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【摘要】数学解题活动的一般过程为，解题者在已经拥有的观念指导下，面对问题时，选择知识框架封装问题所提供的信息，若封装成功，则解决了问题；若封装不成功，则进行调整。数学问题解决的教学设计要注意教师给予与学生创生的平衡。
【关键词】数学问题；问题解决；教学设计；教师给予；学生创生
一、从一个实际数学问题解决的教学课例中提出问题
笔者曾经就数学问题解决的思想与方法，对2016年安徽省农村初中小学骨干数学教师“国培计划”的培训教师进行调查。调查的题目及调查结果如下。
问题1：比较15-11①与11-7②的大小。
笔者模仿教师指导用书的形式，提示了一种解题思路：分别取①②两式的倒数进行“倒数变换”。此举的目的是借助问题1使教师在备课过程中能有自己的思考，找到渗透“倒数变换”的切入点，从而有效地完成启发学生发现这道题的解法的教学任务。笔者通过认真分析、整理其中的39份有效作业后发现，这39位教师所准备的教学预案，大致可划分成三种典型的课堂教学活动流程。
第一种，教师不加变化地依据提示的方法形成解决问题的逻辑过程。第二种，教师在教学准备中对问题1进行思考时，希望学生自己找到一种方法，即设法启发学生从心理上萌生由问题1所负载的“倒数变换”的数学观念，先试探作差、作商，或先将①②两式平方之后，再通过作差、作商等手段进行探究。但由于这些方法的运算量较大，有一部分教师又回到了第一种设计的方法上，其他教师的教学设计偏离了笔者的意图。第三种，上乘的教学设计应在找到恰当的切入点后，使 “倒数变换”观念在学生的认知过程中从心理层面自觉地发生。下面是笔者依据第三种教师教学设计预案进行教学的课堂活动片段。
师：我们在学习二次根式化简时，“有理化”的方法往往值得一试。这种方法对问题1的解决有帮助吗？
师：这位同学很好地解决了问题。但是，你还留下了一个令人疑惑的环节，即为什么从⑤式的条件就能够得到⑥式的结论呢？你可否更清楚地对你的想法进行解释，使我们彻底明白其中的道理？
追踪问题解答过程的严格逻辑表达，是经过多年的数学学习的学生的自觉行为，故经由教师的简单点拨，学生就会由“有理化”观念生成处理这类问题的“倒数变换”观念。因此，后面的教学流程这里就略去了。那么，这个课例的教学活动是依据怎样的教学理念而展开教学设计的呢？
二、由数学问题形成知识结构的心理过程的一种解释
在具体论述教授知识与生成知识的关系之前，首先要把握好外在数学材料内化为数学结构的过程：主体基于先前的学习，将已经掌握的一定的数学知识及其产生这些数学知识的数学观念加以整合，为在今后遇到新问题时萌生新的数学观念奠定基础。因此，主体生成新的知识框架后就可以利用这一新工具来处理新环境中的新信息了。
一般而言，当学生面临一个全新的问题时，他们会对问题提供的信息感到手忙脚乱，难以理出头绪。学生凭感官不可能辨别问题中的有用信息，更难以将这些信息组织成有用的关联信息轮廓。于是，要达到真正解决问题的目的，学生就必须基于已经掌握了的知识框架，筛选诸多由问题素材中的外在信息与附加的主观信息中的一项或几项信息相关联形成的支点信息。
基于主体的已有观念，数学化外在问题信息形成支点信息后，主体的意识机能依据这一支点信息，从诸多的依附在数学观念上的知识框架中，筛选出一个具体的知识框架，以此为主干，吸附问题提供的明显或暗含的外围信息，形成一个较为松散的轮廓。在數学观念的一系列梳理、选择、整合操作后，经由语言符号将之外化，初步形成了相对松散的、有序的结构轮廓。
