论文部分内容阅读
【摘要】概率论中的反例是加深学生对概念、定理及性质理解的重要手段，能帮助学生记牢所学知识，提高思维创新能力。本文从反例对概念的理解，帮助公式的学习，纠正学习中的错误，培养学生的创新能力四个方面做了详细的分析。
【关键词】反例 概率论 教学 创新能力
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0116-02
概率论是研究随机现象统计规律性的数学分支，它是学习数理统计的基础，它理论性强、应用广泛。是高等学校工科及经管类专业的一门基础必修课，同时也是考研的一门必考课。在课堂教学中，教师正面讲述概念，直接证明或给出性质，学生往往不易接受，若教师运用反例教学会对学生知识的理解与掌握方面帮助很大，它可以加深学生对概念及性质的理解与应用，达到事半功倍的效果。
反例就是要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论。反例是推翻一个假命题的最有效手段。学生通过举出一个反例，可以获得成就感，即可以培养学生的学习兴趣，也可以培养学生的创新能力。
一、反例可以加深学生对概念的理解
概率论中的有些概念比较抽象，正面不易理解，有时学生会摸不着头脑，这样就影响学生的学习效果。巧妙设置反例可以弥补教学中的不足，可以加深学生对基本概念的理解。
例如：概率为0的事件不一定是不可能事件。多数学生易用古典概型知识理解概率为0的事件是不可能事件，但在几何概型中“概率为0的事件不一定是不可能事件”。
如在几何概率中，设Ω={（x，y）|0≤x，y≤1}，A={（x，y）|x=y，0≤x，y≤1}则P（A）= = =0（A，Ω为面积），可见事件A是可能发生的。学习了连续型随机变量知识后，我们知道连续型随机变量在某个点取值的概率为0，从而也说明了概率为0的事件不一定是不可能事件。
二、反例可以帮助学生学习公式
由于概率论中的公式很多，学生在使用公式时，若不注意公式的使用条件，极易得到错误的结论。教师课堂教学时除了正面讲解公式外，还应多举些反例（也可以让学生举例）以帮助学生加深对公式的理解与掌握。
例如，二维随机变量X与Y相互独立，则E（XY）=E（X） E（Y）。反之结论未必成立。如： 二维随机变量（X，Y）的联合密度函数f（x，y）= ，x2+y2≤1 0，其它，易求得：
E（XY）= xy· dxdy= x（ ydy）dx=0，
E（X）= x· dxdy=0，E（Y）= y· dxdy=0
因此，有E（XY）=E（X）·E（Y）
又当-1≤x≤1时，fX（x）= f（x，y）dy= dy
=
故fX（x）= ，-1≤x≤1 0，其它，同理得
fY（y）= ，-1≤y≤1 0，其它
因f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X与Y不相互独立。
又如，若事件A，B满足A？奂B，则P（A）≤P（B），反之不真。
例如，设P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（A∪B）=0.2
由P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）得P（AB）=0.1，
故P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0
由概率为0的事件不一定是不可能事件，这意味着可有A-AB≠？准，从而未必有A？奂B。
三、反例有利于发现和纠正学习中出现的错误
在辨析错误时，由于反例具有很强的说服力，所以在教学中学生可以举反例获得正确的结论。
例如，设有4张形状、大小、质量完全一样的卡片上面分别写有数字112，121，211，222。現从4张卡片中任抽一张，以随机变量X，Y，Z分别表示抽到卡片上的第一、二、三位数字，则 P{X=1}=P{Y=1}=P{Z=1}= ，
P{X=1，Y=1}=P{Y=1，Z=1}=P{Z=1，X=1}=
故X，Y，Z两两独立，但P{X=1，Y=1，Z=1}=0≠ =P{X=1}P{Y=1}P{Z=1}故X，Y，Z不相互独立。
