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（防城港市防城区防城中学广西 防城港 538021）
【摘要】在高中数学试题中，常常遇到有关数列不等式的解法，因这类题目涉及知识点多，综合性强，具有良好的区分度，可以有效地考查学生分析问题、解决问题的能力，倍受命题者青睐．而对学生而言，遇到这类问题时往往不知所措，不能联想到运用我们所学的不等式知识解决，造成思维受阻。
【关键词】数列；不等式；典型；解法
数列不等式综合问题，是高考数学常见试题，这类试题，对数列的考查多属基础知识和其本技能的层次，对不等式的考查，难度调控幅度比较大，有时达到很高的层次，试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻。对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧。下面将举例说明几种常用解题方法。
1.利用单调性解数列不等式问题
例1 已知数列{an}的前n项和sn= -n2+9n+2(n∈N*)
(1)判断数列{an}是否为等差数列；
(2)设bn=1n(12-an)-，Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最小的正整数n0，使得不等式Tn＜n032－对一切正整数n总成立？如果存在，求出n0的值；如果不存在，说明理由。
解：（1）an=10,n=110-2n,n2
数列{an}不是等差数列，解略。
当n=1时,b1=112-a1= 12
当n≥2时,bn=12n(n+1)=12 (1n - 1n+1),
Tn=12+12(12-1n+1)=3n+14n+4=34 - 12n+2
∵Tn随n的增大而单调递增，
∴要使不等式Tn＜n032对一切正整数n总成立，必须且只须limn∞Tn≤n032
又limn∞Tn=34=2432,∴最小的正整数n0=24
说明：欲求数列最大项，可用“比差法”论证任意相邻项的大小关系，进而得出数列的单调性，从而求出最大项。
2.利用数学归纳法解数列不等式问题
例2 （理科）（2002年全国）已知数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,….
(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，并由此猜想出an的一個通项公式
(2)当a1≥3时，证明：对所有的n≥1，有an≥n+2
解：
（1）a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,猜想an=n+1
（2）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1≥3=1+2不等式成立
②假设当n=k时，不等式成立，即ak≥k+2，那么
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2(k+2)+1≥(k+1)+2
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥(k+1)+2
由①②可知，对于所有n≥1，有an≥n+2
说明：用数学归纳法证明数列不等式时，在第②步中经常要结合“放缩法”进行证明，这是近几年高考中理科数列命题的一个趋势。
3.利用递推式解数列不等式问题
例3（2006年天津）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2，并且，xn+1xn=λxnxn-1,
yn+1yn≥λynyn-1(λ为非零常数)，n=2,3,4,….
(1)若x1,x3,x5成等比数列，求参数λ的值.
(2)当λ﹥0时，证明：xn+1yn+1≤xnyn (n∈N*)
(3)当λ﹥1时，证明：x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1﹤λλ-1（n∈N*）
解：（1）∵x1=x2=1,且x3x2=λx2x1,∴x3=λ
∵x4x3=λx3x2∴x4=λ3
∵x5x4=λx4x3∴ x5=λ6
若x1,x3,x5成等比数列，则x32=x1x5,又λ≠0, ∴λ=1或λ=-1
(2)由已知x1=x2=1,y1=y2=2, λ﹥0可得xn﹥0,yn﹥0.
由不等式性质，有yn+1yn≥λynyn-1≥λ2yn-1yn-2≥…≥λn-1y2y1=λn-1
另一方面，xn+1xn=λxnxn-1=λ2xn-1xn-2=…=λn-1x2x1=λn-1≥
∴yn+1yn≥λn-1=xn+1xn(n∈N*),故xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)
(3)当λ﹥1时，由（1）知yn﹥xn≥1
又由（2）xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)，则yn+1-xn+1xn+1≥yn-xnxn，从而
yn+1-xn+1yn-xn≥xn+1xn=λn-1(n∈N*)
∴x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1≤1+1λ+…+(1λ)n-1=1-(1λ)n1-1λ﹤λλ-1
说明：本题条件是数列{xn}，{yn}的递推式，在解题中结合不等式性质反复利用这两个递推式，逐步放缩直至推导到x2x1=1以及y2y1=1，从而突显λ的桥梁作用。这种解法在高考中经常出现，一般地，当题中条件涉及前后项的递推关系（包括等式和不等式）时，应充分运用这种放缩法和迭代法综合解题。
4.放缩法解数列不等式问题
常用的放缩关系有：
（1）1k(k+1)﹤1k2﹤1k(k-1)(k≥2,k∈N*)(分式的分母调整放缩)
（2）k﹤k(k+1)﹤k+1(无理式的配方放缩)
（3）函数f(x)是定义上的单调增函数，当x1﹤x2时，有f(x1)﹤f(x2)（利用函数单调性放缩）
（4）在求和式中去掉若干正数项，则求和式变小（去尾法放缩）
（5）a+b2≥ab（利用不等式性质进行放缩）
例4（2003年高考浙江卷）已知数列{an}满足an+1=an2，且0﹤a1≤12，证明：
∑nk=1(ak-ak+1)ak+2﹤132
证明：∵an+1=an2, 0﹤a1≤12,∴a2≤14,a3≤116,…,且0﹤ak+1﹤ak(k=1,2, …).
