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【摘要】当前，数学概念类微课在数学移动学习和数学课堂教学中应用较多，但有些微课存在“一个定义几个注意”等问题，难以发挥培育学生核心素养的良好载体作用。研究者基于弗赖登塔尔的数学教育思想，以“一次函数”教学设计的片段为例，尝试探讨优化数学概念类创课的设计。
【关键词】数学概念；一次函数；创课；优化
数学概念类微课在数学移动学习和数学课堂教学中应用较多，但有些微课的设计存在诸如注重概念的形式，淡化概念的实质；注重概念的应用，淡化概念的理解等现象，难以成为培育学生核心素养的良好载体。基于弗赖登塔尔的数学教育思想，笔者以“一次函数”教学设计片段为例，尝试探讨优化数学概念类创课的设计。
一、弗赖登塔尔的数学教育思想概述及意义
弗赖登塔尔是享誉世界的荷兰数学家、数学教育家，他的数学教育思想非常丰富。归纳起来，可以用“树立一个理念，把握两个条件，遵循三条原则”来概括。弗赖登塔尔的数学教育思想的核心词主要有：数学现实、数学化和再创造。数学现实是学生在学习数学新知识之前的数学学习经验与知识，这是学习数学新知识的基本前提[1]。数学化包括横向数学化和纵向数学化。横向数学化是“把数学以外的生活世界引向数学世界”，突出生活世界与数学世界之间的联系。纵向数学化是指“在数学世界里的进一步发生与发展”，突显了数学世界本身的内在联系。弗赖登塔尔指出，学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生把自己要学习的知识发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生[2]。在数学学习中，教师应尽量让学生经历数学化的过程，使数学变成他们自己“再创造”的产物，而不是教师强加给他们的知识。
虽然弗赖登塔尔的数学教育思想对数学教学具有较强的指导意义，但在应用时不能生搬硬套，要根据学生学情、学习内容有机融通，灵活应用。譬如，在设计新知识的生长点时，应通过分析教材找到新知识生长的逻辑起点，摸清学生的数学现实，找准新知识生长的经验起点，尽可能使经验起点与逻辑起点成为新知识的生长点。教师在设计数学活动时，应基于学生的数学现实，让学生在教师的指导或引导下经历操作、实验、猜想、想象、类比、归纳、交流、概括、反思等有意义的数学化活动，培育学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。
二、优化数学概念类创课设计与案例分析
人教版数学八年级下册的“一次函数”内容，是初中阶段学生接触到的最基本的函数，也是学生后续学习“反比例函数”“二次函数”等知识的基础。一次函数是初中生接触的第一个抽象函数，虽然形式上看起来简单，但学生却难以理解与掌握其内涵，是本節课的重点和难点，也是培育学生的数学抽象、逻辑推理和数据分析等核心素养的良好素材。
1复习回顾
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现问题情境；其次，教师引导学生回顾解决问题所需要的知识；最后，师生共同进入新课的学习。这样的问题情境引入难以激活学生原有的知识。我们基于弗赖登塔尔的数学现实原则，通过知识结构导图引导学生复习回顾相关知识，激活学生的认知起点。优化版教学设计如图1所示。
【比较分析】原版教学设计中没有“复习回顾”环节的设计。优化版教学设计不仅呈现知识结构导图助力学生复习回顾，而且呈现“y=60x+18是函数吗？y与x怎样变化？”等问题，激活学生学习新知识的起点，驱动学生学习新知识的欲望。
2问题思考
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现问题情境；其次，教师引导学生运用所学知识列出具体函数模型；最后，师生一起进入本课的学习。这种问题情境难以激发学生的学习欲望。基于弗赖登塔尔的数学现实原则，我们做一些改进。首先，教师呈现符合学情的问题情境；其次，教师通过问题串引导学生分析问题和解决问题，促进学生直观感受一次函数的生活模型；最后，教师提问学生能否归纳出统一的数学模型，并要求学生用数学语言进行概括，培育学生数学建模的核心素养。
（1）原版教学设计及片段评析
原版教学设计如图2所示。
（2）优化版教学设计及片段评析
