论文部分内容阅读
数学概念是客观世界中数量关系和空间形式的本质属性在人们头脑中的反映。学生数学知识的掌握和数学能力的形成都是以数学概念为基础的，学生只有掌握了数学概念，才能对现实世界的空间形式和数量关系作出正确的概括和陈述。数学概念的学习是数学学习的核心，教师帮助学生理解和掌握数学概念，并以此为前提强化学生的逻辑思维，促进学生数学能力的提高，均是数学教学的重要任务。
昆明市西山区书林二小数学教研组针对目前数学概念教学中存在的违反小学生思维特点，忽视数学概念的形成；分割数学概念间的联系，忽视概念的同化；分离数学概念与现实生活的联系，忽视数学概念的运用等问题，开展了深入探讨小学数学概念教学的专题校本教研活动。这次活动理论联系实际，以课例研究和讨论交流的形式，探讨数学概念课如何根据小学生掌握数学概念的心理特点，遵循小学生的认知规律，运用灵活的教学方法，加强数学概念教学。本刊记者参加这次研讨活动，现把研讨活动中的两节数学概念教学研究课的教学设计、课堂实录及评析，以及讨论交流的内容摘要刊发，旨在与广大教师交流概念教学的研究和经验。
严冰(校长、小学高级教师)：今天，我们学校数学组全体老师围绕如何改进小学数学概念教学这一主题展开平等对话，深入探讨，很有意义。这一研究主题是老师们通过不断的实践、反思和深入的观察、分析提出的，具有较强的针对性，是我校教研活动不断深化的体现。新一轮课程改革的过程不是教师按照专家设计的蓝图进行施工的过程，而是一个开放的、民主的、科学的探索过程，教学方式、学习方式到底怎么改，没有现成的答案，也没有可供遵循的模式，课程改革实验中遇到的问题要靠全校教师在实践中探索和解决。在这个过程中，教师要以主人的身份，带着疑问与困惑进行理性思考，自觉改进教学实践，不断提高教学水平和专业能力。作为校本教研第一责任人的校长，我理应为大家创设宽松和谐的研究氛围，但更重要的是要逐步建立和完善以校为本的教研制度，这样才能保证校本教研持续、健康地开展。下面请教导主任主持这次校本教研活动。
邓映红(教导主任、小学高级教师)：我校在开展“以校为本”教研活动中始终注意抓好三个方面的工作。一是鼓励教师对自己的教学实践及周围的教学现象进行反思，从中发现问题，教学实践中存在的问题就是校本教研的主题。如何抓好概念教学，是我校数学教师通过对教学实践的反思提出的亟待解决的问题，深入探讨并逐步解决这个问题，对提高我校数学教师的整体素质具有现实意义。二是倡导教师之间的合作与交流。为了提高这次校本教研的实效性，我们请两位教师上了研究课，在此基础上全体数学老师进行交流，使教师的教学得到反馈，教研主题更加突出。三是专家引领。这次活动有数学特级教师和教育刊物的专业编辑参加，这就使我们的活动更具研究性，老师们可以从对教学现象的分析上升到理性认识，避免教研活动在同一水平上重复。下面请各位老师进行交流。
概念教学中的引入策略
樊成玲(小学高级教师)：学好概念是学好数学最重要的一环。概念引入是概念教学的第一步，它是新概念形成的基础，直接关系到学生对概念的接受和理解。好的概念引入能使学习目标明确呈现出来，能激发学生的学习兴趣及探究愿望，把学习新知的压力变为探求新知的动力。就这个问题谈一点教学中的体会。
1 联系生活引入概念。张莺老师在进行“克、千克的认识”教学时，联系学生熟悉的生活事例提出问题，形象直观地引入概念。首先课件出示商场画面，继而显示教师带着全班同学去“逛超市”。了解到“一瓶豆油重5千克”、“一包饼干重110克”，初步感知千克、克是质量单位。接着引导学生思考：为什么同是质量单位，有的用克，而有的用千克作单位?到底1克有多重，一千克又有多重?这样引入概念符合儿童的认知规律，使学生获得了感性识，激发了学生的好奇心、求知欲，为新概念的形成奠定了基础。
2 故事激趣引入概念。创设故事，情境引入概念，能激发学生学习的主动性。例如，在教学“比较分数大小”时，我先出示一幅“农村田野图”，然后讲述故事：兔子白白和灰灰看到农民在地里忙碌，就蹦着跳着来到地里帮拔萝卜，虽然很累，但很高兴。这时来了一只小熊：“呀!你们俩真能干!灰灰，你拔了几个萝卜?白白呢?”白白笑眯眯地说：“我拔了这堆萝卜的2/6，灰灰拔了1/3。”小熊听了一脸茫然。同学们，你们知道谁拔得多吗?在学生的争论中，教师揭示课题：“比较分数大小”。这样使学生课始就进入学习的最佳状态，取得事半功倍的效果。
3 操作实践引入概念。通过看一看、画一画、摆一摆、量一量等方法，使抽象概念形象化、具体化，从而引入概念。例如，教学“有余数的除法”时，让学生两人一小组摆图片。先把12个圆片平均分成两份，学生分得很快，每份摆6个，再让学生把11个图片平均分成2份，学生感到困难了，每份放5个，多一个，每份放6个，又少一个。在学生摆学具产生困惑时，教师先指出：生活中，我们常碰到平均分一些东西，且分到最后有剩余，这就是我们今天要学习的“有余数的除法”。而后让学生动手实践，对分的结果有了充分的感知，建立了“有余数的除法”的观念，为新概念的形成奠定了基础。
吴巧琼(小学一级教师)：概念教学的引入直接关系到学生对概念的理解和掌握。在教学中，我主要从以下几个方面引入概念的学习。
1 联系生活实际引入新概念。小学生年龄小，其心理特征是容易接受和理解直观和感性的知识，我运用联系实际引入概念的方法，逐步培养学生的抽象、概括能力力。即利用儿童生活实际中所熟悉的一些事物或事例，从对它们的知觉和表象中获得感性认识，从而引入数学既念的学习。例如，学习圆的队识，先让学生举出生活中的圆形物体(硬币、钟面、饼干、车轮等)，然后根据生活中最常见的物体自行车来讨论自行车的车轮为什么是圆的，引导学生把生活中的事例转化为数学问题，最后揭示概念的本质特征。这样引入数学概念不仅激发了学生的求知欲。而且让学生感觉到数学来自于现实生活。
2 利用直观材料引入新概念。采用教具、模型、图表、图画演示及投影等直观材料和手段引入新概念。如“面积”的教学，课始教师就让学生通过观察一元和一角的硬币，说出谁大谁小，再让他们观察书上的图，通过比较，知道物体的表面和封闭平面图形有大有小，建立对面积的初步认识，进而概括出面积的概念。
