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摘 要：长期以来，中学数学教学一直强调数学的严谨性，过分渲染演绎推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》要求发展学生的合情推理能力，笔者根据自己的教学经验和理解探讨如何提高学生的合情推理能力。
关键词：合情推理；转变思想观念；现实生活；演绎推理
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2008）07-0050-02
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对学生推理能力的要求是“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。所谓合情推理，就是根据已有事实、结果和自己的知识、经验，在某种情境和过程中对事物的发展趋势及发展规律，提出一种推测性的看法，这种思维方式就是合情推理。合情推理有三种主要表现形式：归纳推理、类比推理、统计推理。合情推理的作用主要表现在两个方面：一方面，合情推理能够加快学生对知识的掌握速度并提高质量。建构主义认为，课本知识只是一种解释，一种较为可靠的假设，学生对这些知识的学习并非是主体对客体的被动的镜面式反映，而是一个主动的建构过程，是在理解基础上对这些假设作出自己的检验和调整的过程。所以合情推理是数学建构的主体思维的关键步骤，是必不可少的思维方法，它可以促进知识的同化，加速知识的迁移。另一方面，合情推理有助于培养学生的创新精神和创新能力。合情推理的实质是“发现”，因此对学生的创新精神和创新能力的培养具有重要的作用。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起著重要作用，如哥德巴赫猜想、费尔马大定理的发现等。正因为合情推理对学生的学习和终身发展具有重要的作用，所以新课程改革把合情推理能力的培养作为一个加强的方面。
那么，我们应该怎样培养学生的合情推理能力呢？
一、教师要转变思想观念，重视合情推理的教学
长期以来，中学数学教学一直强调数学的严谨性，过分渲染演绎推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使教师和学生误认为数学就是一门纯粹的演绎科学，凡是结论，都必须要证明，不能有“猜想”，不允许“可能”，这在很大程度上束缚了教师的思想，扼杀了学生的合情推理欲望，使师生不敢“越雷池一步”。基于此，当前首要的任务就是广大教师要切实转变思想观念，认识到合情推理对学生数学学习和终身发展的重要性，从根本上重视合情推理的教学，具体做到认真钻研教材，多看、多练，善于总结各种解决问题的方法；不断加强自己的思维训练，使自己具有较强的基本功；不断探索培养学生合情推理能力的方法，总结经验。这样在平时的教学中才能积极创设条件，引导学生使用合情推理。
二、把合情推理的能力培养融合在各个知识领域的教学过程中
在“数与代数”、“空间与图形”、统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域都为学生发展合情推理能力提供了丰富的素材，以用字母表示数为例（包括大量的找规律的题目），需要依靠对具体的数的观察、比较、归纳上升到字母的高度，实现从特殊到一般的飞跃，这个思维过程中，几乎完全依靠合情推理；在空间与图形部分，学生也常常要运用观察、操作、猜想等各种合情推理的手段学习图形的性质；用样本估计整体实际上也属于合情推理（这种推理属于统计推理，与归纳推理和类比推理不同的是统计推理得到的结论无法用逻辑证明的方法检验，只能靠实践来证实）……这就需要我们恰当设计，把突出问题放在“需要”与“认知结构”矛盾的风口浪尖上，激发学生进行合情推理的欲望和热情；提供给学生足以探索的数学材料，合作交流的时间和空间，做好组织者、引导者、合作者；在课堂教学中，我们还应该重视学生的语言表达能力的培养，使学生能够把“高度情境性”的内部语言转化为数学语言，做到言之有理、落笔有据，“有条理地、清晰地阐述自己的观点”。
三、把合情推理和现实生活有机结合起来
这里有两层意思，一个意思是说，现实生活是丰富多彩的，其中有很多地方需要依靠合情推理来作出判断，这样的例子更容易激发学生合情推理的热情。我们要把握好这些机会，因势利导，提高学生的合情推理能力；第二个意思是说，学生在学习课本知识时，可以与生活经验相结合，不断把课本知识内化为自己的经验。例如用生活经验“一个人从A点出发，先向正东走5千米，又向正西走3千米，结果为向正东走了2千米”来解释有理数的加法法则中“异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小的绝对值作为和的绝对值”等。
四、正确把握演绎推理和合情推理的关系，全面提升合情推理的质量
合情推理与演绎推理是相辅相成的，严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的，也就是说获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。如果离开了合情推理，那么演绎推理就成为无源之水；如果离开了演绎推理，那么合情推理就成为无果之花。因此需要我们正确把握演绎推理与合情推理的关系，实现二者的和谐发展，不可偏废。
1.要引导学生把合情推理和演绎推理有机结合起来。