在信息轮廓形成后，问题解决主体的意识机能针对信息轮廓与数学知识框架进行内在的心理操作，以确定两者的组合能否完好地解决问题。首先，主体意识机能将对信息轮廓的组成元素进行审查，以确保其完整性；其次，意识机能将信息轮廓与数学知识框架解构，检测其对应的元素能否匹配一致。如果这两项条件都得到满足，问题就解决了。如果不满足，已生成的信息轮廓失效，于是分解成基本信息，意识机能重新对外在问题或材料深度挖掘，并数学化得到新的未被发现的信息，两者结合以调整信息轮廓来匹配知识框架。如果依旧无法匹配，主体将考虑更换支点信息与知识框架，重构信息轮廓，再进行匹配，循环往复，直到问题得到解决（如图1）[1]。
通过暴露学生对数学知识结构生成的心理活动全过程，我们可以发现，感官所获得的对材料信息的感觉只是解决问题时的入门向导，经由它只能获得外在的一些感性认识，仅仅停留于问题的表象，无法深入本质进行研究。因此，只有将感性认识上升到理性认识，才有助于数学问题的解决。解决问题中的每一个步骤，主体现阶段的理性认知都参与其中，且利用主体已经拥有的知识框架与思维方式作用于问题信息，这一系列要素的整合在解决问题过程中起着极其重要的作用。
第一，观念系统调用自己的知识框架的某些特征，在问题所提供的外在信息中，找出与知识框架的这些特征相同（或相似）的信息特征（笔者认为，观念调用知识框架的特征在前，外在信息进入观念在后。因为，如果没有知识框架的特征作为比照对象，外在信息是无意义的，不能构成支点式信息。这就是哲学上的“观察渗透理论”的原因。当然，这是哲学上的一个极深的话题，笔者比较倾向康德的知性理论[2]），将它们组织成支点式信息，进而获得结构轮廓。第二，在知识框架与信息轮廓之间进行匹配时，也需要意识机能中的数学观念，对信息轮廓中的信息元素或项目，或信息生成的子结构与知识框架中的对应物匹配与否，做出判断与选择。
可以这么说，在数学问题解决的过程中，学生的意识机能必须经历类似数学知识的首要发现者所进行的各种各样的试验探究活动。这种活动并不是重走弯路和完全重新来过，而是教师结合数学史实恰当地引导学生，将外在的数学材料“数学化”并且抽象成有具体逻辑结构的数学知识结论。学生正是在一系列的数学活动过程中，思维方式得到磨炼，意识结构得到砥砺，学习兴趣得到培养，体会到了由外在数学材料到系统数学知识的过程。并且，学生在解决数学问题的过程中，体会到了从拔剑四顾的迷茫、举步维艰的困惑、欲行又止的难局[3]中摆脱出来的那种酸甜苦辣。学生获得的这种体验就从智力活动领域进入了非智力活动领域，知识水平得到了提高，学习兴趣也得到了培养。那么，教师在设计数学解题活动的过程中要注意哪些问题呢？ 三、数学教学设计应把握教师给予与学生创生的平衡
如何将套用信息的知识框架从认知层面而非记忆层面教授给学生，这是教师在进行教学设计时遇到的难点。当学生面临一个全新的数学问题情境时束手无策，无法从自己的意识阈中提取相关的知识框架。那么，教师是直接将这种知识框架灌输给学生，还是引导学生从自己的意识阈中自主地、创造性地生成新的知识框架呢？这一问题的答案将深刻影响数学课程资源的教育价值对学生全面发展起到的作用。这就要求教师在进行数学教学设计时，能够处理好教师给予与学生创生之间的关系，使两者达到一种动态平衡。
1.教师给予过度的弊端
回到问题1的教学，教材在编排与呈现方面已经给出了“倒数变换”这种应对问题信息的知识框架。但是，教师应通过怎样的教学预设，将这种知识框架潜移默化地内化到学生原有的认知结构中，成为一个容量更为庞大的认知结构呢？
在教学设计之初，有的教师在某种程度上会出现一种状态，在心理学上称之为“自我中心”。顾名思义，“自我中心”是指一个人只从自己所处的位置与角度，以自己的思维方式来看世界。唐纳德逊指出，对一件事情知道得越清楚，那么根据自己的知识而以自我为中心去行动的危险性也就越大，至少在这方面，教师与学生之间的差距越大，教学工作就越难做[4]。教师有教辅资料辅助，又能提前备课，对所要传授和套用的外在信息知识框架了如指掌，可能会有“自我中心”的心理。有的教师就会自动调节，与学生“心理换位”。