优化版教学设计如图3所示。
【比较分析】原版教学设计的“员工工资”问题情境不够贴近学生的认知体验，难以激发学生的学习兴趣与欲望。优化版教学设计的问题情境经过改进后，一方面给出提示和留白，促进学生动手动脑；另一方面，通过问题串引导学生分析问题和解决问题，有助于培育学生数学建模的核心素养。
3归纳概括
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师分析函数表达式，寻找模型的共同特征；其次，教师给出一次函数的定义和注意方面。这种“一个定义几点注意”的模式，因仅注重概念形式的分析而淡化概念内涵的理解，很难促进学生深度理解数学概念。笔者基于弗赖登塔尔的数学化与再创造原则做了改进。首先，教师引导学生观察分析一次函数模型的共同特征；接着，教师引导学生经历观察、分析、归纳、概括等有意义的数学化活动，发展学生数学抽象、逻辑推理和建模的核心素养。
（1）原版教学设计及片段评析
师：请同学们仔细观察这两个函数关系式，找一找它们有什么共同的特征呢？
（教师引导学生观察思考，并总结、补充和概括一次函数定义。原版教学设计如图4所示。）
（2）优化版教学设计及片段评析
师：从前面的问题中，我们得到了y=60x，y=05x+10和y=01x+18这三个函数表达式，请同学们仔细观察比较这三个表达式，将它们按照一定的依据分类，并说说你为什么这样分？
小圆：我把y=60x分为一类，因为它没有加常数；把y=05x+10和y=01x+18分为一类，因为它们都有加常数。
小方：我觉得它们三个都是一类的，y=60x可以看作是y=60x+0，这样就都有常数项了。 （注：小圆、小方为教师播放的视频中的卡通人物。）
师：同学们的观察很仔细。既然大家把它们都归为一类，那么再仔细观察一下，它们有什么共同的特征吗？
（教师引导学生寻找表达式的共同特征。）
小圆：它们都是y等于一个数乘以x再加上一个数。
师：真棒，这个发现很重要。与x相乘的数，我们可以用一个字母k来表示，加上的这个数我们就用字母b来表示。现在你能不能用一个简洁的式子来表示这一类的函数呢？
（教师鼓励学生合作交流，概括出一次函数的一般形式。）
小圆：我知道，可以表示为y=kx+b，用k和b表示常数。
师：这个想法很棒，同学们都想到了吗？但是问题来了，请大家想一想，k和b可以是任意的常数吗？比如特殊值0可以吗？
（教师引导学生动手操作，试验当k、b分别等于0时的情况，部分学生能发现k不能等于0。）
小圆：当k=0时，就没有x了，因此k不能取0；当b=0时，就变成了y=kx。
师：所以我们需要对k和b做特别说明，即k、b为常数，且k≠0。当b=0时，y=kx（k≠0）。现在同学们再从微观上观察这三个关系式，认真思考它们的自变量有什么共同特征呢？
（教师适当地提示和引导学生发现一次函数的重要特征——一次式。）
小方：x的指数都是1。
师：哎，小方的眼光很犀利哦，这是一个非常关键的发现，x的指数都是1，也就是说这是一个关于自变量x的一次式。
（教师引导学生自主归纳一次函数的定义，并补充完整定义）
师：我们把像y=kx+b（k、b为常数，k≠0）这样的关于自变量x的一次式函数，叫作一次函数。特殊地，当b=0时，一次函数y=kx（k为常数，k≠0）也叫作正比例函数，其中这个k叫作比例系数。
师：同学们发现了一个了不起的“宝贝”，这个“宝贝”可以帮助我们解决很多现实生活中的问题，例如前面的匀速行驶问题、话费问题等。这是本节课所要学习的最重要的两个概念。现在我们来归纳一下这个“宝贝”——一次函数都有哪些特征？
（教师鼓励学生归纳概括，以加强概念的理解。）
小方：他们都是整式，而且自变量x的指数为1，系数k不为0。
师：这就是一次函数的特征。要判断一个函数是不是一次函数需要同时满足这三个条件。
（优化版教学设计如图5所示。）
【比较分析】原版教学设计主要是教师解释概念多，学生记忆成分也多。优化版教学设计重在引导学生经历主动观察、分析、归纳、概括等数学化活动，体验一次函数概念的再创造过程，这不仅促进学生理解一次函数的本质，也有助于发展学生数学抽象、逻辑推理和建模的核心素养。
4辨析概念
