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三角函数具有公式多，思想丰富，变化灵活，渗透性强等特点。高考中三角函数的题型多为填空题、选择题及解答题的中档题，主要考查三角函数的求值、化简、证明以及解决简单的综合问题。因此，在本章的学习和复习过程中，熟练掌握以下解题思想和方法，有助于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力。
一、数形结合的思想
例1：试求函数f（θ）＝＋的最小值。
思路分析：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐，于是考虑能否将“数”转化为“形”。
解：利用1＝cos2θ＋sin2θ可将函数变形为：
f（θ）＝＋＝x＋y
则x为点M（cosθ，sinθ）到点P（1，1）的距离，为点M到Q（－1，0）的距离，而点M（cosθ，sinθ）显然为单位圆上的动点，故求f（θ）的最小值问题即转化为求单位圆上的动点M到两定点P、Q的距离和的最小值，结合图形易知：
MP+MQ≥
评注：应用数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法，利用图形直观的特殊性来解答问题。
二 换元的思想
例2：已知sinθ－cosθ＝，求sin3θ－cos3θ的值。
解：设sinθ＝a，cosθ＝b，于是a2＋b2＝1，a－b＝
∴（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝ab＝
∴sin3θ－cos3θ＝a3－b3＝（a－b）（a2＋b2＋ab）＝×＝
评注：在三角函数式中，若同时含有sinα±cosα与sinαcosα，可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题来解决。
三、分类讨论的思想
例3：已知－≤β＜， 3sin2α－2sin2β＝2sinα，试求sin2β－sin2α的最小值。
解：∵－≤β＜∴－≤sinβ＜，0≤sin2β＜
∴0≤2sin2β＜1∴0≤3sin2α－2sinα＜1
即 ，解得≤sinα＜1或－＜sinα≤0
∴y＝sin2β－sin2α＝（3sin2α－2sinα）－sin2α＝（sinα－）2－
当sinα∈[，1）时，y是增函数，当sinα＝时， ymin＝－
当sinα∈(－，0]时，y是减函数，当sinα＝0时，ymin＝0
综上所述，函数y＝sin2β－sin2α的最小值为－
评注：在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也要注意讨论。
四、化归与转化的思想
例4：化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β。
解法一：从“角”入手，复角化单角
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（2cos2α－1）（2cos2β－1）
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝
解法二：从“名”入手，异名化同名
原式＝sin2αsin2β＋（1－sin2α）cos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2αcos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－cos2β（sin2α＋cos2α）
＝（1＋cos2β）－cos2β（＋）
＝
解法三：从“形”入手，采用配方法
原式＝（sinαsinβ－cosαcosβ）2＋2 sinαsinβcosαcosβ－cos2αcos2β
＝cos2（α＋β）＋sin2αsin2β－cos2αcos2β
＝cos2（α＋β）－cos（2α＋2β）＝
评注：本题从“角”、“名”、“形”不同的角度，将三角函数式进行转化，使问题得以解决，化归与转化的思想普遍应用于三角函数式的化简、求值和证明中。
五、构造模型的思想
例5：化简sin2α＋sin2β＋2sinαsinβcos（α＋β）。
思路分析：因所给三角函数表达式与余弦定理有类似的形式，故可考虑构造外接圆直径2R＝1的三角形ABC，其中A＝α，B＝β，C＝180°－（α＋β）。
在△ABC中用正弦定理与余弦定理，得：
sin2α＋sin2β＋2sinαsinβcos（α＋β）＝sin2（α＋β）
评注：用构造三角形解这类三角函数式的化简、计算、证明，思路清晰，解答快捷。
六、方程的思想
例6：已知α，β∈（－，），tanα，tanβ是一元二次方程x2＋3＋4＝0的两根，求α＋β。
思路分析：根据韦达定理，有tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4
tan（α＋β）＝＝＝
已知α，β∈（－，），也易知tanα＜0，tanβ＜0，得α，β∈（－，0）
由此可得α＋β∈（－π，0），因此α＋β＝－π
评注：利用方程的思想方法解有关三角函数问题，如果tanα，tanβ是二次方程的二根，则方程的系数由韦达定理作为桥梁与两角和正切公式有着密切的联系，这是方程与三角函数知识的一个交汇点。如果cosα，sinα是二次方程的二根，则方程的系数由韦达定理作为桥梁与sin2α＋cos2α＝1有着密切联系，要注意利用这种关系解题。
七、对称的思想
例7：如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，那么a＝（ ）。
思路分析：∵x＝－是此函數的一条对称轴
∴f（－－x）＝f（－＋x）对定义域上的任何值都成立
令x＝，则有f（－＋）＝f（0）＝sin0＋acos0＝a
f（－－）＝f(－)＝sin（－）＋acos（－）＝－1
∴a＝－1
评注：利用函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是f（a＋x）＝f（a－x）来解题，是近几年高考题中常涉及的内容，要引起重视。
八、特殊值法的思想
例8：若α是第四象限角，则π－α一定在（）
A、第一象限B、第一象限
C、第一象限D、第一象限
思路分析：取特殊值α＝－，则π－α＝是第三象限角，故选C。
例9：已知α是第二象限角，则所在象限是（）
A、第一或二象限B、第二或三象限
C、第一或三象限D、第二或四象限
思路分析：取α＝160°，则＝80°；取α＝160°＋360°＝520°，则＝260°。故选C。
评注：根据近年来高考趋势，三角函数的题型难度有所下降，多是选择题和填空题，应用特殊值法的思想，对解三角函数的选择题将起到事半功倍的效果。
