〔关键词〕 数学教学；数列通项公式；减法；叠加法；
　　 累乘法；待定系数法
　　〔中图分类号〕 G633.６２〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463（2011）１０（B）—0082—０1
　　
　　求数列的通项公式是近年高考的热点问题，这类问题具有灵活多变、综合性强的特点.为使学生较好地掌握这类问题的解题方法，本人结合自己的教学实践，总结、积累了求数列通项公式的几种常用方法，并在教学实践中取得了较好的成效.
　　利用减法求通项公式
　　若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列﹛an﹜的通项an，可用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥２求解.
　　例1：已知数列﹛an﹜的前n项和Sn满足Sn=n２，n≥1．求数列﹛an﹜的通项公式.
　　解：a1=S1=1.
　　当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=n２-（n-1)2=2n-1.
　　经验证a1=1也满足上式，所以an=2n-1.
　　注意：凡是遇到已知数列前n项和的表达式Sn求an的情况，均可以考虑用此方法.但利用此法要注意对n进行分类讨论，若能合并时一定要进行合并.
　　利用叠加法求通项公式
　　一般对形如an＋1=an＋f(n)的式子求通项公式，可考虑用叠加法求解.
　　例2：已知数列﹛an﹜满足a1=，an+1=an＋，求an.
　　解：由条件知：an+1-an===-.
　　分别令n=1,2,3，…，(n-1),代入上式得(n-1)个等式并累加之，即(a2-a1)＋(a3-a2)＋(a4-a3)＋…＋(an－an-1)=(1-)＋(-)＋(-)＋…＋(－).所以an－a1=1－.由a1=,得an=＋1－=－.
　　利用累乘法求通项公式
　　一般形如=f(n)的式子求通项公式，可利用累乘法求解.
　　例3：已知数列﹛an﹜满足a1=，an+1=an，求an.
　　解：由条件知=，分别令n=1，2，3，…，（n-1）,代入上式得(n-1)个等式并累乘之，即×××…×=×××…×?圯=.
　　由a1=，得an= .
　　利用待定系数法求通项公式
　　一般形如an+1=pan＋q（p、q为常数）的式子求通项公式，可用待定系数法求解.
　　例4：已知数列﹛an﹜满足a1=1，且an+1=3an＋2，求an.
　　解：设an+1＋t=3(an＋t)，则an+1=3an＋2t?圯t=1.
　　由an+1＋1=3(an＋1)可知，﹛an＋1﹜是以a1＋1为首项，以3为公比的等比数列，所以an＋1=(a1＋1)•3n-1=2•3n-1，所以an=2•3n-1－1.
　　利用除法求通项公式
　　一般形如an+1=pan＋qn+1（p、q为常数）的式子求通项公式时，可同除以qn+1，得=•＋1，令bn=，从而化归为bn+1=bn＋1（p、q为常数），然后再用待定系数法去求解.
　　例5:已知数列﹛an﹜满足a1=1，an=3n＋2an-1 （n≥2），求an.
　　解：将an=3n＋2an-1 两边同除以3n，得=1＋=1＋×.
　　设bn=，则bn=1＋bn-1.令bn-t=(bn-1－t）?圯bn=bn-1＋t?圯t=3.条件可化成bn-3=（bn-1－3)，因此数列﹛bn－3﹜是以b1－3=－3=-为首项，为公比的等比数列.bn－3=-×（）n-1.因bn=，∴ an=bn3n=3n [-×（）n-1＋3]=3n+1－2n+2.
　　求数列通项公式的方法灵活多样，纵观近年来高考中的典型试题，以上五种求数列通项公式的方法比较常见.另外，还可利用倒数法、对数法、分解因式法、数学归纳法求通项公式，其中最关键的是认清递推关系式的构成，这样便可以找到解题的正确途径.
　　编辑：刘立英
　　
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