3 从已有概念中引出新概念。有些新学概念，与原有概念有一定的内在联系，我们只需从已学过的有关概念中加以引申、推导，便可导出新的概念。例如，在教学一个数乘以分数 的意义时，我首先让学生复习旧知识：“一堆苹果有6个，3堆共有几个?”得到算式：6×3，概括出数量关系式：一堆苹果数×堆数＝共有苹果数，接着请学生思考：1/2堆苹果有多少个?1/3堆苹果有多少个7得到算式：6×1/2 6×1/3。由此引入“一个数乘以分数的意义”的学习。又如，在进行“整除”概念的教学时，我先出示一组除法算式让学生算出结果：15÷3=524÷0.8=30 1.4÷2=0.7 15÷7=2……1 24÷8=3 3÷5=0.6 26÷0.13=20080÷20=4 3.6÷0.9=4 91÷7=1316÷3=5……1 24÷4=6 15÷2=7.52.4÷0.8=3 5÷3=1……2 48÷6=887÷29=3 3÷0.5=6，要求学生按看、想、分、查4个步骤把这些除法算式分成可除尽与不可除尽两类。接着要求学生把可除尽的那些算式按商是整数及商是小数分类，最后得到被除数、除数和商都是整数的算式：15÷3=5；24÷8=3；80÷20=4；91÷7=13；24÷4=6；48÷6=8；87÷29=3。通过逐次分类，学生对上述7道题的特性有了较充分的感知，再进一步引入到“整除”的本质属性的探讨中。引入新概念的方法有很多，教师应根据各种概念的特点，选择合适的方法引入概念的探讨。
评点：“联系学生生活实际引入新概念”是新课程的基本理念之一，其基本特点是最大限度地唤起学生的已有生活经验，使经验变为学生学习的动力或直接转化为学习的基础，从而使学生能理解新概念，如教学“射线”，让学生联想手电筒射出的光。“从已有概念中引出新概念”的特点是在学生已有概念的基础上，进行概念的判断与推理，形成清晰的表象，通过进一步抽象概括，从而建立新的概念。上例中“整除”的认识是典型的教例。
引入概念的方法很多，无论采用哪种方法。都要注意围绕本节课的教学內容，结合学生的心理特点和认知规律，做到新颖有趣，自然贴切，能够最大限度地激发学生的学习兴趣和求知欲望。值得注意的是有时需要几种方法配合使用。
抽象概括和理解掌握数学概念的策略
马燕(小学高级教师)：实践体验既是学生认识概念、理解概念、掌握新知的重要途径，又是促进学生积极参与认知活动和培养学生探究能力的重要方法和手段。促进学生对概念理解和掌握的途径有：
1 操作实践，理解概念中关键词语的真实含义。动手实践就是把学生放在主体地位，让学生直接参与到知识的形成过程之中，亲身体验数学知识的发生、发展和形成，进而更好地理解数学知识，并把所学知识运用到实际生活中，在运用中加深对概念的理解。学完“分数的初步认识”后，教师让学生分出一张圆纸片的1/2，1/4，1/8上等，并说一说是怎样分的?平均分成了几份?要表示几份，用分数表示就是?/?。再让学生动手折纸(正方形或长方形纸片)：折出纸片的1/2、1/4、1/8，多种多样的折法加深了学生对分数的认识，使学生理解了不管是什么图形，也不管怎样折，只要是平均分成几份，一份就是几分之一。随后，我出了一道判断题：“把一个苹果分成6份，1份计是1/6”。学生很快判断出，因为没有“平均分”，所以不能用分数表示，突出“平均分”这一关键词，强化“平均分”这一条件，加深对“平均匀分”含义的认识，巩固对分数意义的理解。
2 运用例证，突出概念的主要特征。学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定例证来促进学生对概念的辨析。如教完三角形按角分类后，可以出示：“一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。”让学生进行分析判断，以深化对三角形这一概念外延的认识。
3 对比分析，区别易混概念。如周长和面积是两个极易混淆的概念，就要把这两个概念进行比较、辨析。教师给每个学生准备一张表格让学生摸一摸、想一想、填一填。
通过对比，深刻理解周长实际是一条线段，面积是一个平面。
评点：“对易混概念进行对比、分析，加以区别”，这是数学概念教学的一种基本教法，即时一些容易混淆的概念，在教学中注意指导学生进行比较、辨析，在教学“面积”时，引导学生对周长和面积这两个概念应从以下几个方面进行对比、区别：(1)意义不同；(2)计算方法不同；(3)使用单位不同。这样加深对面积概念的理解。
吴春晖(小学高级教师)：波利亚说：“学习任何知识的最佳途径都是由自己发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系。”因此，教师教学时不宜把结沦直接告诉学生，而应创设一个实践活动环境，让学生动手实践，培养学生手脑结合的能力，使学生在主动参与知识的形成过程中学会新的知识。例如，在教学“梯形的面积计算公式”时，我让学生借鉴平面图形面积公式的推导方法，把梯形转化成以前学过的图_形。学生通过剪一剪、拼一拼，自己动手把梯形拼成了平行四边形或长方形，即先沿着中位线把梯形分成两部分，然后旋转，拼成了一个平行四边形……再引导学生找出拼成的图形与原来的梯形各部分之间的关系，最后让学生自己推导出梯形的面积计算公式。这样，使学生感受到了探究的乐趣，激发了学生学习的积极性。
评点：上文所述的是培养学生初步的抽象概括能力的一种方法：重视表象作用，培养抽象概括能力。推导梯形面积计算公式，课中教师引导学生思考：1把梯形转化成一个学过的图形应怎样拼?2 拼成的图形是什么图形?如果是拼成平行四边形，则引导学生思考：拼成的这个平行四边形的底、高与原梯形的上下底、高有什么关系。学生通过观察能判断出平行四边形的底就是原梯形上底与下底的和，高就是原梯形的高。通过这样条理清晰的引导，使学生对梯形拼成后的图形的特征、变化过程和各种因素的关系有了全面的感性认识。头脑中存留梯形拼成平行四边形及两者的底、高的关系。在此基础上进行分析综合，从认识梯形的外部属性向本质属性转化，逐步抽象概括出梯形的面积计算公式。
李娴(昆明市学科带头人、小学高级教师)：田莉莎老师执教的“字母表示数”有以下特点：1 关注数学与生活的密切联系。当数学与学生的现实生活密切联系时，数学才是鲜活的，富有生命力的。课始田老师从学生熟悉的生活情境导人，介绍字母在生活中的应用，把枯燥的数学与多彩的生活联系起来，唤起了学生已有的生活经验，激发了学生进一步学习的欲望。2 重视学生的体验学习。数学课程标准指出：“要让学生参与特定的数学活动，在具 体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验。”田老师通过让学生观察三角形的个数与所摆小棒根数的关系和猜老师年龄与学生年龄之间的关系等几个数学活动，让学生体验字母不仅可以表示数，还可以表示数量关系，全面理解了概念的本质特征。又通过练习，尤其是对“青蛙歌”的拓展练习，巩固了所学知识。数学概念是客观世界中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，是数学知识的基石。学生的计算能力，初步的逻辑思维能力，都是以概念的掌握为前提。数学概念往往比较抽象。逻辑性强，且容易遗忘、混淆，学生难以接受，更谈不上灵活运用。那么，如何让学生真正掌握数学概念呢?我的一些粗浅体会是：