从心理学的角度来看，当猜想得到一个答案后最希望的是得到印证，这就是说需要我们抓住机会，当学生由观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想后，应当引导学生进一步寻求证据、给出证明或举出反例，发展学生的理性精神。比如在学习“对顶角相等”的性质时，我们可以先让学生经历观察、度量、叠合、等方法后，得出对顶角相等的结论，然后可以要求学生给予证明（如下图提示学生观察∠1、∠2与∠3的关系），由∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3得出∠1=∠2。
这样的过程，是一个经历观察、操作、猜想、证明的过程，其中既有合情推理，又有演绎推理，学生的学习由浅入深，符合认知规律，达到了提高推理品质、发展能力的目的。
2.通过实例让学生理解证明的必要性。
学习是一种通过反复思考导致错误的缘由、逐渐消除错误的过程。然而要消除这些错误，需要有进行推理的认知能力。这些推理是通过自我调节过程而产生的，而不是通过记住别人所给的答案而发生的。应当通过具体例子，使学生认识到：由观察、实验、归纳、类比得到的命题，其正确性有待于确认，因而合乎逻辑的推理证明是必要的。看下面的问题：
如果a=b，那么a2=b2，由此类比猜想得出：当a＜b时，a2＜b2。你认为这个命题正确吗？为什么？
学生可以通过举反例说明上述命题是错误的。我们要有意识从生活、代数、几何等多角度安排素材，通过让学生不断修正错误，来提高合情推理的水平，体会到证明的必要性，而且把学习演绎推理变成自觉的要求。
3.在学生验证结论的过程时，要不断提高验证的要求、层次和水平。
例如：观察下面各式：1 2=3，2 3=5，3 4=7，4 5=9……（1）你认为两个连续自然数的和一定是奇数吗？（2）你能验证自己的结论吗？这道题学生首先通过观察由特殊上升到一般，归纳出两个连续自然数的和是奇数，在验证结论时出现了两种方法：方法1：随意再找几组数进行实验，例如，5 6=11，10 11=21，50 51=121，很容易看出这几组数的和也是奇数，所以原来的结论是可信的。方法2：设两个连续的自然数为n，n 1（n为自然数），因为n （n 1）=2n 1，而2n 1表示奇数，所以两个连续自然数的和是奇数。很显然，第一种方法仍然属于特殊与一般的关系，没有走出不完全归纳法（合情推理），而第二种方法则属于严格的证明，因此就层次性来看，第二种方法明显高于第一种方法。但是，第一种方法更容易被学生理解和接受，是学生主动地“用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻猜想”（《课程标准》第9页），我们应当给予肯定和鼓励。当然，在对学生肯定和鼓励的同时，如果条件允许，就应该引导学生上升到演绎推理（即证明）的高度，提升学生的验证层次和水平。当合情推理获得的结果用演绎推理证明后，学生不仅会增强对合情推理的信心，同时会增强用演绎推理这种更为理性的方式来解释结果的信心。
总之，在新课程改革不断推进的大背景下，我们要不断研究，把学生的合情推理能力的培养落到实处。
【责任编辑 姜华】
关键词：合情推理；转变思想观念；现实生活；演绎推理
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2008）07-0050-02
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对学生推理能力的要求是“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。所谓合情推理，就是根据已有事实、结果和自己的知识、经验，在某种情境和过程中对事物的发展趋势及发展规律，提出一种推测性的看法，这种思维方式就是合情推理。合情推理有三种主要表现形式：归纳推理、类比推理、统计推理。合情推理的作用主要表现在两个方面：一方面，合情推理能够加快学生对知识的掌握速度并提高质量。建构主义认为，课本知识只是一种解释，一种较为可靠的假设，学生对这些知识的学习并非是主体对客体的被动的镜面式反映，而是一个主动的建构过程，是在理解基础上对这些假设作出自己的检验和调整的过程。所以合情推理是数学建构的主体思维的关键步骤，是必不可少的思维方法，它可以促进知识的同化，加速知识的迁移。另一方面，合情推理有助于培养学生的创新精神和创新能力。合情推理的实质是“发现”，因此对学生的创新精神和创新能力的培养具有重要的作用。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起著重要作用，如哥德巴赫猜想、费尔马大定理的发现等。正因为合情推理对学生的学习和终身发展具有重要的作用，所以新课程改革把合情推理能力的培养作为一个加强的方面。
那么，我们应该怎样培养学生的合情推理能力呢？
一、教师要转变思想观念，重视合情推理的教学
长期以来，中学数学教学一直强调数学的严谨性，过分渲染演绎推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使教师和学生误认为数学就是一门纯粹的演绎科学，凡是结论，都必须要证明，不能有“猜想”，不允许“可能”，这在很大程度上束缚了教师的思想，扼杀了学生的合情推理欲望，使师生不敢“越雷池一步”。基于此，当前首要的任务就是广大教师要切实转变思想观念，认识到合情推理对学生数学学习和终身发展的重要性，从根本上重视合情推理的教学，具体做到认真钻研教材，多看、多练，善于总结各种解决问题的方法；不断加强自己的思维训练，使自己具有较强的基本功；不断探索培养学生合情推理能力的方法，总结经验。这样在平时的教学中才能积极创设条件，引导学生使用合情推理。