就问题1而言，第一种教学设计，就是教师的“自我中心”倾向的表现。教师将“倒数变换”这种教材直接呈现的问题解决的关键性思维环节与知识框架，直接地“给予”学生，这从本质上来说，是教师将未加工的数学知识强加给学生，将解决问题的过程化为教师给定的模型，学生机械复述并套用模型，学生的数学活动就是为了不断巩固强化解决此类问题的产生式系统，只能依靠题海战术强化训练等机械性的手段，巩固自己从教师那里“拿来”的知识，进而熟化知识。从心理学意义上说，学生的意识机能并未主动地去创造新知识，这种教学设计不太理想。
2.学生创生过度的弊端
以杜威为代表的现代教育学派提出的“儿童中心”“活动中心”“经验中心”理论，对现代教育的改革影响深远。数学新课程的理念深受此理论影响。在数学教学中，教师若能够依据学生已有的知识水平、认知水平、思维方式，结合外在问题材料的表象特征，引导学生自行解构、筛选、组合，创造一套适用于问题信息与问题解决的知识框架，这就是数学教学所能达到的完美状态。因为在这个过程中，知识并不是对间接经验的简单复刻，而是经由学生的智力活动在原有认知结构的基础上生长出新的要素。这个过程的完成，学生的创生也就自然而然地完成了。只有充分发挥主体对创生的能动性，将被迫记忆转换成主动学习，才能真正实现数学教育的育人目标。
然而，从实际教学的执行角度出发，如果教师将每一个知识点都抛给学生，让其经历还原、展开、重演与再现的全过程，是不现实的，于教师、学生而言甚至是有害的。它描述的只是一种理想化的情境，或者说是一种前进的方向，受教育普及、升学压力等因素的影响，在一些班级课堂教学中基本没有实施的可能性与现实条件。
这是数学新课程实施中遭到最多诘难的地方，应该引起我们的高度重视与倍加警惕。我们在教学设计或在课堂教学中，一定要发挥教师的主导作用，不能无限制地让学生去体验、去创生，而是要找到合适的手段，引领学生进行发现与创造，不能弱化教师的主导性。教师要清楚地知道什么时候要对学生的探究活动进行合适的干预，不能一味地让学生去发现数学知识，否则将会降低课堂教学效率。
第二种教学设计，就是教师放手让学生进行创造的设想，学生用自己掌握的比较两个实数大小的方法进行一一试探。然而，最后教师要么没有脱离第一种教学设计，重复了第一种教学设计的痼疾，要么偏离了编者设定的教学目标。于是，学生只能强化一次比较两个实数大小的方法和已经掌握了的观念。由于解题不成功，不仅课堂教学效率极低，而且使学生丧失了情感体验，最终的结果依然是教师将知识强加于学生。
笔者认为这种教学设计是比较不理想的设计。因为，第一种教学设计虽然略去了教师带领学生探索的过程，直接给出问题的解决模式与通路，但是这种方式可能既能帮助学生拓展解决问题的思维模式，又能让学生体验解数学题的对称之美，使学生获得较高的自我成就感，继而将“倒数变换”的观念深深烙印在自己的脑海中，而且教师的这种做法也会为课堂节省大量的时间，从而教师可以带领学生进行巩固性的训练。通过知识复述与运算训练，教师的言传身教使学生认清前进的方向和掌握解题的方法，使学生对教师产生了正面的情感依附，他们便能亲其师信其道。传统的讲授法绝大部分使用了这种教学设计的形式。教师长期与学生相处的结果是，学生对教师可能言听计从，因为他们总是能从教师那里得到帮助。尽管从长远角度考虑，这种教学方式虽然可能会弱化学生意识机能的创造性与生成性，但能够使学生掌握较为扎实的基础知识，功利性目的得到满足。
