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概率与统计是高中新教材新增添的内容,它与实际问题联系非常紧密.是大学统计学的基础,起承上启下的作用,因而是近年来高考考查的热点内容之一,也是每年高考必考内容之一,多以“一小一大”题形式出现,这类题贴近学生生活实际,立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息.其难度为中档题、容易题为主.其中小题主要考查统计初步(包括抽样方法、总体平均数与标准方差估计、总体分布的估计等),试题多为课本例题,习题拓展加工,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,体现了高考数学试卷新的设计理念,尊重不同考生个体思维的差异;而对概率(包括古典概型、几何概型、互斥事件和相互独立事件的概率、n次独立重复试验的概率等)的考查则以解答题形式出现.
本文就以概率与统计解题中几个常见的极易混淆的问题为例进行剖析,以期对同学们的复习有所帮助.
一 、错题剖析
类型一、古典概型中基本事件的个数计算问题,“等可能”与“非等可能”相混淆
例1 一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个,除颜色外完全相同,已知蓝色球3个,若从袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率是 16.(1)求红球个数;(2)将这三种颜色的球分别进行编号,并将1号红色球,1号白色球,2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一袋中,甲乙两人先后从这个袋中各取一个球(甲先取,取出不放回),求甲取出球的编号比乙的大的概率.
错解:(1)略.(2)基本事件总数为:甲先取球有4种,乙再取球有3种,故共有4×3=12种,事件“甲取出的球的编号比乙的大”为甲取2号和3号篮色球有两种方法,乙取1号红色或白色球有两种方法,故共有2×2=4种方法,所以所求概率为412=13.
正解:(1)设红色球有x个,依题意得x24=16,解得x=4,∴ 红色球有4个. (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A,所有基本事件有:(红1,白1),(红1,蓝2),(红1,蓝3),(白1,红1),(白1,蓝2),(白1,蓝3),(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝2,蓝3),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共12个;而事件A包含的基本事件有(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝3,蓝2),共5个;所以, P(A)=512.答:略.
小结:古典概型是比较重要的一种概率,难点是基本事件的个数n的求法,常常导致错误,若数目较少,可采用枚举法或二维数表、框图、树形图等帮助分析.
类型二、“互斥”、 “独立”与“对立”相混淆
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是什么事件?
错解:对立事件或相互独立事件;
正解:事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应是互斥但不对立事件.
小结:本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”及“独立”混同,概念不清楚.三者的联系与区别主要体现在:(1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件;(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生;(4)两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响,三者有本质的区别.
类型三、复杂事件进行分拆时发生错误
例3 甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决了这个问题的概率是 .
错解:因为恰好一个人解决这个问题,可能是甲,也可能为乙,二者互斥,所以选概率为P1+P2.
正解:恰好一人解决了问题,除了考虑一人解出问题同时另一人必须没有解决问题,二者要同时发生.本题需将此事件进行分拆为“甲解决乙没有”和“乙解决而甲没有”这两个互斥事件,而事件“甲解决乙没有”和“乙解决而甲没有”都是独立事件同时发生,因此正确答案是P1(1-P2)+P2(1-P1).
小结:(1)正确理解各种概率的内涵,求解的关键是识别其类型;
(2)要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积,或其对立事件.善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生k次的概率.
类型四、“条件概率”与“相互独立事件的概率”混淆
例4 袋中有6个黄色、4个白色小球,作不放回抽样,每次任取一球,取2次,求第二次才取到黄色球的概率.
错解:记“第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B|A)=69=23.
正解:P(C)= P(A•B)=P(A)P(B|A)=410×69=415.答:略.
小结:本题错误在于(1)审题不清,题目要求:第二次才取到黄色球的概率.(2)概念混淆,P(A•B)与P(B|A)的含义没有弄清, P(A•B)表示A与B同时发生的概率;而P(B|A)为作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率.(3)正确认识概率的类型是解决概率问题的关键.
类型五、求解抽样过程中个体被抽到的概率出错
例5 从2008个学生中选取100人志愿者,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2008人中剔除8人,剩下的2000人按年级分层抽样取出100人,则每人入选的概率为 .
错解:认为剔除8人,剩下的人被选的机会大,因此认为概率为120.
正解:事实上简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等可能事件的概率,每个个体在整个抽样过程中被抽到的概率是均等的,都是P(A)= mn,其中n为在一次实验中可能出现的结果个数,m为事件A包含的结果个数.即概率为501004.
二、牛刀小试
1.有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数,y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出:(1)试验的基本事件;(2)事件“出现点数之和大于3”.
2.射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环概率.
解答:1.解:(1)这个试验的基本事件为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
2.解:记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,“甲射击一次,命中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”为事件A+B,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.1=0.22.(2)∵“甲射击一次,至少命中7环”为事件A,∴P(A)=1-P(A)=1-0.1=0.9.答:略.
