导，其逆命题成立吗？
课件演示证明过程请学生阅读后指出：可微？圳可导，要求学生记忆dy|x=x0=f'（x0）？驻x。
（设计意图：此环节重在引导学生用观察分析及转化的数学方法寻找证明的路径，阅读证明过程旨在向学生展示数学的严谨性，同时避免学生机械记忆等式）
4. 练习
设x的值从x=1变到x=1.01，试求函数y=2x2-x的增量和微分。
（设计意图：通过求具体函数在某个确定点的增量和微分，巩固？驻y、dy、f'（x）的关系，同时学生可以直接体验到公式dy|x=x0=f'（x0）？驻x在求函数微分计算中的价值和微分近似代替增量的优越性。）
5. 总结
提问微分和增量的关系？微分和导数的关系？dy近似代替？驻y的优点？
（设计意图：最后提问的答案，是从练习的具体问题到一般化的概括，最终实现微分概念的意义建构。）
参考文献
[1]姚绍义.大学数学（上册）[M].北京：人民教育出版社，2002：160-161.