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现例题；其次，教师让学生尝试解答；最后，教师讲解例题和给出练习题进一步训练。这种单纯的讲解例题与给出练习题的教学设计，很难促进学生深度理解概念。基于弗赖登塔尔的数学化原则，教师应积极引导学生辨析概念的正反例，让学生主动交流、分享与反思，充分暴露学生理解概念的错漏点，再深入剖析概念的外延与内涵，促进学生深度理解概念。
（1）原版教学设计及片段评析
师：请同学们根据一次函数的定义，思考并解决下列问题。
（教师引导学生用定义判断一次函数，让学生加深对定义的理解。）
生：（1）（2）（6）式是一次函数，其中（1）（6）式又是正比例函数。
（针对学生反馈，教师讲解分析，强调定义的理解。原版教学设计如图6所示。）
（2）优化版教学设计及片段评析
师：这是在前面的匀速行驶问题中我们列的表格。现在请同学们仔细观察表格，思考一下，x和y具体是如何变化的呢？动手写一写，画一画。
小方：x每次都增加1，y每次都增加60。
（学生观察理解，体验成功。）
师：真棒，每次变化的量一样，那就是均匀变化。x是均匀变化的，y也是均匀变化的。它们之间有什么关系呢？
（教师循序渐进地引导学生发现变化规律。）
师：自变量x每增加1个单位，因变量y都增加相同的值。这是我们通过特殊的一次函数——正比例函数发现的变化规律。那么，对于一般的一次函数也有这个规律吗？我们不妨用下面这个“弹簧问题”来验证。
（教师引导学生动手操作，验证猜想，揭示本质。）
师：哇！一般的一次函数中也有这个变化规律。那我们就可以说，一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的。同学们能不能再举出一个这样的例子呢？
（教师引导学生举例说明，启发反向思维。）
师：通过这个例子我们知道了因变量随自变量的变化是均匀增加的，你能不能举出一个因变量随自变量的变化是均匀减少的例子呢？我们下一次课再一起来分享。
（优化版教学设计如图7所示。）
师：学习了一次函数的定义，老师相信下面这个问题肯定难不倒你们，现在请同学们认真思考这道题，然后想一想，我们怎样判断一个函数是不是一次函数，或者是正比例函数呢？
小圆：我知道，如果是y=kx+b这种形式的函数就是一次函数，y=kx这种形式的函数就是正比例函数。
（教师PPT展示小圆的解题过程。）
师：小圆的解题过程很详细，让我们一起验证一下吧。首先，我们要知道判断一次函数的依据是什么，哪位同学能告诉老师呢？
小镜：要同时满足三个条件。一是整式，二是自变量的指数为1，三是自变量的系数不为0。
师：好，下面我们就一个一个来验证。
（教师详细讲解过程，具体分析易错点，强调判断依据。如图8所示。）
【比较分析】在原版教学设计中，教师缺失深入剖析概念的内涵与外延，例题的讲解也只侧重于概念形式上的套用。为了解决这些问题，可以从如下几个方面进行优化。
① 深入剖析概念。教师再一次用前面的实例，让学生体验一次函数的内涵特征；从定义的文字语言入手，剖析概念的外延特征；从定义的符号语言入手，引导学生从数学简洁美和建模的角度，进一步认识一次函数的内涵与外延，促进学生深度理解。
② 动态展示本质。教师利用PPT课件，向学生展示因变量随着自變量的变化过程，助力学生直观感知自变量与因变量之间的特有规律，进一步理解一次函数的本质。
③ 分享典型错例。教师出示概念的正反例让学生先做，再交流分享，充分暴露学生理解概念的典型错误，并分析错误根源，在帮助学生加强理解和巩固概念的同时培养学生学以致用的能力。
5小结反思
在这个教学环节，原版教学设计为：简单回顾知识要点。这将很难以促进学生建构知识结构体系。基于弗赖登塔尔的数学化原则，通过知识结构导图反思小结知识要点，加强知识的内在联系，助力学生建构知识体系。
（1）原版教学设计（如图9）
（2）优化版教学设计（如图10）
【比较分析】相对于原版教学设计，优化版教学设计不仅对知识点起到承前启后的作用，而且通过设置“y=2x和y=2x+5的图像法如何表示？图像怎样画？”等提问链促进学生深入思考，在促进学生建构知识内在联系的同时，激发学生进一步求知的欲望。可谓授人以鱼的同时授人以渔和欲，助力改善学生的数学理解和数学信念[3]。
参考文献：
[1]刘冬，唐剑岚.基于弗赖登塔尔数学教育思想的数学创课设计[J].中小学课堂教学研究，2018（3）：1214.
[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.