∴当k≥1时，ak+2≤a3≤116,
∴ ∑nK=1(ak-ak+1)ak+2≤116∑nK=1(ak-ak+1)
=116(a1-an+1) ﹤116a1≤132
说明：近年高考数列题运用放缩法的频率较高，应掌握几种常用的放缩方法，一般来说应视证题的需要和便于求和（转化为等比﹑等差数列）进行放缩，如“先放缩后求和”﹑“先求和再放缩”﹑“逐步放缩”等变形放缩都是常用手段。
5.迭代法
例5 （理科）（2002年全国）已知数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,…，且a1≥3，证明：（1）an≥n+2；（2）11+a1+11+a2+…+11+an≤12
证明：（1）用数学归纳法，略（见例2）
(2)由递推式及（1）的结论，知当k ≥2时，有
ak=ak-1(ak-1-k+1)+1 ≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1
即ak+1 ≥2(ak-1+1)
∴ak+1 ≥2(ak-1+1) ≥22(ak-2+1) ≥…≥2k-1(a1+1)
∴11+ak≤11+a1•12k-1 (k=1,2,3, …),
∴11+a1+11+a2 +…+11+an≤11+a1(1+12+122+…+12n-1)≤21+a1≤11+3=12
说明：迭代法是证明递推数列中不等式问题的一种很有效的方法，一般是先放缩，再构造一个可以迭代的递推不等式，最后应用递推不等式使问题获证。
参考文献
［1］ 数学学习与研究（新课标高考版）2007 （6）
［2］ 傅钦志证明不等式的策略中学数学研究2003 （1）
［3］ 陈斌递推数列中不等式问题的解法中学数学研究2005（4）
［4］ 孙建明数列中涉及不等式证明的放缩技巧中学数学教学参考 2005 （6）
收稿日期：2011-03-15
【摘要】在高中数学试题中，常常遇到有关数列不等式的解法，因这类题目涉及知识点多，综合性强，具有良好的区分度，可以有效地考查学生分析问题、解决问题的能力，倍受命题者青睐．而对学生而言，遇到这类问题时往往不知所措，不能联想到运用我们所学的不等式知识解决，造成思维受阻。
【关键词】数列；不等式；典型；解法
数列不等式综合问题，是高考数学常见试题，这类试题，对数列的考查多属基础知识和其本技能的层次，对不等式的考查，难度调控幅度比较大，有时达到很高的层次，试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻。对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧。下面将举例说明几种常用解题方法。
1.利用单调性解数列不等式问题
例1 已知数列{an}的前n项和sn= -n2+9n+2(n∈N*)
(1)判断数列{an}是否为等差数列；
(2)设bn=1n(12-an)-，Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最小的正整数n0，使得不等式Tn＜n032－对一切正整数n总成立？如果存在，求出n0的值；如果不存在，说明理由。
解：（1）an=10,n=110-2n,n2
数列{an}不是等差数列，解略。
当n=1时,b1=112-a1= 12
当n≥2时,bn=12n(n+1)=12 (1n - 1n+1),
Tn=12+12(12-1n+1)=3n+14n+4=34 - 12n+2
∵Tn随n的增大而单调递增，
∴要使不等式Tn＜n032对一切正整数n总成立，必须且只须limn∞Tn≤n032
又limn∞Tn=34=2432,∴最小的正整数n0=24
说明：欲求数列最大项，可用“比差法”论证任意相邻项的大小关系，进而得出数列的单调性，从而求出最大项。
2.利用数学归纳法解数列不等式问题
例2 （理科）（2002年全国）已知数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,….
(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，并由此猜想出an的一個通项公式
(2)当a1≥3时，证明：对所有的n≥1，有an≥n+2
解：
（1）a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,猜想an=n+1
（2）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1≥3=1+2不等式成立
②假设当n=k时，不等式成立，即ak≥k+2，那么
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2(k+2)+1≥(k+1)+2
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥(k+1)+2
由①②可知，对于所有n≥1，有an≥n+2
说明：用数学归纳法证明数列不等式时，在第②步中经常要结合“放缩法”进行证明，这是近几年高考中理科数列命题的一个趋势。
3.利用递推式解数列不等式问题
例3（2006年天津）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2，并且，xn+1xn=λxnxn-1,
yn+1yn≥λynyn-1(λ为非零常数)，n=2,3,4,….