又如，设有一均匀正八面体，其第1，2，3，4面涂红色，第1，2，3，5面涂黄色，第1，6，7，8面涂蓝色，现以A，B，C分别表示投正八面体一次，底面出现红，黄，蓝颜色的事件，则P（A）=P（B）=P（C）= ，P（ABC）= =P（A）P（B）P（C），而P（AB）= ≠ =P（A）P（B），P（AC）= ≠ =P（A）P（C），P（BC）= ≠ =P（B）P（C），故A，B，C不两两独立。
即由P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能得到A，B，C两两相互独立的结论。
四、反例教学有利于培养学生的创新能力
概率论教学中，反例的教学对培养学生的思维严谨性与批判性方面非常重要。在教学中教师要引导学生自己构造反例，培养学生独立思考善于动脑的好习惯，为以后专业课的学习提供很好的借鉴方法。提出反例需要学生要有扎实的基础知识，灵活运用公式的能力及善于思考独立解决问题的能力。这对学生提出了更高的学习要求。
例如，是否存在既非离散型又非连续型的分布函数？
如F（x）=0 x<0 0≤x<11 x≥1，由分布函数的定义可知F（x）是分布函数，由于F（x）对应随机变量取值不是有限个或可列多个，故F（x）不是离散型随机变量，又因为F（x）在x=0不连续，所以F（x）不是连续性随机变量，即存在既不离散又不连续的分布函数。
总之，学生在学习概率论时，要注意区别概念、区别原理，在概念的理解与原理的应用上下功夫。对知识的理解上多反问自己，善于举反例，只有这样才能弄清概念及性质以达到灵活应用的目的。
参考文献：
[1]郭同德，贾军国编.概率论与数理统计[M].郑州大学出版社.2007.
[2]李艳萍.《概率论》中反例的应用体会[J].佳木斯教育学院学报，2013，（1）：182-183.
[3]林穗华.浅谈反例在概率论教学中的作用[J].南宁师范高等专科学校学报，2006，（1）：122-123.
[4]王珍，朱少平.概率分布教学中的反例[J].科技信息，2012，（29）：51.
[5]申广君.概率论与数理统计课程中反例教学的例证研究[J].大学教育，2013，（4）：84-85.
作者简介：
董留栓（1971-），男，汉族，河南郑州人，中原工学院信息商务学院副教授，讲师，硕士学位，研究方向：群论与代数图论。
霍振宏（1963-），男，河南郑州人，中原工学院理学院副教授。
【关键词】反例 概率论 教学 创新能力
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0116-02
概率论是研究随机现象统计规律性的数学分支，它是学习数理统计的基础，它理论性强、应用广泛。是高等学校工科及经管类专业的一门基础必修课，同时也是考研的一门必考课。在课堂教学中，教师正面讲述概念，直接证明或给出性质，学生往往不易接受，若教师运用反例教学会对学生知识的理解与掌握方面帮助很大，它可以加深学生对概念及性质的理解与应用，达到事半功倍的效果。
反例就是要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论。反例是推翻一个假命题的最有效手段。学生通过举出一个反例，可以获得成就感，即可以培养学生的学习兴趣，也可以培养学生的创新能力。
一、反例可以加深学生对概念的理解
概率论中的有些概念比较抽象，正面不易理解，有时学生会摸不着头脑，这样就影响学生的学习效果。巧妙设置反例可以弥补教学中的不足，可以加深学生对基本概念的理解。
例如：概率为0的事件不一定是不可能事件。多数学生易用古典概型知识理解概率为0的事件是不可能事件，但在几何概型中“概率为0的事件不一定是不可能事件”。
如在几何概率中，设Ω={（x，y）|0≤x，y≤1}，A={（x，y）|x=y，0≤x，y≤1}则P（A）= = =0（A，Ω为面积），可见事件A是可能发生的。学习了连续型随机变量知识后，我们知道连续型随机变量在某个点取值的概率为0，从而也说明了概率为0的事件不一定是不可能事件。
二、反例可以帮助学生学习公式
由于概率论中的公式很多，学生在使用公式时，若不注意公式的使用条件，极易得到错误的结论。教师课堂教学时除了正面讲解公式外，还应多举些反例（也可以让学生举例）以帮助学生加深对公式的理解与掌握。
例如，二维随机变量X与Y相互独立，则E（XY）=E（X） E（Y）。反之结论未必成立。如： 二维随机变量（X，Y）的联合密度函数f（x，y）= ，x2+y2≤1 0，其它，易求得：
