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由于概率贴近生活,应用广泛,与其它知识的交汇密切,因此成了高考中的热点问题.对概率的学习,首先要理解概率的有关概念,熟悉常见的概率类型,熟练掌握概率的相关计算公式和基本方法;其次要根据题目背景准确判定概率类型、事件之间的相互关系、随机变量服从哪种分布,从而正确选择相应概率公式进行计算;另外解答概率应用题要严格按照应用题的解题要求规范答题.下面谈谈如何求解概率应用题.
一、古典概型应用题
【例1】如果下了课以后,教室里最后还剩下2位男同学,3位女同学.一会儿又走了一位女同学,如果没有两位同学一块儿走,则第二位是男同学走的概率是多少?
【解】已知走了一位女同学,还有两位女同学和两位男同学,所有走的可能顺序构成基本事件空间{(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男)},所以共有6个基本事件,而第二位走的是男同学为事件A,事件A共有基本事件3个,所以第二位是男同学走的概率为P(A)=36=12.
【点评】利用古典概型的计算公式时应注意两点:(1)所有的基本事件必须是互斥的;(2)求事件所包含的基本事件数时,要做到不重不漏.
【例2】现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.
【分析】(1)为返回抽样;(2)为不返回抽样.
【解】(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10×10×10=103种;设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此,P(A)= 83103=0.512.
(2)解法1:可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=336720≈0.467.
解法2:可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10×9×86=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8×7×66=56,因此P(B)=56120≈0.467.
【点评】关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.
反思小结:解古典概率型题,要分清什么是基本事件空间,基本事件的个数,某事件所含基本事件的个数.
二、几何概型应用题
由于几何概型具有无限性和等可能性这两个特点,因此几何概型的求解与古典概型的求解思路是一样的,都属于比例解法。几何概型常见的题型有“长度型”、“面积型”、“体积型”三种类型.
【例4】已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内,如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在49附近,那么点A和点C到直线BD的距离之比约为 .
答案:54.
【点评】通过面积型几何概型求得.
反思小结:解决几何概型的问题一般有以下四步:
(1)构设变量. 从问题情景中,发现哪两个量是随机的;(2)集合表示.可用相应的集合分别表示出试验全部结果D和事件d所包含试验结果;(3)作出区域. 长度、面积、体积;(4)计算求解. 根据几何概型的公式,易从比值求得.
三、概率与其它知识的交汇
1.与线性规划交汇
【例5】将长为l的棒随机折成3段,求3段构成三角形的概率.
【解】 设A=“3段构成三角形”,x,y分别表示其中两段的长度,则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={(x,y)|0 要使3段构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第3段,即x+y>l-x-yx+y>l2,x+l-x-y>yyxx 故所求结果构成集合A={(x,y)|x+y>l2,y 由图可知,所求概率为P(A)=12•(l2)2l22=14.
2.与二次方程的交汇
【例6】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(Ⅰ)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
【解】(Ⅰ)基本事件总数为6×6=36,若使方程有实根,则Δ=b2-4c≥0,即b≥2c.
当c=1时,b=2,3,4,5,6;当c=2时,b=3,4,5,6;当c=3时,b=4,5,6;当c=4时,b=4,5,6;当c=5时,b=5,6;当c=6时,b=5,6.目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19,因此方程x2+bx+c=0 有实根的概率为1936.
(Ⅱ)由题意知,ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=1736,P(ξ=1)=236=118,P(ξ=2)=1736,故ξ的分布列为:
ξ012
P17361181736
ξ的数学期望:
Eξ=0×1736+1×118+2×1736=1.
(Ⅲ)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,“方程ax2+bx+c=0 有实根” 为事件N,则P(M)=1136,P(MN)=736,P(NM)=P(MN)P(M)=711.
【点评】条件概率中注意公式的应用.
3. 与统计的交汇
【例7】甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【解】(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下:
ξ0123
P1303101216
甲答对试题数ξ的数学期望:Eξ=0×130+1×310+2×12+3×16=95.