由于概念的形成与同化主要依赖于对感性材料的抽象及对知识经验的概括，因此，感性材料和知识经验是影响概念学习的重要因素。为此，在概念教学中要注意让学生积累丰富的感性材料，唤起学生的已有经验，为学生搭建一个“体验的平台”。如，在“秒的认识”教学中，通过让学生看交通信号红绿灯及新年钟声敲响前倒计时录像、观察秒针走动、听秒针的滴答声等体验活动，帮助学生建立1秒、10秒的时间表象，再通过测试学生的活动时间，体验10秒、15秒、30秒等时间长短，逐步建立起秒的概念。再如，教学“毫米”的认识，首先让学生在尺子上找到1毫米，感受1毫米的长度，再通过找一找、量一量等活动(量电话卡、1元硬币、10张纸的厚度)，全方位、多层次地感受、体验、描述1毫米，从而真正理解1毫米的概念，使学生在亲身体验与感受中，把握概念的本质特征，从而牢固掌握所学概念。
数学课程标准指出：“教师应重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学。”因此，教学中，教师要注意从学生的实际经验出发，引导学生回顾已有的知识经验，从而领会所学概念的本质属性。如，在教学“负数的意义”时，引导学生从观察温度计、上下电梯、海平面等具体情境中认识具有相反意义的量可以分别用正数、负数来表示，如+5℃、-55℃等，加深对“相反意义的量可以用正负数表示”的认知体验，加深对正、负数意义的理解。
概念教学不能只是停留在对抽象定义的讲解上，对一些基本的概念，教学时一定要找准定义的本质特点。如，教学“平行与相交”，我首先让学生观察想象生活中各种平行或垂直的现象，如铁路的铁轨，高速公路两侧的树木……使学生初步感受平面上的两条直线不相交是平行线的本质特点，为深入理解平行线的概念打好基础。
有效的数学活动是学生多种感官参与的活动，既是学生获取数学知识的过程，又是学生发展思维，提高交流表达能力的过程，在有效的学习活动中学到的概念才会牢固，学生也才能真正地理解、掌握和运用。如，在教学“正比例的意义”时，我引导学生通过对正方形的周长与边长的变化规律、正方形的边长与面积的变化规律的探讨，以及对表、图、数据的观察交流及描述，多角度地理解成正比例的量的含义，从正例与反例的对比中，加深了对正比例的理解。
杨萍(小学一级教师)：数学源于生活，生活中充满了数学。数学教学应该联系生活，并运用于生活之中。在人们的生活中经常涉及许多数学概念，如：平均数、相交、平面、体积、轴对称、比例、百分率、面积等。教学中，教师要为学生创设应用概念的条件，给学生实践的机会，学生只有在理解、掌握了概念的基础上，才能自觉运用知识去分析和解决生活中的实际问题，才能深刻体验数学的价值和力量。
例如，在学习了正负数的知识后，可以让学生找一找正负数在生活中实际应用的例子，学生很快就说出坐电梯时，升5层记作+5，升3层记作+3，到地下一层记作-1。学生还会说出玩电脑游戏“红心大战”时，赢10分记作+10，输8分记作-8，不输不赢记作0。学生还会想到班级评比时，表现好加分记作+1，表现差被扣分记作-1等等。学生借助生活经验，自然而然体验到了学习数学的价值。加深了对概念的理解。
学习了比例尺的知识后，可让学生按比例尺画一画自己家的平面图，或设计一节数学活动课。如(下图)要从寻座山坡上引泉水进村子，请际计算一下，安装这根水管至少需要多少钱。
计算中涉及用比例尺的知识计算出实际要多少米水管，再根据每米水管的价钱计算出材料、安装费等合多少钱。通过计算，学生体会到数学解决生活中实际问题的价值。同时，还可向学生介绍房屋设计、工程图纸的绘制都离不开比例尺；公安人员凭借一般人的身高与脚长的比例是7:1这一原理，根据罪犯的脚印就可以算出罪犯的身高，为侦破提供依据等。通过这些实例，让学生充分感受到生活需要数学。教学中引导学生用所学的概念处理并解决生活中的简单问题，既能让学生深刻体会数学的价值和魅力，又培养了学生的应用意识和能力。
评点：在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象形成概念；又要让学生由抽象到具体运用概念。通过概念的实际运用，可以加深学生对数学概念的理解，养成“数学思考”的习惯。
车颖青(小学高级教师)：数学概念是构成数学知识的基础。概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，小学生计算能力的提高，空间观念的形成，逻辑思维能力的培养都是以基本概念为基础的，只有加强数学概念的教学，才能使学生进一步掌握数学知识，培养数学能力。
小学数学知识与学生生活有着密切的联系，结合学生的生活经验和已有的知识来创设有效的教学情境，可以激发学生探求数学概念的欲望。例如教学“位置”一课时，我选用学生自己的教室创设现实情境，引导学生探索新知。师：小朋友们看，这是老师拍下的我们班教室的座位，谁能够从照片上找到自己的座位?生1：我的座位在这里。生2：这是我的座位。师：能告诉大家你是怎么知道的吗?生1：我是从左往右数第三行，队前往后数是第三个。生2：我是最后一排第一个。师：你能数数一共有几行?每行有多少^吗?生：一共有8行，每行有6人。师：谁能告诉大家，我们班的“体育冠军”坐在第几行第几个座位?生1：从左往右数第一行，从前往后数第二个。生2：从右往左数第八行，从后往前数第六个。用学生身边的现实情境引入数学概念，学生学习主动性强，学习热比高，真切地体会到数学与生活同在。
数学中有许多内容都是从具体生活中抽象出来的。因此，在教学中应该充分联系学生的生活实际，运用直观的板书、演示、操作等方式展示数学概念的形成过程，进行数学概念的抽象概括。
例如“圆周率”的教学，可在课前布置每个学生用硬纸制作一个圆。上课时，让学生动手操作，并在作业本上写出：(1)自己做的圆的直径；(2)滚动自己制作的圆，量出圆滚动一周的长度；(3)计算圆的周长是直径的 几倍。全班汇报计算的结果时，教师随之进行如下板书：
直径(厘米)周长(厘米)周长是直径的几倍
A 2 6.2 3.1
B 3 9，6 3.2
C 4 12.6 3.15
D 5 15.7 3.14
然后引导学生分析发现：不论圆大或是圆小，在同一个圆里它的周长总是直径的3倍多一点。再进一步揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率。这样，引导学生把大量的感性材料加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时使用的单位等)，抓住本质特征(同一个圆的周长总是直径的3倍多一点)，形成圆周率的概念。