对于第二种教学设计，在真实的课堂教学中，我们发现不只是个别教师如此处理：“请同学们思考与探究这一道题，或者是分小组讨论这一道题，15分钟后汇报探究的结果。”教师在课堂上巡回指导。对此，我们通过调研发现，在学生的心目中，教师只不过是“等着汇报，无所事事”。有的学生认为，教师不是认真想办法帮助他们学好数学，使他们尽快地弄懂数学知识，而是敷衍塞责，继而学生有可能将对教师的负面情绪转移到对数学这门课上来。
王策三先生說，个体认识不同于人类历史总体认识，个体的认识不是从零开始，不是从头做起。除了运用自己已有的实践认识成果，还可以依靠前人的实践认识成果[5]。毛泽东也指出，“一切真知都是从直接经验发源的。但人不能事事直接经验，事实上多数的知识都是间接经验的东西，这就是一切古代和外域的知识。这些知识在古人在外人是直接经验的东西”[6]。实践证明，这种教学认识论的确是金玉良言。这就要求我们在进行数学教学设计时，要处理好给予与生成的关系。 3.教师给予与学生创生的平衡
在数学教学中，教师如何从知识发生的主体，即学生的角度出发，平衡两者的关系，以培养学生意识机能的创造性与生成性呢？这对教师的个人职业素养与教学水平提出了较高的要求。教师给予与学生创生应是一种平衡的关系，这种平衡对数学新课程实施成败至关重要。有的数学课程让学生过度发现，教学效率低下，导致学生基础知识不牢，反而使学生失去了创造性的基础，造成了揠苗助长、欲速则不达的结果。那么，如何平衡这两者之间的关系呢？
笔者认为，要找到这种平衡，离不开教师一系列的创造性工作，对数学知识的教学是重中之重。依据弗赖登塔尔的再创造思想，学生在教师的引导下经历将数学知识还原、展开、重演、再现等过程，经历知识的发生过程，有利于暴露数学知识生成时学生的心理认知与思维过程。教师在众多知识发生过程的教学途径中进行比较、辨析，有效地达成数学教学目标，不浪费课堂教学时间，通过学生参与数学知识的再创造过程，促进学生创造性与生成性的产生，实现高效教学的模式。
打开与浓缩是找到教师给予与学生创生之间平衡的基础，也是数学教学设计极富创造性的地方。它要求教师至少考虑以下四个方面：第一，教师拟订达到的教学目标；第二，数学知识结构性与出现的时序性；第三，学生已掌握的知识结构特征；第四，学生知识发生的心理特征（观念的生成与再生）。它是我们要讨论的另一个数学教学设计课题，这里不必深究。我们在教学实践中通过问题1可以直观地看到教师对这类问题的处理。
在第三种教学设计中，教师首先提出了学生熟悉的“有理化”思想，并将其作为解决问题的知识基础，获得了问题解决的思路；再抛砖引玉，结合“有理化”观念再生“倒数变换”观念。这种教学设计运用了“观念提示观念，模式生成模式”的手段，找到了数学知识新框架产生的立足点，避免了学生创生时的无限倒退寻找心理起点的过程。它既没有将套用问题信息的思维环节直接“奉献”给学生，又避免学生做无用功来进行自我构建，良性地促进了学生的意识机能创造性的发生。教师精准地把握了这两者之间的平衡，达到了理想的教学效果。
四、简要的结论
由此，我们可以得到这样的结论：教师在进行数学教学设计时，如果能把握好教师给予与学生创生的平衡，将能实现意识机能创造性的目标，又能实现高效数学课堂教学。在对数学新课程进行总结与反思的今天，把握好教师给予与学生创生之间的平衡，应引起我們的高度重视。
参考文献：
[1]张昆.数学解题教学设计的创新实践研究：基于“美学”的视点[J].数学教育学报，2015（5）：4145.
[2]康德.纯粹理性批判[M].蓝公武，译.北京：三联书店，1957.
[3]张昆.证明不是“神来之笔”[J].数学教学，2006（6）：2124.
[4]唐纳德逊.儿童的智力[M].北京：教育科学出版社，1982.