在学习三角函数这一章时,一方面注意不要引入难度过高、计算量过大、技巧性过强的题目，避免增加不必要的学习负担；另一方面要在落实基础知识、基本技能的基础上，加强运用三角工具的意识和运用数学思想方法的意识，着重培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。
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一、数形结合的思想
例1：试求函数f（θ）＝＋的最小值。
思路分析：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐，于是考虑能否将“数”转化为“形”。
解：利用1＝cos2θ＋sin2θ可将函数变形为：
f（θ）＝＋＝x＋y
则x为点M（cosθ，sinθ）到点P（1，1）的距离，为点M到Q（－1，0）的距离，而点M（cosθ，sinθ）显然为单位圆上的动点，故求f（θ）的最小值问题即转化为求单位圆上的动点M到两定点P、Q的距离和的最小值，结合图形易知：
MP+MQ≥
评注：应用数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法，利用图形直观的特殊性来解答问题。
二 换元的思想
例2：已知sinθ－cosθ＝，求sin3θ－cos3θ的值。
解：设sinθ＝a，cosθ＝b，于是a2＋b2＝1，a－b＝
∴（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝ab＝
∴sin3θ－cos3θ＝a3－b3＝（a－b）（a2＋b2＋ab）＝×＝
评注：在三角函数式中，若同时含有sinα±cosα与sinαcosα，可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题来解决。
三、分类讨论的思想
例3：已知－≤β＜， 3sin2α－2sin2β＝2sinα，试求sin2β－sin2α的最小值。
解：∵－≤β＜∴－≤sinβ＜，0≤sin2β＜
∴0≤2sin2β＜1∴0≤3sin2α－2sinα＜1
即 ，解得≤sinα＜1或－＜sinα≤0
∴y＝sin2β－sin2α＝（3sin2α－2sinα）－sin2α＝（sinα－）2－
当sinα∈[，1）时，y是增函数，当sinα＝时， ymin＝－
当sinα∈(－，0]时，y是减函数，当sinα＝0时，ymin＝0
综上所述，函数y＝sin2β－sin2α的最小值为－
评注：在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也要注意讨论。
四、化归与转化的思想
例4：化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β。
解法一：从“角”入手，复角化单角
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（2cos2α－1）（2cos2β－1）
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝
解法二：从“名”入手，异名化同名
原式＝sin2αsin2β＋（1－sin2α）cos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2αcos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－cos2β（sin2α＋cos2α）
＝（1＋cos2β）－cos2β（＋）
＝
解法三：从“形”入手，采用配方法
原式＝（sinαsinβ－cosαcosβ）2＋2 sinαsinβcosαcosβ－cos2αcos2β
＝cos2（α＋β）＋sin2αsin2β－cos2αcos2β
＝cos2（α＋β）－cos（2α＋2β）＝
评注：本题从“角”、“名”、“形”不同的角度，将三角函数式进行转化，使问题得以解决，化归与转化的思想普遍应用于三角函数式的化简、求值和证明中。
五、构造模型的思想
例5：化简sin2α＋sin2β＋2sinαsinβcos（α＋β）。
思路分析：因所给三角函数表达式与余弦定理有类似的形式，故可考虑构造外接圆直径2R＝1的三角形ABC，其中A＝α，B＝β，C＝180°－（α＋β）。
在△ABC中用正弦定理与余弦定理，得：
sin2α＋sin2β＋2sinαsinβcos（α＋β）＝sin2（α＋β）
评注：用构造三角形解这类三角函数式的化简、计算、证明，思路清晰，解答快捷。
六、方程的思想
例6：已知α，β∈（－，），tanα，tanβ是一元二次方程x2＋3＋4＝0的两根，求α＋β。
思路分析：根据韦达定理，有tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4
tan（α＋β）＝＝＝
已知α，β∈（－，），也易知tanα＜0，tanβ＜0，得α，β∈（－，0）
由此可得α＋β∈（－π，0），因此α＋β＝－π
评注：利用方程的思想方法解有关三角函数问题，如果tanα，tanβ是二次方程的二根，则方程的系数由韦达定理作为桥梁与两角和正切公式有着密切的联系，这是方程与三角函数知识的一个交汇点。如果cosα，sinα是二次方程的二根，则方程的系数由韦达定理作为桥梁与sin2α＋cos2α＝1有着密切联系，要注意利用这种关系解题。
七、对称的思想
例7：如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，那么a＝（ ）。
思路分析：∵x＝－是此函數的一条对称轴
∴f（－－x）＝f（－＋x）对定义域上的任何值都成立
令x＝，则有f（－＋）＝f（0）＝sin0＋acos0＝a
f（－－）＝f(－)＝sin（－）＋acos（－）＝－1
∴a＝－1
评注：利用函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是f（a＋x）＝f（a－x）来解题，是近几年高考题中常涉及的内容，要引起重视。
八、特殊值法的思想
例8：若α是第四象限角，则π－α一定在（）
A、第一象限B、第一象限
C、第一象限D、第一象限
思路分析：取特殊值α＝－，则π－α＝是第三象限角，故选C。
例9：已知α是第二象限角，则所在象限是（）
A、第一或二象限B、第二或三象限
C、第一或三象限D、第二或四象限
思路分析：取α＝160°，则＝80°；取α＝160°＋360°＝520°，则＝260°。故选C。
评注：根据近年来高考趋势，三角函数的题型难度有所下降，多是选择题和填空题，应用特殊值法的思想，对解三角函数的选择题将起到事半功倍的效果。
在学习三角函数这一章时,一方面注意不要引入难度过高、计算量过大、技巧性过强的题目，避免增加不必要的学习负担；另一方面要在落实基础知识、基本技能的基础上，加强运用三角工具的意识和运用数学思想方法的意识，着重培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”