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摘 要：在匀速圆周运动向心加速度的教学中，根据学生认知困难，从构建有助于问题解决的模型的视角，探讨了借助于教学辅助软件时，针对微元法的不足，使用类比法来进行替代，并结合圆锥摆作为应用案例对模型进行验证，从而为搭建适合于课堂教学的有效教学支架提供了可行的方案.
关键词：向心加速度;学习障碍;教学支架
中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1008-4134（2021）19-0040-02
作者简介：赵小玲（1995-），女，重庆人，硕士研究生，研究方向：中学物理教学;
通讯作者：赵强（1972-），男，新疆奇台人，博士，副研究员，研究方向：物理学科教学.
在匀速圆周运动教学中， 如何引导学生构建向心加速度的概念是关键所在， 此时， 应用合理的教学支架被普遍认为是事半功倍的解决途径.鉴于科学模型及其构建被广泛认为是科学的核心实践活动和基本技能， 在教学中具有重要作用[1].同时，研究结果表明， 在教学过程中，与已有的知识之间建立关联，并且编码过程富有意义，将会有利于有效地激活先验图式和实现相关记忆的激活扩散，从而可以实现教学效果的改善[2-4].为此， 本文将基于如何构建有助于问题解决的模型及其构建的视角， 结合对微元法、r-v-a类比法和圆锥摆实验的分析和应用，探讨匀速圆周运动中向心加速度的教学支架构建.
教学中的建模过程按顺序可以简化为三个主要环节（见表1）： 锚定问题、模型构建、评价模型，三个环节可以循环进行直到得出满意的结果.本文将沿此过程进行探讨.
1 锚定问题
在学习匀速圆周运动之前，学生的认知结构中已有速度、加速度等概念处于上位结构，明白速度和加速度的矢量属性和相互关系.在匀速圆周运动中， 由于线速度的大小不变而方向连续均匀地改变， 所以问题的核心就是确定导致物体运动线速度方向发生变化的加速度的大小和方向.
若将加速度沿线速度方向和与线速度垂直的指向圆心的方向进行分解， 那么， 因为线速度的大小不变， 可判断出加速度在线速度方向的分量为0， 所以可以得出加速度的方向始终指向圆心， 方向也是以周期T均匀连续地变化， 且大小不变.这一推论也可以通过常见的实例（例如带墨水的旋转圆盘在周边溅出的墨迹）得到证明.
因此， 问题被锚定为如何确定加速度的大小.
2 构建和评价模型
2.1 微元法
微元法是目前分析匀速圆周运动向心加速度较为普遍的方法，在此不予赘述.然而，由于在分析过程中需要进行近似处理和使用极限的概念，对于中学生来说，即使借助于辅助软件（如Geogebra、几何画板 等）动态呈现过程，也会由于学生思维能力发展的局限和相关基础方法掌握的不足，导致很难完全消除对结果的怀疑.事实上，部分大学生在系统地学习了微积分后也仍然存在类似的疑惑.因此，需要寻找其他方法来进行补充或替代.
2.2 r-v-a类比法
针对微元法在教学效果方面的局限性，接下来讨论的“r-v-a类比法”是一种不错的补充或替代方法（强调与其他类比法不同，本文将此方法称为r-v-a类比法）.
为了辅助学生进行空间思维，我们使用Geogebra软件构建了如图1所示的动态分析模型.质点Q相对于点O的位移为r，并以速度v绕点O做匀速圆周运动.另外，为了分析的方便，同时将速度v和加速度a的关系在右图中给予同步展示.
基于前面锚定问题时的分析，可知r、v、a均以相同的角速度旋转，并且，若以Q为参考点，可以发现a与v间的关系在数学上和v与r间的关系类似.因为v描述的是位移r的瞬时变化，a描述的是速度v的瞬时变化，所以v/r=a/v，也就是
a=v2r①
对这一类比过程如果感觉跨度过大，可以使用更加浅显的方式.如图1的右图所示，假设Q点位于一个以O点为圆心且半径为r的圆盘的边缘，同时带动一根细线沿Q点的轨迹进行缠绕，并且该细线始终在静止的点B所示的位置与圆盘相切，那么B点下方的细线的速度为v，Q旋转一周缠绕的细线长度为2πr，也就是Q点经过的路程为vT，因此可以得出 v=2πr/T.同理可推导出向心加速度、线速度、周期的关系：aT=2πv.亦可得出式①.
类比过程由表2给出.可知，此类比法比微元法更直观明确，可以取代微元法或者进行补充.