[5]王策三.认真对待“轻视知识”的教育思潮：再评由“应试教育”向素质教育转轨提法的讨论[J].北京大学教育评论，2004（3）：523.
[6]毛泽东.毛泽东选集（第一卷）[M].北京：人民出版社，1991.
【关键词】数学问题；问题解决；教学设计；教师给予；学生创生
一、从一个实际数学问题解决的教学课例中提出问题
笔者曾经就数学问题解决的思想与方法，对2016年安徽省农村初中小学骨干数学教师“国培计划”的培训教师进行调查。调查的题目及调查结果如下。
问题1：比较15-11①与11-7②的大小。
笔者模仿教师指导用书的形式，提示了一种解题思路：分别取①②两式的倒数进行“倒数变换”。此举的目的是借助问题1使教师在备课过程中能有自己的思考，找到渗透“倒数变换”的切入点，从而有效地完成启发学生发现这道题的解法的教学任务。笔者通过认真分析、整理其中的39份有效作业后发现，这39位教师所准备的教学预案，大致可划分成三种典型的课堂教学活动流程。
第一种，教师不加变化地依据提示的方法形成解决问题的逻辑过程。第二种，教师在教学准备中对问题1进行思考时，希望学生自己找到一种方法，即设法启发学生从心理上萌生由问题1所负载的“倒数变换”的数学观念，先试探作差、作商，或先将①②两式平方之后，再通过作差、作商等手段进行探究。但由于这些方法的运算量较大，有一部分教师又回到了第一种设计的方法上，其他教师的教学设计偏离了笔者的意图。第三种，上乘的教学设计应在找到恰当的切入点后，使 “倒数变换”观念在学生的认知过程中从心理层面自觉地发生。下面是笔者依据第三种教师教学设计预案进行教学的课堂活动片段。
师：我们在学习二次根式化简时，“有理化”的方法往往值得一试。这种方法对问题1的解决有帮助吗？
师：这位同学很好地解决了问题。但是，你还留下了一个令人疑惑的环节，即为什么从⑤式的条件就能够得到⑥式的结论呢？你可否更清楚地对你的想法进行解释，使我们彻底明白其中的道理？
追踪问题解答过程的严格逻辑表达，是经过多年的数学学习的学生的自觉行为，故经由教师的简单点拨，学生就会由“有理化”观念生成处理这类问题的“倒数变换”观念。因此，后面的教学流程这里就略去了。那么，这个课例的教学活动是依据怎样的教学理念而展开教学设计的呢？
二、由数学问题形成知识结构的心理过程的一种解释
在具体论述教授知识与生成知识的关系之前，首先要把握好外在数学材料内化为数学结构的过程：主体基于先前的学习，将已经掌握的一定的数学知识及其产生这些数学知识的数学观念加以整合，为在今后遇到新问题时萌生新的数学观念奠定基础。因此，主体生成新的知识框架后就可以利用这一新工具来处理新环境中的新信息了。
一般而言，当学生面临一个全新的问题时，他们会对问题提供的信息感到手忙脚乱，难以理出头绪。学生凭感官不可能辨别问题中的有用信息，更难以将这些信息组织成有用的关联信息轮廓。于是，要达到真正解决问题的目的，学生就必须基于已经掌握了的知识框架，筛选诸多由问题素材中的外在信息与附加的主观信息中的一项或几项信息相关联形成的支点信息。
基于主体的已有观念，数学化外在问题信息形成支点信息后，主体的意识机能依据这一支点信息，从诸多的依附在数学观念上的知识框架中，筛选出一个具体的知识框架，以此为主干，吸附问题提供的明显或暗含的外围信息，形成一个较为松散的轮廓。在數学观念的一系列梳理、选择、整合操作后，经由语言符号将之外化，初步形成了相对松散的、有序的结构轮廓。