[3]唐剑岚，蒋蜜蜜，肖宝莹.数学认识信念：影响数学学习过程的重要变量[J].课程·教材·教法，2014（6）：6166.
【关键词】数学概念；一次函数；创课；优化
数学概念类微课在数学移动学习和数学课堂教学中应用较多，但有些微课的设计存在诸如注重概念的形式，淡化概念的实质；注重概念的应用，淡化概念的理解等现象，难以成为培育学生核心素养的良好载体。基于弗赖登塔尔的数学教育思想，笔者以“一次函数”教学设计片段为例，尝试探讨优化数学概念类创课的设计。
一、弗赖登塔尔的数学教育思想概述及意义
弗赖登塔尔是享誉世界的荷兰数学家、数学教育家，他的数学教育思想非常丰富。归纳起来，可以用“树立一个理念，把握两个条件，遵循三条原则”来概括。弗赖登塔尔的数学教育思想的核心词主要有：数学现实、数学化和再创造。数学现实是学生在学习数学新知识之前的数学学习经验与知识，这是学习数学新知识的基本前提[1]。数学化包括横向数学化和纵向数学化。横向数学化是“把数学以外的生活世界引向数学世界”，突出生活世界与数学世界之间的联系。纵向数学化是指“在数学世界里的进一步发生与发展”，突显了数学世界本身的内在联系。弗赖登塔尔指出，学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生把自己要学习的知识发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生[2]。在数学学习中，教师应尽量让学生经历数学化的过程，使数学变成他们自己“再创造”的产物，而不是教师强加给他们的知识。
虽然弗赖登塔尔的数学教育思想对数学教学具有较强的指导意义，但在应用时不能生搬硬套，要根据学生学情、学习内容有机融通，灵活应用。譬如，在设计新知识的生长点时，应通过分析教材找到新知识生长的逻辑起点，摸清学生的数学现实，找准新知识生长的经验起点，尽可能使经验起点与逻辑起点成为新知识的生长点。教师在设计数学活动时，应基于学生的数学现实，让学生在教师的指导或引导下经历操作、实验、猜想、想象、类比、归纳、交流、概括、反思等有意义的数学化活动，培育学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。
二、优化数学概念类创课设计与案例分析
人教版数学八年级下册的“一次函数”内容，是初中阶段学生接触到的最基本的函数，也是学生后续学习“反比例函数”“二次函数”等知识的基础。一次函数是初中生接触的第一个抽象函数，虽然形式上看起来简单，但学生却难以理解与掌握其内涵，是本節课的重点和难点，也是培育学生的数学抽象、逻辑推理和数据分析等核心素养的良好素材。
1复习回顾
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现问题情境；其次，教师引导学生回顾解决问题所需要的知识；最后，师生共同进入新课的学习。这样的问题情境引入难以激活学生原有的知识。我们基于弗赖登塔尔的数学现实原则，通过知识结构导图引导学生复习回顾相关知识，激活学生的认知起点。优化版教学设计如图1所示。
【比较分析】原版教学设计中没有“复习回顾”环节的设计。优化版教学设计不仅呈现知识结构导图助力学生复习回顾，而且呈现“y=60x+18是函数吗？y与x怎样变化？”等问题，激活学生学习新知识的起点，驱动学生学习新知识的欲望。
2问题思考
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现问题情境；其次，教师引导学生运用所学知识列出具体函数模型；最后，师生一起进入本课的学习。这种问题情境难以激发学生的学习欲望。基于弗赖登塔尔的数学现实原则，我们做一些改进。首先，教师呈现符合学情的问题情境；其次，教师通过问题串引导学生分析问题和解决问题，促进学生直观感受一次函数的生活模型；最后，教师提问学生能否归纳出统一的数学模型，并要求学生用数学语言进行概括，培育学生数学建模的核心素养。
（1）原版教学设计及片段评析
原版教学设计如图2所示。
（2）优化版教学设计及片段评析
优化版教学设计如图3所示。
【比较分析】原版教学设计的“员工工资”问题情境不够贴近学生的认知体验，难以激发学生的学习兴趣与欲望。优化版教学设计的问题情境经过改进后，一方面给出提示和留白，促进学生动手动脑；另一方面，通过问题串引导学生分析问题和解决问题，有助于培育学生数学建模的核心素养。