2.3 圆锥摆实验
为了对前面推导的结果在课堂教学中进行验证，圆锥摆是一个非常好的教学实践案例[5，6].实验示意图由图2给出，质量为m的实心钢质小球Q通过一根弹性和质量均可忽略的长度为l 的细线悬挂在转轴O的底端.从理论分析的角度，若角速度ω不大，可忽略空气阻力等次要因素，使用理想物理模型来进行分析.
对小球Q进行受力分析，可知ma等于小球受细线的拉力F和小球的重力mg的合力，因此，小球Q的加速度a的方向指向圆心.并且，由小球Q做匀速圆周运动的线速度v=ωr，依据式①，可得加速度a的大小为
a=ω2r ②
由①和②式，有
ma=mgtanθ=mgrh ③
可得出
ω2=g/h ④
可知，只要验证式④成立即可验证式①，也就是验证了前面对匀速圆周运动的分析推理.
在課堂教学中，我们在完成上述分析和推理之后，播放课前录制的圆锥摆实验视频，对实验现象进行展示，然后借助Tracker软件便捷地、直观地对视频进行数据提取和分析，验证了式④的正确性[6]，很好地实现了教学支架效果.
3 结束语
在匀速圆周运动向心加速度的教学中，从有助于问题解决的模型构建的角度，使用r-v-a类比法可以很好地对微元法进行替代或补充，同时采用圆锥摆作为模型的应用和评价的实践案例，可以为课堂教学搭建很好的教学支架.
参考文献：
[1]Christina V.Schwarz， Brian J.Reiser，Elizabeth A.Davis.Developing a Learning Progression forScientific Modeling：Making Scientific Modeling Accessible and Meaningful for Learners [J].Journal of Research in Science Teaching， 2009（46）：632-654.
[2]Kinjo， H.，Snodgrass， J.G.Does the generation effect occur for pictures [J].American Journal of Psychology，2000（113）：95-121.
[3]Radvansky，G.A.Situation models， propositions， and the fan effect [J].Psychonomic Bulletin & Review， 2005（12）：478-483.
[4]Anita Woolfolk.Educational Psychology[M].Pearson Education，2007.
[5]薛慧玲，贾昱，李志坚.两种摆运动的视频分析 [J].大学物理，2017，36（07）：62-64+73.
[6]赵小玲.用Tracker和Geogebra软件探究中学物理教学中的单摆运动 [D].上海：华东师范大学， 2018.
（收稿日期：2021-06-17）
关键词：向心加速度;学习障碍;教学支架
中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1008-4134（2021）19-0040-02
作者简介：赵小玲（1995-），女，重庆人，硕士研究生，研究方向：中学物理教学;
通讯作者：赵强（1972-），男，新疆奇台人，博士，副研究员，研究方向：物理学科教学.
在匀速圆周运动教学中， 如何引导学生构建向心加速度的概念是关键所在， 此时， 应用合理的教学支架被普遍认为是事半功倍的解决途径.鉴于科学模型及其构建被广泛认为是科学的核心实践活动和基本技能， 在教学中具有重要作用[1].同时，研究结果表明， 在教学过程中，与已有的知识之间建立关联，并且编码过程富有意义，将会有利于有效地激活先验图式和实现相关记忆的激活扩散，从而可以实现教学效果的改善[2-4].为此， 本文将基于如何构建有助于问题解决的模型及其构建的视角， 结合对微元法、r-v-a类比法和圆锥摆实验的分析和应用，探讨匀速圆周运动中向心加速度的教学支架构建.
教学中的建模过程按顺序可以简化为三个主要环节（见表1）： 锚定问题、模型构建、评价模型，三个环节可以循环进行直到得出满意的结果.本文将沿此过程进行探讨.
1 锚定问题
在学习匀速圆周运动之前，学生的认知结构中已有速度、加速度等概念处于上位结构，明白速度和加速度的矢量属性和相互关系.在匀速圆周运动中， 由于线速度的大小不变而方向连续均匀地改变， 所以问题的核心就是确定导致物体运动线速度方向发生变化的加速度的大小和方向.
若将加速度沿线速度方向和与线速度垂直的指向圆心的方向进行分解， 那么， 因为线速度的大小不变， 可判断出加速度在线速度方向的分量为0， 所以可以得出加速度的方向始终指向圆心， 方向也是以周期T均匀连续地变化， 且大小不变.这一推论也可以通过常见的实例（例如带墨水的旋转圆盘在周边溅出的墨迹）得到证明.
因此， 问题被锚定为如何确定加速度的大小.