在信息轮廓形成后，问题解决主体的意识机能针对信息轮廓与数学知识框架进行内在的心理操作，以确定两者的组合能否完好地解决问题。首先，主体意识机能将对信息轮廓的组成元素进行审查，以确保其完整性；其次，意识机能将信息轮廓与数学知识框架解构，检测其对应的元素能否匹配一致。如果这两项条件都得到满足，问题就解决了。如果不满足，已生成的信息轮廓失效，于是分解成基本信息，意识机能重新对外在问题或材料深度挖掘，并数学化得到新的未被发现的信息，两者结合以调整信息轮廓来匹配知识框架。如果依旧无法匹配，主体将考虑更换支点信息与知识框架，重构信息轮廓，再进行匹配，循环往复，直到问题得到解决（如图1）[1]。
通过暴露学生对数学知识结构生成的心理活动全过程，我们可以发现，感官所获得的对材料信息的感觉只是解决问题时的入门向导，经由它只能获得外在的一些感性认识，仅仅停留于问题的表象，无法深入本质进行研究。因此，只有将感性认识上升到理性认识，才有助于数学问题的解决。解决问题中的每一个步骤，主体现阶段的理性认知都参与其中，且利用主体已经拥有的知识框架与思维方式作用于问题信息，这一系列要素的整合在解决问题过程中起着极其重要的作用。
第一，观念系统调用自己的知识框架的某些特征，在问题所提供的外在信息中，找出与知识框架的这些特征相同（或相似）的信息特征（笔者认为，观念调用知识框架的特征在前，外在信息进入观念在后。因为，如果没有知识框架的特征作为比照对象，外在信息是无意义的，不能构成支点式信息。这就是哲学上的“观察渗透理论”的原因。当然，这是哲学上的一个极深的话题，笔者比较倾向康德的知性理论[2]），将它们组织成支点式信息，进而获得结构轮廓。第二，在知识框架与信息轮廓之间进行匹配时，也需要意识机能中的数学观念，对信息轮廓中的信息元素或项目，或信息生成的子结构与知识框架中的对应物匹配与否，做出判断与选择。
可以这么说，在数学问题解决的过程中，学生的意识机能必须经历类似数学知识的首要发现者所进行的各种各样的试验探究活动。这种活动并不是重走弯路和完全重新来过，而是教师结合数学史实恰当地引导学生，将外在的数学材料“数学化”并且抽象成有具体逻辑结构的数学知识结论。学生正是在一系列的数学活动过程中，思维方式得到磨炼，意识结构得到砥砺，学习兴趣得到培养，体会到了由外在数学材料到系统数学知识的过程。并且，学生在解决数学问题的过程中，体会到了从拔剑四顾的迷茫、举步维艰的困惑、欲行又止的难局[3]中摆脱出来的那种酸甜苦辣。学生获得的这种体验就从智力活动领域进入了非智力活动领域，知识水平得到了提高，学习兴趣也得到了培养。那么，教师在设计数学解题活动的过程中要注意哪些问题呢？ 三、数学教学设计应把握教师给予与学生创生的平衡
如何将套用信息的知识框架从认知层面而非记忆层面教授给学生，这是教师在进行教学设计时遇到的难点。当学生面临一个全新的数学问题情境时束手无策，无法从自己的意识阈中提取相关的知识框架。那么，教师是直接将这种知识框架灌输给学生，还是引导学生从自己的意识阈中自主地、创造性地生成新的知识框架呢？这一问题的答案将深刻影响数学课程资源的教育价值对学生全面发展起到的作用。这就要求教师在进行数学教学设计时，能够处理好教师给予与学生创生之间的关系，使两者达到一种动态平衡。
1.教师给予过度的弊端
回到问题1的教学，教材在编排与呈现方面已经给出了“倒数变换”这种应对问题信息的知识框架。但是，教师应通过怎样的教学预设，将这种知识框架潜移默化地内化到学生原有的认知结构中，成为一个容量更为庞大的认知结构呢？
在教学设计之初，有的教师在某种程度上会出现一种状态，在心理学上称之为“自我中心”。顾名思义，“自我中心”是指一个人只从自己所处的位置与角度，以自己的思维方式来看世界。唐纳德逊指出，对一件事情知道得越清楚，那么根据自己的知识而以自我为中心去行动的危险性也就越大，至少在这方面，教师与学生之间的差距越大，教学工作就越难做[4]。教师有教辅资料辅助，又能提前备课，对所要传授和套用的外在信息知识框架了如指掌，可能会有“自我中心”的心理。有的教师就会自动调节，与学生“心理换位”。