(1)若x1,x3,x5成等比数列，求参数λ的值.
(2)当λ﹥0时，证明：xn+1yn+1≤xnyn (n∈N*)
(3)当λ﹥1时，证明：x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1﹤λλ-1（n∈N*）
解：（1）∵x1=x2=1,且x3x2=λx2x1,∴x3=λ
∵x4x3=λx3x2∴x4=λ3
∵x5x4=λx4x3∴ x5=λ6
若x1,x3,x5成等比数列，则x32=x1x5,又λ≠0, ∴λ=1或λ=-1
(2)由已知x1=x2=1,y1=y2=2, λ﹥0可得xn﹥0,yn﹥0.
由不等式性质，有yn+1yn≥λynyn-1≥λ2yn-1yn-2≥…≥λn-1y2y1=λn-1
另一方面，xn+1xn=λxnxn-1=λ2xn-1xn-2=…=λn-1x2x1=λn-1≥
∴yn+1yn≥λn-1=xn+1xn(n∈N*),故xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)
(3)当λ﹥1时，由（1）知yn﹥xn≥1
又由（2）xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)，则yn+1-xn+1xn+1≥yn-xnxn，从而
yn+1-xn+1yn-xn≥xn+1xn=λn-1(n∈N*)
∴x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1≤1+1λ+…+(1λ)n-1=1-(1λ)n1-1λ﹤λλ-1
说明：本题条件是数列{xn}，{yn}的递推式，在解题中结合不等式性质反复利用这两个递推式，逐步放缩直至推导到x2x1=1以及y2y1=1，从而突显λ的桥梁作用。这种解法在高考中经常出现，一般地，当题中条件涉及前后项的递推关系（包括等式和不等式）时，应充分运用这种放缩法和迭代法综合解题。
4.放缩法解数列不等式问题
常用的放缩关系有：
（1）1k(k+1)﹤1k2﹤1k(k-1)(k≥2,k∈N*)(分式的分母调整放缩)
（2）k﹤k(k+1)﹤k+1(无理式的配方放缩)
（3）函数f(x)是定义上的单调增函数，当x1﹤x2时，有f(x1)﹤f(x2)（利用函数单调性放缩）
（4）在求和式中去掉若干正数项，则求和式变小（去尾法放缩）
（5）a+b2≥ab（利用不等式性质进行放缩）
例4（2003年高考浙江卷）已知数列{an}满足an+1=an2，且0﹤a1≤12，证明：
∑nk=1(ak-ak+1)ak+2﹤132
证明：∵an+1=an2, 0﹤a1≤12,∴a2≤14,a3≤116,…,且0﹤ak+1﹤ak(k=1,2, …).
∴当k≥1时，ak+2≤a3≤116,
∴ ∑nK=1(ak-ak+1)ak+2≤116∑nK=1(ak-ak+1)
=116(a1-an+1) ﹤116a1≤132
说明：近年高考数列题运用放缩法的频率较高，应掌握几种常用的放缩方法，一般来说应视证题的需要和便于求和（转化为等比﹑等差数列）进行放缩，如“先放缩后求和”﹑“先求和再放缩”﹑“逐步放缩”等变形放缩都是常用手段。
5.迭代法
例5 （理科）（2002年全国）已知数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,…，且a1≥3，证明：（1）an≥n+2；（2）11+a1+11+a2+…+11+an≤12
证明：（1）用数学归纳法，略（见例2）
(2)由递推式及（1）的结论，知当k ≥2时，有
ak=ak-1(ak-1-k+1)+1 ≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1
即ak+1 ≥2(ak-1+1)
∴ak+1 ≥2(ak-1+1) ≥22(ak-2+1) ≥…≥2k-1(a1+1)
∴11+ak≤11+a1•12k-1 (k=1,2,3, …),
∴11+a1+11+a2 +…+11+an≤11+a1(1+12+122+…+12n-1)≤21+a1≤11+3=12
说明：迭代法是证明递推数列中不等式问题的一种很有效的方法，一般是先放缩，再构造一个可以迭代的递推不等式，最后应用递推不等式使问题获证。
参考文献
［1］ 数学学习与研究（新课标高考版）2007 （6）
［2］ 傅钦志证明不等式的策略中学数学研究2003 （1）
［3］ 陈斌递推数列中不等式问题的解法中学数学研究2005（4）
［4］ 孙建明数列中涉及不等式证明的放缩技巧中学数学教学参考 2005 （6）
收稿日期：2011-03-15