3归纳概括
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师分析函数表达式，寻找模型的共同特征；其次，教师给出一次函数的定义和注意方面。这种“一个定义几点注意”的模式，因仅注重概念形式的分析而淡化概念内涵的理解，很难促进学生深度理解数学概念。笔者基于弗赖登塔尔的数学化与再创造原则做了改进。首先，教师引导学生观察分析一次函数模型的共同特征；接着，教师引导学生经历观察、分析、归纳、概括等有意义的数学化活动，发展学生数学抽象、逻辑推理和建模的核心素养。
（1）原版教学设计及片段评析
师：请同学们仔细观察这两个函数关系式，找一找它们有什么共同的特征呢？
（教师引导学生观察思考，并总结、补充和概括一次函数定义。原版教学设计如图4所示。）
（2）优化版教学设计及片段评析
师：从前面的问题中，我们得到了y=60x，y=05x+10和y=01x+18这三个函数表达式，请同学们仔细观察比较这三个表达式，将它们按照一定的依据分类，并说说你为什么这样分？
小圆：我把y=60x分为一类，因为它没有加常数；把y=05x+10和y=01x+18分为一类，因为它们都有加常数。
小方：我觉得它们三个都是一类的，y=60x可以看作是y=60x+0，这样就都有常数项了。 （注：小圆、小方为教师播放的视频中的卡通人物。）
师：同学们的观察很仔细。既然大家把它们都归为一类，那么再仔细观察一下，它们有什么共同的特征吗？
（教师引导学生寻找表达式的共同特征。）
小圆：它们都是y等于一个数乘以x再加上一个数。
师：真棒，这个发现很重要。与x相乘的数，我们可以用一个字母k来表示，加上的这个数我们就用字母b来表示。现在你能不能用一个简洁的式子来表示这一类的函数呢？
（教师鼓励学生合作交流，概括出一次函数的一般形式。）
小圆：我知道，可以表示为y=kx+b，用k和b表示常数。
师：这个想法很棒，同学们都想到了吗？但是问题来了，请大家想一想，k和b可以是任意的常数吗？比如特殊值0可以吗？
（教师引导学生动手操作，试验当k、b分别等于0时的情况，部分学生能发现k不能等于0。）
小圆：当k=0时，就没有x了，因此k不能取0；当b=0时，就变成了y=kx。
师：所以我们需要对k和b做特别说明，即k、b为常数，且k≠0。当b=0时，y=kx（k≠0）。现在同学们再从微观上观察这三个关系式，认真思考它们的自变量有什么共同特征呢？
（教师适当地提示和引导学生发现一次函数的重要特征——一次式。）
小方：x的指数都是1。
师：哎，小方的眼光很犀利哦，这是一个非常关键的发现，x的指数都是1，也就是说这是一个关于自变量x的一次式。
（教师引导学生自主归纳一次函数的定义，并补充完整定义）
师：我们把像y=kx+b（k、b为常数，k≠0）这样的关于自变量x的一次式函数，叫作一次函数。特殊地，当b=0时，一次函数y=kx（k为常数，k≠0）也叫作正比例函数，其中这个k叫作比例系数。
师：同学们发现了一个了不起的“宝贝”，这个“宝贝”可以帮助我们解决很多现实生活中的问题，例如前面的匀速行驶问题、话费问题等。这是本节课所要学习的最重要的两个概念。现在我们来归纳一下这个“宝贝”——一次函数都有哪些特征？
（教师鼓励学生归纳概括，以加强概念的理解。）
小方：他们都是整式，而且自变量x的指数为1，系数k不为0。
师：这就是一次函数的特征。要判断一个函数是不是一次函数需要同时满足这三个条件。
（优化版教学设计如图5所示。）
【比较分析】原版教学设计主要是教师解释概念多，学生记忆成分也多。优化版教学设计重在引导学生经历主动观察、分析、归纳、概括等数学化活动，体验一次函数概念的再创造过程，这不仅促进学生理解一次函数的本质，也有助于发展学生数学抽象、逻辑推理和建模的核心素养。
4辨析概念
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现例题；其次，教师让学生尝试解答；最后，教师讲解例题和给出练习题进一步训练。这种单纯的讲解例题与给出练习题的教学设计，很难促进学生深度理解概念。基于弗赖登塔尔的数学化原则，教师应积极引导学生辨析概念的正反例，让学生主动交流、分享与反思，充分暴露学生理解概念的错漏点，再深入剖析概念的外延与内涵，促进学生深度理解概念。