就问题1而言，第一种教学设计，就是教师的“自我中心”倾向的表现。教师将“倒数变换”这种教材直接呈现的问题解决的关键性思维环节与知识框架，直接地“给予”学生，这从本质上来说，是教师将未加工的数学知识强加给学生，将解决问题的过程化为教师给定的模型，学生机械复述并套用模型，学生的数学活动就是为了不断巩固强化解决此类问题的产生式系统，只能依靠题海战术强化训练等机械性的手段，巩固自己从教师那里“拿来”的知识，进而熟化知识。从心理学意义上说，学生的意识机能并未主动地去创造新知识，这种教学设计不太理想。
2.学生创生过度的弊端
以杜威为代表的现代教育学派提出的“儿童中心”“活动中心”“经验中心”理论，对现代教育的改革影响深远。数学新课程的理念深受此理论影响。在数学教学中，教师若能够依据学生已有的知识水平、认知水平、思维方式，结合外在问题材料的表象特征，引导学生自行解构、筛选、组合，创造一套适用于问题信息与问题解决的知识框架，这就是数学教学所能达到的完美状态。因为在这个过程中，知识并不是对间接经验的简单复刻，而是经由学生的智力活动在原有认知结构的基础上生长出新的要素。这个过程的完成，学生的创生也就自然而然地完成了。只有充分发挥主体对创生的能动性，将被迫记忆转换成主动学习，才能真正实现数学教育的育人目标。
然而，从实际教学的执行角度出发，如果教师将每一个知识点都抛给学生，让其经历还原、展开、重演与再现的全过程，是不现实的，于教师、学生而言甚至是有害的。它描述的只是一种理想化的情境，或者说是一种前进的方向，受教育普及、升学压力等因素的影响，在一些班级课堂教学中基本没有实施的可能性与现实条件。
这是数学新课程实施中遭到最多诘难的地方，应该引起我们的高度重视与倍加警惕。我们在教学设计或在课堂教学中，一定要发挥教师的主导作用，不能无限制地让学生去体验、去创生，而是要找到合适的手段，引领学生进行发现与创造，不能弱化教师的主导性。教师要清楚地知道什么时候要对学生的探究活动进行合适的干预，不能一味地让学生去发现数学知识，否则将会降低课堂教学效率。
第二种教学设计，就是教师放手让学生进行创造的设想，学生用自己掌握的比较两个实数大小的方法进行一一试探。然而，最后教师要么没有脱离第一种教学设计，重复了第一种教学设计的痼疾，要么偏离了编者设定的教学目标。于是，学生只能强化一次比较两个实数大小的方法和已经掌握了的观念。由于解题不成功，不仅课堂教学效率极低，而且使学生丧失了情感体验，最终的结果依然是教师将知识强加于学生。
笔者认为这种教学设计是比较不理想的设计。因为，第一种教学设计虽然略去了教师带领学生探索的过程，直接给出问题的解决模式与通路，但是这种方式可能既能帮助学生拓展解决问题的思维模式，又能让学生体验解数学题的对称之美，使学生获得较高的自我成就感，继而将“倒数变换”的观念深深烙印在自己的脑海中，而且教师的这种做法也会为课堂节省大量的时间，从而教师可以带领学生进行巩固性的训练。通过知识复述与运算训练，教师的言传身教使学生认清前进的方向和掌握解题的方法，使学生对教师产生了正面的情感依附，他们便能亲其师信其道。传统的讲授法绝大部分使用了这种教学设计的形式。教师长期与学生相处的结果是，学生对教师可能言听计从，因为他们总是能从教师那里得到帮助。尽管从长远角度考虑，这种教学方式虽然可能会弱化学生意识机能的创造性与生成性，但能够使学生掌握较为扎实的基础知识，功利性目的得到满足。
对于第二种教学设计，在真实的课堂教学中，我们发现不只是个别教师如此处理：“请同学们思考与探究这一道题，或者是分小组讨论这一道题，15分钟后汇报探究的结果。”教师在课堂上巡回指导。对此，我们通过调研发现，在学生的心目中，教师只不过是“等着汇报，无所事事”。有的学生认为，教师不是认真想办法帮助他们学好数学，使他们尽快地弄懂数学知识，而是敷衍塞责，继而学生有可能将对教师的负面情绪转移到对数学这门课上来。