二、把合情推理的能力培养融合在各个知识领域的教学过程中
在“数与代数”、“空间与图形”、统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域都为学生发展合情推理能力提供了丰富的素材，以用字母表示数为例（包括大量的找规律的题目），需要依靠对具体的数的观察、比较、归纳上升到字母的高度，实现从特殊到一般的飞跃，这个思维过程中，几乎完全依靠合情推理；在空间与图形部分，学生也常常要运用观察、操作、猜想等各种合情推理的手段学习图形的性质；用样本估计整体实际上也属于合情推理（这种推理属于统计推理，与归纳推理和类比推理不同的是统计推理得到的结论无法用逻辑证明的方法检验，只能靠实践来证实）……这就需要我们恰当设计，把突出问题放在“需要”与“认知结构”矛盾的风口浪尖上，激发学生进行合情推理的欲望和热情；提供给学生足以探索的数学材料，合作交流的时间和空间，做好组织者、引导者、合作者；在课堂教学中，我们还应该重视学生的语言表达能力的培养，使学生能够把“高度情境性”的内部语言转化为数学语言，做到言之有理、落笔有据，“有条理地、清晰地阐述自己的观点”。
三、把合情推理和现实生活有机结合起来
这里有两层意思，一个意思是说，现实生活是丰富多彩的，其中有很多地方需要依靠合情推理来作出判断，这样的例子更容易激发学生合情推理的热情。我们要把握好这些机会，因势利导，提高学生的合情推理能力；第二个意思是说，学生在学习课本知识时，可以与生活经验相结合，不断把课本知识内化为自己的经验。例如用生活经验“一个人从A点出发，先向正东走5千米，又向正西走3千米，结果为向正东走了2千米”来解释有理数的加法法则中“异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小的绝对值作为和的绝对值”等。
四、正确把握演绎推理和合情推理的关系，全面提升合情推理的质量
合情推理与演绎推理是相辅相成的，严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的，也就是说获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。如果离开了合情推理，那么演绎推理就成为无源之水；如果离开了演绎推理，那么合情推理就成为无果之花。因此需要我们正确把握演绎推理与合情推理的关系，实现二者的和谐发展，不可偏废。
1.要引导学生把合情推理和演绎推理有机结合起来。
从心理学的角度来看，当猜想得到一个答案后最希望的是得到印证，这就是说需要我们抓住机会，当学生由观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想后，应当引导学生进一步寻求证据、给出证明或举出反例，发展学生的理性精神。比如在学习“对顶角相等”的性质时，我们可以先让学生经历观察、度量、叠合、等方法后，得出对顶角相等的结论，然后可以要求学生给予证明（如下图提示学生观察∠1、∠2与∠3的关系），由∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3得出∠1=∠2。
这样的过程，是一个经历观察、操作、猜想、证明的过程，其中既有合情推理，又有演绎推理，学生的学习由浅入深，符合认知规律，达到了提高推理品质、发展能力的目的。
2.通过实例让学生理解证明的必要性。
学习是一种通过反复思考导致错误的缘由、逐渐消除错误的过程。然而要消除这些错误，需要有进行推理的认知能力。这些推理是通过自我调节过程而产生的，而不是通过记住别人所给的答案而发生的。应当通过具体例子，使学生认识到：由观察、实验、归纳、类比得到的命题，其正确性有待于确认，因而合乎逻辑的推理证明是必要的。看下面的问题：
如果a=b，那么a2=b2，由此类比猜想得出：当a＜b时，a2＜b2。你认为这个命题正确吗？为什么？
学生可以通过举反例说明上述命题是错误的。我们要有意识从生活、代数、几何等多角度安排素材，通过让学生不断修正错误，来提高合情推理的水平，体会到证明的必要性，而且把学习演绎推理变成自觉的要求。
3.在学生验证结论的过程时，要不断提高验证的要求、层次和水平。
例如：观察下面各式：1 2=3，2 3=5，3 4=7，4 5=9……（1）你认为两个连续自然数的和一定是奇数吗？（2）你能验证自己的结论吗？这道题学生首先通过观察由特殊上升到一般，归纳出两个连续自然数的和是奇数，在验证结论时出现了两种方法：方法1：随意再找几组数进行实验，例如，5 6=11，10 11=21，50 51=121，很容易看出这几组数的和也是奇数，所以原来的结论是可信的。方法2：设两个连续的自然数为n，n 1（n为自然数），因为n （n 1）=2n 1，而2n 1表示奇数，所以两个连续自然数的和是奇数。很显然，第一种方法仍然属于特殊与一般的关系，没有走出不完全归纳法（合情推理），而第二种方法则属于严格的证明，因此就层次性来看，第二种方法明显高于第一种方法。但是，第一种方法更容易被学生理解和接受，是学生主动地“用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻猜想”（《课程标准》第9页），我们应当给予肯定和鼓励。当然，在对学生肯定和鼓励的同时，如果条件允许，就应该引导学生上升到演绎推理（即证明）的高度，提升学生的验证层次和水平。当合情推理获得的结果用演绎推理证明后，学生不仅会增强对合情推理的信心，同时会增强用演绎推理这种更为理性的方式来解释结果的信心。
总之，在新课程改革不断推进的大背景下，我们要不断研究，把学生的合情推理能力的培养落到实处。
【责任编辑 姜华】