运用直观教学并不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手段。因此，概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性认识后，要对所观察的事物进行抽象概括，揭示概念的本质属性，使认识产生飞跃，从感性认识上升到理性认识，形成概念。
杨冬梅(小学高级教师)：建构主义学习理论认为，学习是学生主动建构意义的过程。作为学习活动主体的学生，是具有丰富个性的能动主体，不同的学生对新知识产生不同的理解和建构。而合作学习不仅可以使学生相互间实现信息与资源的整合，不断扩展和完善自我认知，而且可以使学生学会交往，学会参与，学会倾听，学会尊重他人。因此，在数学概念教学中适时地开展合作学习，可以使学生对概念的理解更为深刻和全面，有利于学生思维的发展。
如在教学“长方体的认识”时，可让学生对长方体的棱、面、顶点的特征进行初步直观的感知和探索。学生通过感知，有的发现长方体有8个顶点、12条棱；有的发现相对的棱长度相等；有的发现长方体有6个面，相对面的面积相等，且6个面都是长方形；有的发现也有可能其中两个面是正方形。在此基础上，让学生将各自探索的成果在小组内进行交流，学生通过相互交流，思维得到了启发，认识更加全面，进一步深化了对长方体的认识，并抽象概括出长方体的特征。在合作交流过程中，学生相互学习、相互启发，思维得到了进一步的发展。
又如，在教学“中位数”时，可先让学生各自说说自己对“中位数”这一概念的理解及收集到的有关“中位数”的信息。这时有的学生说，“中位数”就是一组数据中的中间那个数。有的说，这组数据应该按从小到大的顺序排列。有的说，不单可以按从小到大的顺序排列，也可以按从大到小的顺序排列。有的还说，如果这组数据的个数是偶数时，中间的数有两个，这组数据的中位数应该是这两个数的平均数。当大家各抒己见，对“中位数”的理解不能达成共识时，教师可及时组织学生就“什么是中位数及怎样求一组数据的中位数”进行探讨：当一组数据的个数是奇数时怎样找中位数，当一组数据的个数是偶数时，又如何求中位数。学生经过交流，相互补充，相互启发，对中位数的认识也更加全面和深入，思维也更加严密，初步实现了从感性认识到理性认识的提升。
《数学课程标准(实验稿)》在基本理念中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学概念、性质、定理等具有高度的抽象性和概括性，对于抽象思维还处在萌芽状态的小学生来讲，如果让他们直接理解概念，肯定会存在很大困难，所以在数学教学中，特别是概念教学中，学生以小组形式合作交流尤为重要。
首先，在操作探究活动中，由于学习材料一般做不到人手一份，一些步骤一人无法完成，所以需要全组同学分工协作。其次，在操作探究活动中，不同学生各有所长，为共同实现解决问题的目的，他们可以用自己擅长的方式(如操作、画图、推理、列表等)来做，优势互补，凝聚集体的智慧，容易展示问题的解决过程。第三，学生经历上述过程后，每个人已有了不同收获，在此环节，教师一定要给学生独立思考的时间，否则，一些学生人云亦云，丧失思维的主动陸，养成依赖性，只有经过独立思考，接下来的交流讨论才具有实效陸。第四，在讨论中要教育学生学会“倾听”，认真听取别人的意见；要敢于开口“交流”，发表自己的看法并对别人的意见进行评价和补充。
需要注意的是，合作学习小组成员的组成要注意个体差异的搭配，以学生之间能互补为佳，尽量实现生生互动，“人人教我，我教人人”。此外，还要注意合作对象的广泛性，在单元教学中，学生课内课外合作的伙伴可以是老师、同学、家长以及其他任何人，这有利于学生开阔视野，学会与人相处。
王万喜(特级教师、书林二小教研指导专家)：目前，概念教学中比较突出的问题是没有“理解”这一教学环节。例如，教学厘米的认识时，只是让学生知道“小尺子上两个连续数间的长就是1厘米”就完了；教学定义型的概念时，读一读书上的定义就了事。学生不理解数学概念，就不能形成数学方法，就不能正确运用数学概念解决问题。没有“理解”环节的数学概念课不是一节完整的课。因为学生没有参与概念的形成过程，没有体验、领悟概念的形成，就不能真正理解和掌握所学概念。那么，怎样引导学生理解数学概念呢?
对于一些非定义型的概念，可以运用实例帮助学生理解。例如，认识了小尺子上的1厘米后，再让学生在身边寻找1厘米长的东西，以加深学生对1厘米的认识；学习“长方形的认识”时，当学生知道了一张长方形纸的表面是“长方形”后，再让学生举一些长方形的实例，如课本面、课桌面、黑板面、教室地面……以加深对长方形的认识。
对于定义型的概念，“理解”的环节采用的方法主要有：
1 认真揭示概念的内涵，也就是把定义中的本质特征找出来。例如，在质数的定义里，“只有1和它本身两个因数”是其本质特征；在半径的定义里，“圆心与圆上的点联结的线段”是其本质特征。有的教师是通过找定义的条件、关键词等来揭示概念的内涵，学生更容易理解。例如，质数定义里的条件是“只有1和它本身两个因数”，没有别的因数，关键词语是“只有”。这就为判断质数提供了方法。又如，半径定义里的条件是“一个端点在圆心，一个端点在圆上，是线段”。这同样为判断圆的半径提供了方法。
2 认真揭示概念的外延，把握具有概念本质特征的全体。例如，具有平行四边形本质特征“两组对边分别平行”的还包括长方形、正方形、菱形。有的教师常常引导学生分析、对比互相关联的概念的异同，也是一个好方法，这有助于发展学生的思维能力。例如，练习册上有这样一道题：“长方体最多有几个相同。”知道长方体和正方体的关系的学生就会答：“6个。”
3 区别容易混淆的概念，加深对新概念本质特征的认识。例如，教学体积单位后，将其与长度单位、面积单位作比较。有的教师采用从反面揭示概念本质特征的方法，通过“变式”题揭示概念的本质特征等。
4 运用概念解决问题。在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象形成概念，又要让学生由抽象到具体运用概念。运用概念的主要形式是练习，这是促使学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要方法，无论是课内练习还是课外练习，其内容都要紧扣教学目标，难易适度，形式多样。既要有运用新学概念的单一性练习，也要有运用多个概念的综合性和发展性练习。