E（XY）= xy· dxdy= x（ ydy）dx=0，
E（X）= x· dxdy=0，E（Y）= y· dxdy=0
因此，有E（XY）=E（X）·E（Y）
又当-1≤x≤1时，fX（x）= f（x，y）dy= dy
=
故fX（x）= ，-1≤x≤1 0，其它，同理得
fY（y）= ，-1≤y≤1 0，其它
因f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X与Y不相互独立。
又如，若事件A，B满足A？奂B，则P（A）≤P（B），反之不真。
例如，设P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（A∪B）=0.2
由P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）得P（AB）=0.1，
故P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0
由概率为0的事件不一定是不可能事件，这意味着可有A-AB≠？准，从而未必有A？奂B。
三、反例有利于发现和纠正学习中出现的错误
在辨析错误时，由于反例具有很强的说服力，所以在教学中学生可以举反例获得正确的结论。
例如，设有4张形状、大小、质量完全一样的卡片上面分别写有数字112，121，211，222。現从4张卡片中任抽一张，以随机变量X，Y，Z分别表示抽到卡片上的第一、二、三位数字，则 P{X=1}=P{Y=1}=P{Z=1}= ，
P{X=1，Y=1}=P{Y=1，Z=1}=P{Z=1，X=1}=
故X，Y，Z两两独立，但P{X=1，Y=1，Z=1}=0≠ =P{X=1}P{Y=1}P{Z=1}故X，Y，Z不相互独立。
又如，设有一均匀正八面体，其第1，2，3，4面涂红色，第1，2，3，5面涂黄色，第1，6，7，8面涂蓝色，现以A，B，C分别表示投正八面体一次，底面出现红，黄，蓝颜色的事件，则P（A）=P（B）=P（C）= ，P（ABC）= =P（A）P（B）P（C），而P（AB）= ≠ =P（A）P（B），P（AC）= ≠ =P（A）P（C），P（BC）= ≠ =P（B）P（C），故A，B，C不两两独立。
即由P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能得到A，B，C两两相互独立的结论。
四、反例教学有利于培养学生的创新能力
概率论教学中，反例的教学对培养学生的思维严谨性与批判性方面非常重要。在教学中教师要引导学生自己构造反例，培养学生独立思考善于动脑的好习惯，为以后专业课的学习提供很好的借鉴方法。提出反例需要学生要有扎实的基础知识，灵活运用公式的能力及善于思考独立解决问题的能力。这对学生提出了更高的学习要求。
例如，是否存在既非离散型又非连续型的分布函数？
如F（x）=0 x<0 0≤x<11 x≥1，由分布函数的定义可知F（x）是分布函数，由于F（x）对应随机变量取值不是有限个或可列多个，故F（x）不是离散型随机变量，又因为F（x）在x=0不连续，所以F（x）不是连续性随机变量，即存在既不离散又不连续的分布函数。
总之，学生在学习概率论时，要注意区别概念、区别原理，在概念的理解与原理的应用上下功夫。对知识的理解上多反问自己，善于举反例，只有这样才能弄清概念及性质以达到灵活应用的目的。
参考文献：
[1]郭同德，贾军国编.概率论与数理统计[M].郑州大学出版社.2007.
[2]李艳萍.《概率论》中反例的应用体会[J].佳木斯教育学院学报，2013，（1）：182-183.
[3]林穗华.浅谈反例在概率论教学中的作用[J].南宁师范高等专科学校学报，2006，（1）：122-123.
[4]王珍，朱少平.概率分布教学中的反例[J].科技信息，2012，（29）：51.
[5]申广君.概率论与数理统计课程中反例教学的例证研究[J].大学教育，2013，（4）：84-85.
作者简介：
董留栓（1971-），男，汉族，河南郑州人，中原工学院信息商务学院副教授，讲师，硕士学位，研究方向：群论与代数图论。
霍振宏（1963-），男，河南郑州人，中原工学院理学院副教授。