（1）原版教学设计及片段评析
师：请同学们根据一次函数的定义，思考并解决下列问题。
（教师引导学生用定义判断一次函数，让学生加深对定义的理解。）
生：（1）（2）（6）式是一次函数，其中（1）（6）式又是正比例函数。
（针对学生反馈，教师讲解分析，强调定义的理解。原版教学设计如图6所示。）
（2）优化版教学设计及片段评析
师：这是在前面的匀速行驶问题中我们列的表格。现在请同学们仔细观察表格，思考一下，x和y具体是如何变化的呢？动手写一写，画一画。
小方：x每次都增加1，y每次都增加60。
（学生观察理解，体验成功。）
师：真棒，每次变化的量一样，那就是均匀变化。x是均匀变化的，y也是均匀变化的。它们之间有什么关系呢？
（教师循序渐进地引导学生发现变化规律。）
师：自变量x每增加1个单位，因变量y都增加相同的值。这是我们通过特殊的一次函数——正比例函数发现的变化规律。那么，对于一般的一次函数也有这个规律吗？我们不妨用下面这个“弹簧问题”来验证。
（教师引导学生动手操作，验证猜想，揭示本质。）
师：哇！一般的一次函数中也有这个变化规律。那我们就可以说，一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的。同学们能不能再举出一个这样的例子呢？
（教师引导学生举例说明，启发反向思维。）
师：通过这个例子我们知道了因变量随自变量的变化是均匀增加的，你能不能举出一个因变量随自变量的变化是均匀减少的例子呢？我们下一次课再一起来分享。
（优化版教学设计如图7所示。）
师：学习了一次函数的定义，老师相信下面这个问题肯定难不倒你们，现在请同学们认真思考这道题，然后想一想，我们怎样判断一个函数是不是一次函数，或者是正比例函数呢？
小圆：我知道，如果是y=kx+b这种形式的函数就是一次函数，y=kx这种形式的函数就是正比例函数。
（教师PPT展示小圆的解题过程。）
师：小圆的解题过程很详细，让我们一起验证一下吧。首先，我们要知道判断一次函数的依据是什么，哪位同学能告诉老师呢？
小镜：要同时满足三个条件。一是整式，二是自变量的指数为1，三是自变量的系数不为0。
师：好，下面我们就一个一个来验证。
（教师详细讲解过程，具体分析易错点，强调判断依据。如图8所示。）
【比较分析】在原版教学设计中，教师缺失深入剖析概念的内涵与外延，例题的讲解也只侧重于概念形式上的套用。为了解决这些问题，可以从如下几个方面进行优化。
① 深入剖析概念。教师再一次用前面的实例，让学生体验一次函数的内涵特征；从定义的文字语言入手，剖析概念的外延特征；从定义的符号语言入手，引导学生从数学简洁美和建模的角度，进一步认识一次函数的内涵与外延，促进学生深度理解。
② 动态展示本质。教师利用PPT课件，向学生展示因变量随着自變量的变化过程，助力学生直观感知自变量与因变量之间的特有规律，进一步理解一次函数的本质。
③ 分享典型错例。教师出示概念的正反例让学生先做，再交流分享，充分暴露学生理解概念的典型错误，并分析错误根源，在帮助学生加强理解和巩固概念的同时培养学生学以致用的能力。
5小结反思
在这个教学环节，原版教学设计为：简单回顾知识要点。这将很难以促进学生建构知识结构体系。基于弗赖登塔尔的数学化原则，通过知识结构导图反思小结知识要点，加强知识的内在联系，助力学生建构知识体系。
（1）原版教学设计（如图9）
（2）优化版教学设计（如图10）
【比较分析】相对于原版教学设计，优化版教学设计不仅对知识点起到承前启后的作用，而且通过设置“y=2x和y=2x+5的图像法如何表示？图像怎样画？”等提问链促进学生深入思考，在促进学生建构知识内在联系的同时，激发学生进一步求知的欲望。可谓授人以鱼的同时授人以渔和欲，助力改善学生的数学理解和数学信念[3]。
参考文献：
[1]刘冬，唐剑岚.基于弗赖登塔尔数学教育思想的数学创课设计[J].中小学课堂教学研究，2018（3）：1214.
[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.
[3]唐剑岚，蒋蜜蜜，肖宝莹.数学认识信念：影响数学学习过程的重要变量[J].课程·教材·教法，2014（6）：6166.