如果能够在形成概念的主要教学环节“引进——认识(理解)——巩固(深化)——运用”中恰当运用数学方法把概念学教“活”，便可优化概念教学，使教学改革再上一个新台阶。
责任编辑：胡广明
昆明市西山区书林二小数学教研组针对目前数学概念教学中存在的违反小学生思维特点，忽视数学概念的形成；分割数学概念间的联系，忽视概念的同化；分离数学概念与现实生活的联系，忽视数学概念的运用等问题，开展了深入探讨小学数学概念教学的专题校本教研活动。这次活动理论联系实际，以课例研究和讨论交流的形式，探讨数学概念课如何根据小学生掌握数学概念的心理特点，遵循小学生的认知规律，运用灵活的教学方法，加强数学概念教学。本刊记者参加这次研讨活动，现把研讨活动中的两节数学概念教学研究课的教学设计、课堂实录及评析，以及讨论交流的内容摘要刊发，旨在与广大教师交流概念教学的研究和经验。
严冰(校长、小学高级教师)：今天，我们学校数学组全体老师围绕如何改进小学数学概念教学这一主题展开平等对话，深入探讨，很有意义。这一研究主题是老师们通过不断的实践、反思和深入的观察、分析提出的，具有较强的针对性，是我校教研活动不断深化的体现。新一轮课程改革的过程不是教师按照专家设计的蓝图进行施工的过程，而是一个开放的、民主的、科学的探索过程，教学方式、学习方式到底怎么改，没有现成的答案，也没有可供遵循的模式，课程改革实验中遇到的问题要靠全校教师在实践中探索和解决。在这个过程中，教师要以主人的身份，带着疑问与困惑进行理性思考，自觉改进教学实践，不断提高教学水平和专业能力。作为校本教研第一责任人的校长，我理应为大家创设宽松和谐的研究氛围，但更重要的是要逐步建立和完善以校为本的教研制度，这样才能保证校本教研持续、健康地开展。下面请教导主任主持这次校本教研活动。
邓映红(教导主任、小学高级教师)：我校在开展“以校为本”教研活动中始终注意抓好三个方面的工作。一是鼓励教师对自己的教学实践及周围的教学现象进行反思，从中发现问题，教学实践中存在的问题就是校本教研的主题。如何抓好概念教学，是我校数学教师通过对教学实践的反思提出的亟待解决的问题，深入探讨并逐步解决这个问题，对提高我校数学教师的整体素质具有现实意义。二是倡导教师之间的合作与交流。为了提高这次校本教研的实效性，我们请两位教师上了研究课，在此基础上全体数学老师进行交流，使教师的教学得到反馈，教研主题更加突出。三是专家引领。这次活动有数学特级教师和教育刊物的专业编辑参加，这就使我们的活动更具研究性，老师们可以从对教学现象的分析上升到理性认识，避免教研活动在同一水平上重复。下面请各位老师进行交流。
概念教学中的引入策略
樊成玲(小学高级教师)：学好概念是学好数学最重要的一环。概念引入是概念教学的第一步，它是新概念形成的基础，直接关系到学生对概念的接受和理解。好的概念引入能使学习目标明确呈现出来，能激发学生的学习兴趣及探究愿望，把学习新知的压力变为探求新知的动力。就这个问题谈一点教学中的体会。
1 联系生活引入概念。张莺老师在进行“克、千克的认识”教学时，联系学生熟悉的生活事例提出问题，形象直观地引入概念。首先课件出示商场画面，继而显示教师带着全班同学去“逛超市”。了解到“一瓶豆油重5千克”、“一包饼干重110克”，初步感知千克、克是质量单位。接着引导学生思考：为什么同是质量单位，有的用克，而有的用千克作单位?到底1克有多重，一千克又有多重?这样引入概念符合儿童的认知规律，使学生获得了感性识，激发了学生的好奇心、求知欲，为新概念的形成奠定了基础。
2 故事激趣引入概念。创设故事，情境引入概念，能激发学生学习的主动性。例如，在教学“比较分数大小”时，我先出示一幅“农村田野图”，然后讲述故事：兔子白白和灰灰看到农民在地里忙碌，就蹦着跳着来到地里帮拔萝卜，虽然很累，但很高兴。这时来了一只小熊：“呀!你们俩真能干!灰灰，你拔了几个萝卜?白白呢?”白白笑眯眯地说：“我拔了这堆萝卜的2/6，灰灰拔了1/3。”小熊听了一脸茫然。同学们，你们知道谁拔得多吗?在学生的争论中，教师揭示课题：“比较分数大小”。这样使学生课始就进入学习的最佳状态，取得事半功倍的效果。
3 操作实践引入概念。通过看一看、画一画、摆一摆、量一量等方法，使抽象概念形象化、具体化，从而引入概念。例如，教学“有余数的除法”时，让学生两人一小组摆图片。先把12个圆片平均分成两份，学生分得很快，每份摆6个，再让学生把11个图片平均分成2份，学生感到困难了，每份放5个，多一个，每份放6个，又少一个。在学生摆学具产生困惑时，教师先指出：生活中，我们常碰到平均分一些东西，且分到最后有剩余，这就是我们今天要学习的“有余数的除法”。而后让学生动手实践，对分的结果有了充分的感知，建立了“有余数的除法”的观念，为新概念的形成奠定了基础。
吴巧琼(小学一级教师)：概念教学的引入直接关系到学生对概念的理解和掌握。在教学中，我主要从以下几个方面引入概念的学习。
1 联系生活实际引入新概念。小学生年龄小，其心理特征是容易接受和理解直观和感性的知识，我运用联系实际引入概念的方法，逐步培养学生的抽象、概括能力力。即利用儿童生活实际中所熟悉的一些事物或事例，从对它们的知觉和表象中获得感性认识，从而引入数学既念的学习。例如，学习圆的队识，先让学生举出生活中的圆形物体(硬币、钟面、饼干、车轮等)，然后根据生活中最常见的物体自行车来讨论自行车的车轮为什么是圆的，引导学生把生活中的事例转化为数学问题，最后揭示概念的本质特征。这样引入数学概念不仅激发了学生的求知欲。而且让学生感觉到数学来自于现实生活。
2 利用直观材料引入新概念。采用教具、模型、图表、图画演示及投影等直观材料和手段引入新概念。如“面积”的教学，课始教师就让学生通过观察一元和一角的硬币，说出谁大谁小，再让他们观察书上的图，通过比较，知道物体的表面和封闭平面图形有大有小，建立对面积的初步认识，进而概括出面积的概念。