(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则P(A)=C26C14+C36C310=60+20120=23,
P(B)=C28C12+C38C310=56+56120=1415.因为事件A、B相互独立,
方法一:∵甲、乙两人考试均不合格的概率为:P(A•B)=P(A)P(B)=(1-23)(1-1415)=145.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为:P=1-P(A•B)=1-145=4445.
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.
方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为:
P=P(A•B)+P(A•B)+P(A•B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)
=23×115+13×1415+23×1415=4445.
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.
4.与向量的交汇
【例8】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈0,π2的概率是 .
【解】由向量夹角的定义,图形直观可得,当点A(m,n)位于直线y=x上及其下方时,满足θ∈0,π2,点A(m,n)的总个数为6×6个,而位于直线y=x上及其下方的点A(m,n)有6+1+C12+C13+C14+C15=21个,故所求概率=2136=712,答案:712.
5.与平面图形的交汇
【例9】如图,面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形ABCD中随机投掷n个点,若n个点中有m个点落入M中,则M的面积的估计值为mnS. 假设正方形ABCD的边长为2,M的面积为1,并向正方形ABCD中随机投掷10000个点,以X表示落入M中的点的数目.
(Ⅰ)求X的均值EX;
(Ⅱ)求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.
附表:P(k)=∑kt=0Ct10000×0.25t×0.7510000-t
k2424242525742575
P(k)0.04030.04230.95700.9590
【解】每个点落入M中的概率均为p=14.依题意知X~B(10000,14).
(Ⅰ)EX=10000×14=2500.
(Ⅱ)依题意所求概率为P-0.03 P-0.03 =∑2574t=2426Ct10000×0.25t×0.7510000-t-∑2425t=0Ct10000×0.25t×0.7510000-1
=0.9570-0.0423=0.9147.
反思小结:在知识交汇处命制高考题已成为热点和方向,要求同学们除熟练运用有关概念外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解题的速度.
总之,古典概型问题,特别强调试验结果的有限性和等可能性,在计算基本事件总m和可能事件中的基本事件数n时,应注意前后标准的一致性;几何概型问题,复习时要特别注意如下几个问题:第一点,哪些概率问题是几何概型问题?第二点,D和d的测度是会么样的几何量?第三点,概率知识与近似计算、函数与方程、解几等知识的联系.
一、古典概型应用题
【例1】如果下了课以后,教室里最后还剩下2位男同学,3位女同学.一会儿又走了一位女同学,如果没有两位同学一块儿走,则第二位是男同学走的概率是多少?
【解】已知走了一位女同学,还有两位女同学和两位男同学,所有走的可能顺序构成基本事件空间{(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男)},所以共有6个基本事件,而第二位走的是男同学为事件A,事件A共有基本事件3个,所以第二位是男同学走的概率为P(A)=36=12.
【点评】利用古典概型的计算公式时应注意两点:(1)所有的基本事件必须是互斥的;(2)求事件所包含的基本事件数时,要做到不重不漏.
【例2】现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.
【分析】(1)为返回抽样;(2)为不返回抽样.
【解】(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10×10×10=103种;设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此,P(A)= 83103=0.512.
(2)解法1:可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=336720≈0.467.
解法2:可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10×9×86=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8×7×66=56,因此P(B)=56120≈0.467.
【点评】关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.
反思小结:解古典概率型题,要分清什么是基本事件空间,基本事件的个数,某事件所含基本事件的个数.
二、几何概型应用题
由于几何概型具有无限性和等可能性这两个特点,因此几何概型的求解与古典概型的求解思路是一样的,都属于比例解法。几何概型常见的题型有“长度型”、“面积型”、“体积型”三种类型.
【例4】已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内,如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在49附近,那么点A和点C到直线BD的距离之比约为 .
答案:54.
【点评】通过面积型几何概型求得.