王策三先生說，个体认识不同于人类历史总体认识，个体的认识不是从零开始，不是从头做起。除了运用自己已有的实践认识成果，还可以依靠前人的实践认识成果[5]。毛泽东也指出，“一切真知都是从直接经验发源的。但人不能事事直接经验，事实上多数的知识都是间接经验的东西，这就是一切古代和外域的知识。这些知识在古人在外人是直接经验的东西”[6]。实践证明，这种教学认识论的确是金玉良言。这就要求我们在进行数学教学设计时，要处理好给予与生成的关系。 3.教师给予与学生创生的平衡
在数学教学中，教师如何从知识发生的主体，即学生的角度出发，平衡两者的关系，以培养学生意识机能的创造性与生成性呢？这对教师的个人职业素养与教学水平提出了较高的要求。教师给予与学生创生应是一种平衡的关系，这种平衡对数学新课程实施成败至关重要。有的数学课程让学生过度发现，教学效率低下，导致学生基础知识不牢，反而使学生失去了创造性的基础，造成了揠苗助长、欲速则不达的结果。那么，如何平衡这两者之间的关系呢？
笔者认为，要找到这种平衡，离不开教师一系列的创造性工作，对数学知识的教学是重中之重。依据弗赖登塔尔的再创造思想，学生在教师的引导下经历将数学知识还原、展开、重演、再现等过程，经历知识的发生过程，有利于暴露数学知识生成时学生的心理认知与思维过程。教师在众多知识发生过程的教学途径中进行比较、辨析，有效地达成数学教学目标，不浪费课堂教学时间，通过学生参与数学知识的再创造过程，促进学生创造性与生成性的产生，实现高效教学的模式。
打开与浓缩是找到教师给予与学生创生之间平衡的基础，也是数学教学设计极富创造性的地方。它要求教师至少考虑以下四个方面：第一，教师拟订达到的教学目标；第二，数学知识结构性与出现的时序性；第三，学生已掌握的知识结构特征；第四，学生知识发生的心理特征（观念的生成与再生）。它是我们要讨论的另一个数学教学设计课题，这里不必深究。我们在教学实践中通过问题1可以直观地看到教师对这类问题的处理。
在第三种教学设计中，教师首先提出了学生熟悉的“有理化”思想，并将其作为解决问题的知识基础，获得了问题解决的思路；再抛砖引玉，结合“有理化”观念再生“倒数变换”观念。这种教学设计运用了“观念提示观念，模式生成模式”的手段，找到了数学知识新框架产生的立足点，避免了学生创生时的无限倒退寻找心理起点的过程。它既没有将套用问题信息的思维环节直接“奉献”给学生，又避免学生做无用功来进行自我构建，良性地促进了学生的意识机能创造性的发生。教师精准地把握了这两者之间的平衡，达到了理想的教学效果。
四、简要的结论
由此，我们可以得到这样的结论：教师在进行数学教学设计时，如果能把握好教师给予与学生创生的平衡，将能实现意识机能创造性的目标，又能实现高效数学课堂教学。在对数学新课程进行总结与反思的今天，把握好教师给予与学生创生之间的平衡，应引起我們的高度重视。
参考文献：
[1]张昆.数学解题教学设计的创新实践研究：基于“美学”的视点[J].数学教育学报，2015（5）：4145.
[2]康德.纯粹理性批判[M].蓝公武，译.北京：三联书店，1957.
[3]张昆.证明不是“神来之笔”[J].数学教学，2006（6）：2124.
[4]唐纳德逊.儿童的智力[M].北京：教育科学出版社，1982.
[5]王策三.认真对待“轻视知识”的教育思潮：再评由“应试教育”向素质教育转轨提法的讨论[J].北京大学教育评论，2004（3）：523.
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