3 从已有概念中引出新概念。有些新学概念，与原有概念有一定的内在联系，我们只需从已学过的有关概念中加以引申、推导，便可导出新的概念。例如，在教学一个数乘以分数 的意义时，我首先让学生复习旧知识：“一堆苹果有6个，3堆共有几个?”得到算式：6×3，概括出数量关系式：一堆苹果数×堆数＝共有苹果数，接着请学生思考：1/2堆苹果有多少个?1/3堆苹果有多少个7得到算式：6×1/2 6×1/3。由此引入“一个数乘以分数的意义”的学习。又如，在进行“整除”概念的教学时，我先出示一组除法算式让学生算出结果：15÷3=524÷0.8=30 1.4÷2=0.7 15÷7=2……1 24÷8=3 3÷5=0.6 26÷0.13=20080÷20=4 3.6÷0.9=4 91÷7=1316÷3=5……1 24÷4=6 15÷2=7.52.4÷0.8=3 5÷3=1……2 48÷6=887÷29=3 3÷0.5=6，要求学生按看、想、分、查4个步骤把这些除法算式分成可除尽与不可除尽两类。接着要求学生把可除尽的那些算式按商是整数及商是小数分类，最后得到被除数、除数和商都是整数的算式：15÷3=5；24÷8=3；80÷20=4；91÷7=13；24÷4=6；48÷6=8；87÷29=3。通过逐次分类，学生对上述7道题的特性有了较充分的感知，再进一步引入到“整除”的本质属性的探讨中。引入新概念的方法有很多，教师应根据各种概念的特点，选择合适的方法引入概念的探讨。
评点：“联系学生生活实际引入新概念”是新课程的基本理念之一，其基本特点是最大限度地唤起学生的已有生活经验，使经验变为学生学习的动力或直接转化为学习的基础，从而使学生能理解新概念，如教学“射线”，让学生联想手电筒射出的光。“从已有概念中引出新概念”的特点是在学生已有概念的基础上，进行概念的判断与推理，形成清晰的表象，通过进一步抽象概括，从而建立新的概念。上例中“整除”的认识是典型的教例。
引入概念的方法很多，无论采用哪种方法。都要注意围绕本节课的教学內容，结合学生的心理特点和认知规律，做到新颖有趣，自然贴切，能够最大限度地激发学生的学习兴趣和求知欲望。值得注意的是有时需要几种方法配合使用。
抽象概括和理解掌握数学概念的策略
马燕(小学高级教师)：实践体验既是学生认识概念、理解概念、掌握新知的重要途径，又是促进学生积极参与认知活动和培养学生探究能力的重要方法和手段。促进学生对概念理解和掌握的途径有：
1 操作实践，理解概念中关键词语的真实含义。动手实践就是把学生放在主体地位，让学生直接参与到知识的形成过程之中，亲身体验数学知识的发生、发展和形成，进而更好地理解数学知识，并把所学知识运用到实际生活中，在运用中加深对概念的理解。学完“分数的初步认识”后，教师让学生分出一张圆纸片的1/2，1/4，1/8上等，并说一说是怎样分的?平均分成了几份?要表示几份，用分数表示就是?/?。再让学生动手折纸(正方形或长方形纸片)：折出纸片的1/2、1/4、1/8，多种多样的折法加深了学生对分数的认识，使学生理解了不管是什么图形，也不管怎样折，只要是平均分成几份，一份就是几分之一。随后，我出了一道判断题：“把一个苹果分成6份，1份计是1/6”。学生很快判断出，因为没有“平均分”，所以不能用分数表示，突出“平均分”这一关键词，强化“平均分”这一条件，加深对“平均匀分”含义的认识，巩固对分数意义的理解。
2 运用例证，突出概念的主要特征。学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定例证来促进学生对概念的辨析。如教完三角形按角分类后，可以出示：“一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。”让学生进行分析判断，以深化对三角形这一概念外延的认识。
3 对比分析，区别易混概念。如周长和面积是两个极易混淆的概念，就要把这两个概念进行比较、辨析。教师给每个学生准备一张表格让学生摸一摸、想一想、填一填。
通过对比，深刻理解周长实际是一条线段，面积是一个平面。
评点：“对易混概念进行对比、分析，加以区别”，这是数学概念教学的一种基本教法，即时一些容易混淆的概念，在教学中注意指导学生进行比较、辨析，在教学“面积”时，引导学生对周长和面积这两个概念应从以下几个方面进行对比、区别：(1)意义不同；(2)计算方法不同；(3)使用单位不同。这样加深对面积概念的理解。
吴春晖(小学高级教师)：波利亚说：“学习任何知识的最佳途径都是由自己发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系。”因此，教师教学时不宜把结沦直接告诉学生，而应创设一个实践活动环境，让学生动手实践，培养学生手脑结合的能力，使学生在主动参与知识的形成过程中学会新的知识。例如，在教学“梯形的面积计算公式”时，我让学生借鉴平面图形面积公式的推导方法，把梯形转化成以前学过的图_形。学生通过剪一剪、拼一拼，自己动手把梯形拼成了平行四边形或长方形，即先沿着中位线把梯形分成两部分，然后旋转，拼成了一个平行四边形……再引导学生找出拼成的图形与原来的梯形各部分之间的关系，最后让学生自己推导出梯形的面积计算公式。这样，使学生感受到了探究的乐趣，激发了学生学习的积极性。
评点：上文所述的是培养学生初步的抽象概括能力的一种方法：重视表象作用，培养抽象概括能力。推导梯形面积计算公式，课中教师引导学生思考：1把梯形转化成一个学过的图形应怎样拼?2 拼成的图形是什么图形?如果是拼成平行四边形，则引导学生思考：拼成的这个平行四边形的底、高与原梯形的上下底、高有什么关系。学生通过观察能判断出平行四边形的底就是原梯形上底与下底的和，高就是原梯形的高。通过这样条理清晰的引导，使学生对梯形拼成后的图形的特征、变化过程和各种因素的关系有了全面的感性认识。头脑中存留梯形拼成平行四边形及两者的底、高的关系。在此基础上进行分析综合，从认识梯形的外部属性向本质属性转化，逐步抽象概括出梯形的面积计算公式。
李娴(昆明市学科带头人、小学高级教师)：田莉莎老师执教的“字母表示数”有以下特点：1 关注数学与生活的密切联系。当数学与学生的现实生活密切联系时，数学才是鲜活的，富有生命力的。课始田老师从学生熟悉的生活情境导人，介绍字母在生活中的应用，把枯燥的数学与多彩的生活联系起来，唤起了学生已有的生活经验，激发了学生进一步学习的欲望。2 重视学生的体验学习。数学课程标准指出：“要让学生参与特定的数学活动，在具 体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验。”田老师通过让学生观察三角形的个数与所摆小棒根数的关系和猜老师年龄与学生年龄之间的关系等几个数学活动，让学生体验字母不仅可以表示数，还可以表示数量关系，全面理解了概念的本质特征。又通过练习，尤其是对“青蛙歌”的拓展练习，巩固了所学知识。数学概念是客观世界中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，是数学知识的基石。学生的计算能力，初步的逻辑思维能力，都是以概念的掌握为前提。数学概念往往比较抽象。逻辑性强，且容易遗忘、混淆，学生难以接受，更谈不上灵活运用。那么，如何让学生真正掌握数学概念呢?我的一些粗浅体会是：