三、结束语
恩格斯曾经说过:“无论从哪方面学习,不如从自己所犯的错误的后果中学习来的快.”确实,错误是人生中最好的老师.希望同学们在高三的复习时能从题海中跳出,在错题中“淘金”.同学们,最重要的是找出产生错误的原因,及时进行归纳和总结,查漏补缺,提高解题能力.
本文就以概率与统计解题中几个常见的极易混淆的问题为例进行剖析,以期对同学们的复习有所帮助.
一 、错题剖析
类型一、古典概型中基本事件的个数计算问题,“等可能”与“非等可能”相混淆
例1 一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个,除颜色外完全相同,已知蓝色球3个,若从袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率是 16.(1)求红球个数;(2)将这三种颜色的球分别进行编号,并将1号红色球,1号白色球,2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一袋中,甲乙两人先后从这个袋中各取一个球(甲先取,取出不放回),求甲取出球的编号比乙的大的概率.
错解:(1)略.(2)基本事件总数为:甲先取球有4种,乙再取球有3种,故共有4×3=12种,事件“甲取出的球的编号比乙的大”为甲取2号和3号篮色球有两种方法,乙取1号红色或白色球有两种方法,故共有2×2=4种方法,所以所求概率为412=13.
正解:(1)设红色球有x个,依题意得x24=16,解得x=4,∴ 红色球有4个. (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A,所有基本事件有:(红1,白1),(红1,蓝2),(红1,蓝3),(白1,红1),(白1,蓝2),(白1,蓝3),(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝2,蓝3),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共12个;而事件A包含的基本事件有(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝3,蓝2),共5个;所以, P(A)=512.答:略.
小结:古典概型是比较重要的一种概率,难点是基本事件的个数n的求法,常常导致错误,若数目较少,可采用枚举法或二维数表、框图、树形图等帮助分析.
类型二、“互斥”、 “独立”与“对立”相混淆
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是什么事件?
错解:对立事件或相互独立事件;
正解:事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应是互斥但不对立事件.
小结:本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”及“独立”混同,概念不清楚.三者的联系与区别主要体现在:(1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件;(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生;(4)两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响,三者有本质的区别.
类型三、复杂事件进行分拆时发生错误
例3 甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决了这个问题的概率是 .
错解:因为恰好一个人解决这个问题,可能是甲,也可能为乙,二者互斥,所以选概率为P1+P2.
正解:恰好一人解决了问题,除了考虑一人解出问题同时另一人必须没有解决问题,二者要同时发生.本题需将此事件进行分拆为“甲解决乙没有”和“乙解决而甲没有”这两个互斥事件,而事件“甲解决乙没有”和“乙解决而甲没有”都是独立事件同时发生,因此正确答案是P1(1-P2)+P2(1-P1).
小结:(1)正确理解各种概率的内涵,求解的关键是识别其类型;
(2)要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积,或其对立事件.善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生k次的概率.
类型四、“条件概率”与“相互独立事件的概率”混淆
例4 袋中有6个黄色、4个白色小球,作不放回抽样,每次任取一球,取2次,求第二次才取到黄色球的概率.
错解:记“第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B|A)=69=23.
正解:P(C)= P(A•B)=P(A)P(B|A)=410×69=415.答:略.
小结:本题错误在于(1)审题不清,题目要求:第二次才取到黄色球的概率.(2)概念混淆,P(A•B)与P(B|A)的含义没有弄清, P(A•B)表示A与B同时发生的概率;而P(B|A)为作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率.(3)正确认识概率的类型是解决概率问题的关键.
类型五、求解抽样过程中个体被抽到的概率出错
例5 从2008个学生中选取100人志愿者,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2008人中剔除8人,剩下的2000人按年级分层抽样取出100人,则每人入选的概率为 .
错解:认为剔除8人,剩下的人被选的机会大,因此认为概率为120.
正解:事实上简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等可能事件的概率,每个个体在整个抽样过程中被抽到的概率是均等的,都是P(A)= mn,其中n为在一次实验中可能出现的结果个数,m为事件A包含的结果个数.即概率为501004.
二、牛刀小试
1.有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数,y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出:(1)试验的基本事件;(2)事件“出现点数之和大于3”.
2.射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环概率.
解答:1.解:(1)这个试验的基本事件为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
2.解:记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,“甲射击一次,命中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”为事件A+B,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.1=0.22.(2)∵“甲射击一次,至少命中7环”为事件A,∴P(A)=1-P(A)=1-0.1=0.9.答:略.
三、结束语
恩格斯曾经说过:“无论从哪方面学习,不如从自己所犯的错误的后果中学习来的快.”确实,错误是人生中最好的老师.希望同学们在高三的复习时能从题海中跳出,在错题中“淘金”.同学们,最重要的是找出产生错误的原因,及时进行归纳和总结,查漏补缺,提高解题能力.