反思小结:解决几何概型的问题一般有以下四步:
(1)构设变量. 从问题情景中,发现哪两个量是随机的;(2)集合表示.可用相应的集合分别表示出试验全部结果D和事件d所包含试验结果;(3)作出区域. 长度、面积、体积;(4)计算求解. 根据几何概型的公式,易从比值求得.
三、概率与其它知识的交汇
1.与线性规划交汇
【例5】将长为l的棒随机折成3段,求3段构成三角形的概率.
【解】 设A=“3段构成三角形”,x,y分别表示其中两段的长度,则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={(x,y)|0
2.与二次方程的交汇
【例6】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(Ⅰ)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
【解】(Ⅰ)基本事件总数为6×6=36,若使方程有实根,则Δ=b2-4c≥0,即b≥2c.
当c=1时,b=2,3,4,5,6;当c=2时,b=3,4,5,6;当c=3时,b=4,5,6;当c=4时,b=4,5,6;当c=5时,b=5,6;当c=6时,b=5,6.目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19,因此方程x2+bx+c=0 有实根的概率为1936.
(Ⅱ)由题意知,ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=1736,P(ξ=1)=236=118,P(ξ=2)=1736,故ξ的分布列为:
ξ012
P17361181736
ξ的数学期望:
Eξ=0×1736+1×118+2×1736=1.
(Ⅲ)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,“方程ax2+bx+c=0 有实根” 为事件N,则P(M)=1136,P(MN)=736,P(NM)=P(MN)P(M)=711.
【点评】条件概率中注意公式的应用.
3. 与统计的交汇
【例7】甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【解】(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下:
ξ0123
P1303101216
甲答对试题数ξ的数学期望:Eξ=0×130+1×310+2×12+3×16=95.
(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则P(A)=C26C14+C36C310=60+20120=23,
P(B)=C28C12+C38C310=56+56120=1415.因为事件A、B相互独立,
方法一:∵甲、乙两人考试均不合格的概率为:P(A•B)=P(A)P(B)=(1-23)(1-1415)=145.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为:P=1-P(A•B)=1-145=4445.
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.
方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为:
P=P(A•B)+P(A•B)+P(A•B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)
=23×115+13×1415+23×1415=4445.
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.
4.与向量的交汇
【例8】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈0,π2的概率是 .
【解】由向量夹角的定义,图形直观可得,当点A(m,n)位于直线y=x上及其下方时,满足θ∈0,π2,点A(m,n)的总个数为6×6个,而位于直线y=x上及其下方的点A(m,n)有6+1+C12+C13+C14+C15=21个,故所求概率=2136=712,答案:712.
5.与平面图形的交汇
【例9】如图,面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形ABCD中随机投掷n个点,若n个点中有m个点落入M中,则M的面积的估计值为mnS. 假设正方形ABCD的边长为2,M的面积为1,并向正方形ABCD中随机投掷10000个点,以X表示落入M中的点的数目.
(Ⅰ)求X的均值EX;
(Ⅱ)求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.
附表:P(k)=∑kt=0Ct10000×0.25t×0.7510000-t
k2424242525742575
P(k)0.04030.04230.95700.9590
【解】每个点落入M中的概率均为p=14.依题意知X~B(10000,14).
(Ⅰ)EX=10000×14=2500.
(Ⅱ)依题意所求概率为P-0.03
=0.9570-0.0423=0.9147.
反思小结:在知识交汇处命制高考题已成为热点和方向,要求同学们除熟练运用有关概念外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解题的速度.
总之,古典概型问题,特别强调试验结果的有限性和等可能性,在计算基本事件总m和可能事件中的基本事件数n时,应注意前后标准的一致性;几何概型问题,复习时要特别注意如下几个问题:第一点,哪些概率问题是几何概型问题?第二点,D和d的测度是会么样的几何量?第三点,概率知识与近似计算、函数与方程、解几等知识的联系.