由于概念的形成与同化主要依赖于对感性材料的抽象及对知识经验的概括，因此，感性材料和知识经验是影响概念学习的重要因素。为此，在概念教学中要注意让学生积累丰富的感性材料，唤起学生的已有经验，为学生搭建一个“体验的平台”。如，在“秒的认识”教学中，通过让学生看交通信号红绿灯及新年钟声敲响前倒计时录像、观察秒针走动、听秒针的滴答声等体验活动，帮助学生建立1秒、10秒的时间表象，再通过测试学生的活动时间，体验10秒、15秒、30秒等时间长短，逐步建立起秒的概念。再如，教学“毫米”的认识，首先让学生在尺子上找到1毫米，感受1毫米的长度，再通过找一找、量一量等活动(量电话卡、1元硬币、10张纸的厚度)，全方位、多层次地感受、体验、描述1毫米，从而真正理解1毫米的概念，使学生在亲身体验与感受中，把握概念的本质特征，从而牢固掌握所学概念。
数学课程标准指出：“教师应重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学。”因此，教学中，教师要注意从学生的实际经验出发，引导学生回顾已有的知识经验，从而领会所学概念的本质属性。如，在教学“负数的意义”时，引导学生从观察温度计、上下电梯、海平面等具体情境中认识具有相反意义的量可以分别用正数、负数来表示，如+5℃、-55℃等，加深对“相反意义的量可以用正负数表示”的认知体验，加深对正、负数意义的理解。
概念教学不能只是停留在对抽象定义的讲解上，对一些基本的概念，教学时一定要找准定义的本质特点。如，教学“平行与相交”，我首先让学生观察想象生活中各种平行或垂直的现象，如铁路的铁轨，高速公路两侧的树木……使学生初步感受平面上的两条直线不相交是平行线的本质特点，为深入理解平行线的概念打好基础。
有效的数学活动是学生多种感官参与的活动，既是学生获取数学知识的过程，又是学生发展思维，提高交流表达能力的过程，在有效的学习活动中学到的概念才会牢固，学生也才能真正地理解、掌握和运用。如，在教学“正比例的意义”时，我引导学生通过对正方形的周长与边长的变化规律、正方形的边长与面积的变化规律的探讨，以及对表、图、数据的观察交流及描述，多角度地理解成正比例的量的含义，从正例与反例的对比中，加深了对正比例的理解。
杨萍(小学一级教师)：数学源于生活，生活中充满了数学。数学教学应该联系生活，并运用于生活之中。在人们的生活中经常涉及许多数学概念，如：平均数、相交、平面、体积、轴对称、比例、百分率、面积等。教学中，教师要为学生创设应用概念的条件，给学生实践的机会，学生只有在理解、掌握了概念的基础上，才能自觉运用知识去分析和解决生活中的实际问题，才能深刻体验数学的价值和力量。
例如，在学习了正负数的知识后，可以让学生找一找正负数在生活中实际应用的例子，学生很快就说出坐电梯时，升5层记作+5，升3层记作+3，到地下一层记作-1。学生还会说出玩电脑游戏“红心大战”时，赢10分记作+10，输8分记作-8，不输不赢记作0。学生还会想到班级评比时，表现好加分记作+1，表现差被扣分记作-1等等。学生借助生活经验，自然而然体验到了学习数学的价值。加深了对概念的理解。
学习了比例尺的知识后，可让学生按比例尺画一画自己家的平面图，或设计一节数学活动课。如(下图)要从寻座山坡上引泉水进村子，请际计算一下，安装这根水管至少需要多少钱。
计算中涉及用比例尺的知识计算出实际要多少米水管，再根据每米水管的价钱计算出材料、安装费等合多少钱。通过计算，学生体会到数学解决生活中实际问题的价值。同时，还可向学生介绍房屋设计、工程图纸的绘制都离不开比例尺；公安人员凭借一般人的身高与脚长的比例是7:1这一原理，根据罪犯的脚印就可以算出罪犯的身高，为侦破提供依据等。通过这些实例，让学生充分感受到生活需要数学。教学中引导学生用所学的概念处理并解决生活中的简单问题，既能让学生深刻体会数学的价值和魅力，又培养了学生的应用意识和能力。
评点：在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象形成概念；又要让学生由抽象到具体运用概念。通过概念的实际运用，可以加深学生对数学概念的理解，养成“数学思考”的习惯。
车颖青(小学高级教师)：数学概念是构成数学知识的基础。概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，小学生计算能力的提高，空间观念的形成，逻辑思维能力的培养都是以基本概念为基础的，只有加强数学概念的教学，才能使学生进一步掌握数学知识，培养数学能力。
小学数学知识与学生生活有着密切的联系，结合学生的生活经验和已有的知识来创设有效的教学情境，可以激发学生探求数学概念的欲望。例如教学“位置”一课时，我选用学生自己的教室创设现实情境，引导学生探索新知。师：小朋友们看，这是老师拍下的我们班教室的座位，谁能够从照片上找到自己的座位?生1：我的座位在这里。生2：这是我的座位。师：能告诉大家你是怎么知道的吗?生1：我是从左往右数第三行，队前往后数是第三个。生2：我是最后一排第一个。师：你能数数一共有几行?每行有多少^吗?生：一共有8行，每行有6人。师：谁能告诉大家，我们班的“体育冠军”坐在第几行第几个座位?生1：从左往右数第一行，从前往后数第二个。生2：从右往左数第八行，从后往前数第六个。用学生身边的现实情境引入数学概念，学生学习主动性强，学习热比高，真切地体会到数学与生活同在。
数学中有许多内容都是从具体生活中抽象出来的。因此，在教学中应该充分联系学生的生活实际，运用直观的板书、演示、操作等方式展示数学概念的形成过程，进行数学概念的抽象概括。
例如“圆周率”的教学，可在课前布置每个学生用硬纸制作一个圆。上课时，让学生动手操作，并在作业本上写出：(1)自己做的圆的直径；(2)滚动自己制作的圆，量出圆滚动一周的长度；(3)计算圆的周长是直径的 几倍。全班汇报计算的结果时，教师随之进行如下板书：
直径(厘米)周长(厘米)周长是直径的几倍
A 2 6.2 3.1
B 3 9，6 3.2
C 4 12.6 3.15
D 5 15.7 3.14
然后引导学生分析发现：不论圆大或是圆小，在同一个圆里它的周长总是直径的3倍多一点。再进一步揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率。这样，引导学生把大量的感性材料加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时使用的单位等)，抓住本质特征(同一个圆的周长总是直径的3倍多一点)，形成圆周率的概念。