2 构建和评价模型
2.1 微元法
微元法是目前分析匀速圆周运动向心加速度较为普遍的方法，在此不予赘述.然而，由于在分析过程中需要进行近似处理和使用极限的概念，对于中学生来说，即使借助于辅助软件（如Geogebra、几何画板 等）动态呈现过程，也会由于学生思维能力发展的局限和相关基础方法掌握的不足，导致很难完全消除对结果的怀疑.事实上，部分大学生在系统地学习了微积分后也仍然存在类似的疑惑.因此，需要寻找其他方法来进行补充或替代.
2.2 r-v-a类比法
针对微元法在教学效果方面的局限性，接下来讨论的“r-v-a类比法”是一种不错的补充或替代方法（强调与其他类比法不同，本文将此方法称为r-v-a类比法）.
为了辅助学生进行空间思维，我们使用Geogebra软件构建了如图1所示的动态分析模型.质点Q相对于点O的位移为r，并以速度v绕点O做匀速圆周运动.另外，为了分析的方便，同时将速度v和加速度a的关系在右图中给予同步展示.
基于前面锚定问题时的分析，可知r、v、a均以相同的角速度旋转，并且，若以Q为参考点，可以发现a与v间的关系在数学上和v与r间的关系类似.因为v描述的是位移r的瞬时变化，a描述的是速度v的瞬时变化，所以v/r=a/v，也就是
a=v2r①
对这一类比过程如果感觉跨度过大，可以使用更加浅显的方式.如图1的右图所示，假设Q点位于一个以O点为圆心且半径为r的圆盘的边缘，同时带动一根细线沿Q点的轨迹进行缠绕，并且该细线始终在静止的点B所示的位置与圆盘相切，那么B点下方的细线的速度为v，Q旋转一周缠绕的细线长度为2πr，也就是Q点经过的路程为vT，因此可以得出 v=2πr/T.同理可推导出向心加速度、线速度、周期的关系：aT=2πv.亦可得出式①.
类比过程由表2给出.可知，此类比法比微元法更直观明确，可以取代微元法或者进行补充.
2.3 圆锥摆实验
为了对前面推导的结果在课堂教学中进行验证，圆锥摆是一个非常好的教学实践案例[5，6].实验示意图由图2给出，质量为m的实心钢质小球Q通过一根弹性和质量均可忽略的长度为l 的细线悬挂在转轴O的底端.从理论分析的角度，若角速度ω不大，可忽略空气阻力等次要因素，使用理想物理模型来进行分析.
对小球Q进行受力分析，可知ma等于小球受细线的拉力F和小球的重力mg的合力，因此，小球Q的加速度a的方向指向圆心.并且，由小球Q做匀速圆周运动的线速度v=ωr，依据式①，可得加速度a的大小为
a=ω2r ②
由①和②式，有
ma=mgtanθ=mgrh ③
可得出
ω2=g/h ④
可知，只要验证式④成立即可验证式①，也就是验证了前面对匀速圆周运动的分析推理.
在課堂教学中，我们在完成上述分析和推理之后，播放课前录制的圆锥摆实验视频，对实验现象进行展示，然后借助Tracker软件便捷地、直观地对视频进行数据提取和分析，验证了式④的正确性[6]，很好地实现了教学支架效果.
3 结束语
在匀速圆周运动向心加速度的教学中，从有助于问题解决的模型构建的角度，使用r-v-a类比法可以很好地对微元法进行替代或补充，同时采用圆锥摆作为模型的应用和评价的实践案例，可以为课堂教学搭建很好的教学支架.
参考文献：
[1]Christina V.Schwarz， Brian J.Reiser，Elizabeth A.Davis.Developing a Learning Progression forScientific Modeling：Making Scientific Modeling Accessible and Meaningful for Learners [J].Journal of Research in Science Teaching， 2009（46）：632-654.
[2]Kinjo， H.，Snodgrass， J.G.Does the generation effect occur for pictures [J].American Journal of Psychology，2000（113）：95-121.
[3]Radvansky，G.A.Situation models， propositions， and the fan effect [J].Psychonomic Bulletin & Review， 2005（12）：478-483.
[4]Anita Woolfolk.Educational Psychology[M].Pearson Education，2007.
[5]薛慧玲，贾昱，李志坚.两种摆运动的视频分析 [J].大学物理，2017，36（07）：62-64+73.
[6]赵小玲.用Tracker和Geogebra软件探究中学物理教学中的单摆运动 [D].上海：华东师范大学， 2018.
（收稿日期：2021-06-17）