运用直观教学并不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手段。因此，概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性认识后，要对所观察的事物进行抽象概括，揭示概念的本质属性，使认识产生飞跃，从感性认识上升到理性认识，形成概念。
杨冬梅(小学高级教师)：建构主义学习理论认为，学习是学生主动建构意义的过程。作为学习活动主体的学生，是具有丰富个性的能动主体，不同的学生对新知识产生不同的理解和建构。而合作学习不仅可以使学生相互间实现信息与资源的整合，不断扩展和完善自我认知，而且可以使学生学会交往，学会参与，学会倾听，学会尊重他人。因此，在数学概念教学中适时地开展合作学习，可以使学生对概念的理解更为深刻和全面，有利于学生思维的发展。
如在教学“长方体的认识”时，可让学生对长方体的棱、面、顶点的特征进行初步直观的感知和探索。学生通过感知，有的发现长方体有8个顶点、12条棱；有的发现相对的棱长度相等；有的发现长方体有6个面，相对面的面积相等，且6个面都是长方形；有的发现也有可能其中两个面是正方形。在此基础上，让学生将各自探索的成果在小组内进行交流，学生通过相互交流，思维得到了启发，认识更加全面，进一步深化了对长方体的认识，并抽象概括出长方体的特征。在合作交流过程中，学生相互学习、相互启发，思维得到了进一步的发展。
又如，在教学“中位数”时，可先让学生各自说说自己对“中位数”这一概念的理解及收集到的有关“中位数”的信息。这时有的学生说，“中位数”就是一组数据中的中间那个数。有的说，这组数据应该按从小到大的顺序排列。有的说，不单可以按从小到大的顺序排列，也可以按从大到小的顺序排列。有的还说，如果这组数据的个数是偶数时，中间的数有两个，这组数据的中位数应该是这两个数的平均数。当大家各抒己见，对“中位数”的理解不能达成共识时，教师可及时组织学生就“什么是中位数及怎样求一组数据的中位数”进行探讨：当一组数据的个数是奇数时怎样找中位数，当一组数据的个数是偶数时，又如何求中位数。学生经过交流，相互补充，相互启发，对中位数的认识也更加全面和深入，思维也更加严密，初步实现了从感性认识到理性认识的提升。
《数学课程标准(实验稿)》在基本理念中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学概念、性质、定理等具有高度的抽象性和概括性，对于抽象思维还处在萌芽状态的小学生来讲，如果让他们直接理解概念，肯定会存在很大困难，所以在数学教学中，特别是概念教学中，学生以小组形式合作交流尤为重要。
首先，在操作探究活动中，由于学习材料一般做不到人手一份，一些步骤一人无法完成，所以需要全组同学分工协作。其次，在操作探究活动中，不同学生各有所长，为共同实现解决问题的目的，他们可以用自己擅长的方式(如操作、画图、推理、列表等)来做，优势互补，凝聚集体的智慧，容易展示问题的解决过程。第三，学生经历上述过程后，每个人已有了不同收获，在此环节，教师一定要给学生独立思考的时间，否则，一些学生人云亦云，丧失思维的主动陸，养成依赖性，只有经过独立思考，接下来的交流讨论才具有实效陸。第四，在讨论中要教育学生学会“倾听”，认真听取别人的意见；要敢于开口“交流”，发表自己的看法并对别人的意见进行评价和补充。
需要注意的是，合作学习小组成员的组成要注意个体差异的搭配，以学生之间能互补为佳，尽量实现生生互动，“人人教我，我教人人”。此外，还要注意合作对象的广泛性，在单元教学中，学生课内课外合作的伙伴可以是老师、同学、家长以及其他任何人，这有利于学生开阔视野，学会与人相处。
王万喜(特级教师、书林二小教研指导专家)：目前，概念教学中比较突出的问题是没有“理解”这一教学环节。例如，教学厘米的认识时，只是让学生知道“小尺子上两个连续数间的长就是1厘米”就完了；教学定义型的概念时，读一读书上的定义就了事。学生不理解数学概念，就不能形成数学方法，就不能正确运用数学概念解决问题。没有“理解”环节的数学概念课不是一节完整的课。因为学生没有参与概念的形成过程，没有体验、领悟概念的形成，就不能真正理解和掌握所学概念。那么，怎样引导学生理解数学概念呢?
对于一些非定义型的概念，可以运用实例帮助学生理解。例如，认识了小尺子上的1厘米后，再让学生在身边寻找1厘米长的东西，以加深学生对1厘米的认识；学习“长方形的认识”时，当学生知道了一张长方形纸的表面是“长方形”后，再让学生举一些长方形的实例，如课本面、课桌面、黑板面、教室地面……以加深对长方形的认识。
对于定义型的概念，“理解”的环节采用的方法主要有：
1 认真揭示概念的内涵，也就是把定义中的本质特征找出来。例如，在质数的定义里，“只有1和它本身两个因数”是其本质特征；在半径的定义里，“圆心与圆上的点联结的线段”是其本质特征。有的教师是通过找定义的条件、关键词等来揭示概念的内涵，学生更容易理解。例如，质数定义里的条件是“只有1和它本身两个因数”，没有别的因数，关键词语是“只有”。这就为判断质数提供了方法。又如，半径定义里的条件是“一个端点在圆心，一个端点在圆上，是线段”。这同样为判断圆的半径提供了方法。
2 认真揭示概念的外延，把握具有概念本质特征的全体。例如，具有平行四边形本质特征“两组对边分别平行”的还包括长方形、正方形、菱形。有的教师常常引导学生分析、对比互相关联的概念的异同，也是一个好方法，这有助于发展学生的思维能力。例如，练习册上有这样一道题：“长方体最多有几个相同。”知道长方体和正方体的关系的学生就会答：“6个。”
3 区别容易混淆的概念，加深对新概念本质特征的认识。例如，教学体积单位后，将其与长度单位、面积单位作比较。有的教师采用从反面揭示概念本质特征的方法，通过“变式”题揭示概念的本质特征等。
4 运用概念解决问题。在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象形成概念，又要让学生由抽象到具体运用概念。运用概念的主要形式是练习，这是促使学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要方法，无论是课内练习还是课外练习，其内容都要紧扣教学目标，难易适度，形式多样。既要有运用新学概念的单一性练习，也要有运用多个概念的综合性和发展性练习。
如果能够在形成概念的主要教学环节“引进——认识(理解)——巩固(深化)——运用”中恰当运用数学方法把概念学教“活”，便可优化概念教学，使教学改革再上一个新台阶。
责任编辑：胡广明