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不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明.而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流.
一、作差比较法
作差比较法：比较两个实数大小的关键是，判断差的正负，常采用配方法、因式分解法、有理化等方法.常用的结论有x2≥0，-x2≤0，|x|≥0，-|x|≤0等.“作差法”的一般步骤是：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.
思维点拔：1本题运用了三角换元法.2换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换.
四、放缩法
放缩法：即缩小或放宽不等式的范围的方法，常用在多项式中“舍掉一些正负项”，使不等式之和变小大，或“在分式中放大缩小分式的分子或分母”，“在乘积中用较大较小的因式”等效法，来证明不等式.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B 例4已知a，b∈R，求证：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
分析：不等式的两端是绝对值，需对a，b是同号和异号进行讨论.
证明：放缩法左式=11+1|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|=右式.
五、构造法
构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法.
例5设f（x）=x1+x，x≠-1，判断f（x）在[0，+∞）上的单调性.
证明：设0≤x1 所以f（x）在[0，+∞）上为增函数
又0≤|a+b|≤|a|+|b|，
所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）.
即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
思维点拔：用分析法解决含绝对值问题是常规方法；根据特征不等式的结构，构造恰当的函数，再利用函数的单调性来进行证明，这是构造函数法的特点，在证明过程中不一定能一步到位，常需要与其他方法相结合，如本例中还借助了放缩法.
六、判别式法
实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是：b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0.记Δ=b2-4ac，称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式.
例6已知x+y+z=5，x2+y2+z2=9，求证：x，y，z都属于[1，73].
证明：由已知得：z=5-x-y，
代入x2+y2+z2=9中得：
x2+（y-5）x+y2-5y+8=0，
因为x∈R，所以△≥0，
即（y-5）2-4（y2-5y+8）≥0，解得1≤y≤73，
即y∈[1，73]
同理可证x∈[1，73]，z∈[1，73].
说明：在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制.
七、反证法
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法.
例7已知0 分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明.假设命题不成立，则（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于14，从这个结论出发，进一步去导出矛盾.
证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于14，
即（1-a）b>14，（1-b）c>14，（1-c）a>14.
又因为0 所以（1-a）b>12，（1-b）c>12，（1-c）a>12.
所以（1-a）b+（1-b）c+（1-c）a>32 ①
又因为（1-a）b≤1-a+b2，（1-b）c≤1-b+c2，（1-c）a≤1-c+a2.
以上三式相加，即得：
（1-a）·b+（1-b）·c+（1-c）·a≤32 ②
显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证.
说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想.
通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题.
[吉林省扶余县第一中学131200]
一、作差比较法
作差比较法：比较两个实数大小的关键是，判断差的正负，常采用配方法、因式分解法、有理化等方法.常用的结论有x2≥0，-x2≤0，|x|≥0，-|x|≤0等.“作差法”的一般步骤是：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.
思维点拔：1本题运用了三角换元法.2换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换.
四、放缩法
放缩法：即缩小或放宽不等式的范围的方法，常用在多项式中“舍掉一些正负项”，使不等式之和变小大，或“在分式中放大缩小分式的分子或分母”，“在乘积中用较大较小的因式”等效法，来证明不等式.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B
分析：不等式的两端是绝对值，需对a，b是同号和异号进行讨论.
证明：放缩法左式=11+1|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|=右式.
五、构造法
构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法.
例5设f（x）=x1+x，x≠-1，判断f（x）在[0，+∞）上的单调性.
证明：设0≤x1
又0≤|a+b|≤|a|+|b|，
所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）.
即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
思维点拔：用分析法解决含绝对值问题是常规方法；根据特征不等式的结构，构造恰当的函数，再利用函数的单调性来进行证明，这是构造函数法的特点，在证明过程中不一定能一步到位，常需要与其他方法相结合，如本例中还借助了放缩法.
六、判别式法
实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是：b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0.记Δ=b2-4ac，称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式.
例6已知x+y+z=5，x2+y2+z2=9，求证：x，y，z都属于[1，73].
证明：由已知得：z=5-x-y，
代入x2+y2+z2=9中得：
x2+（y-5）x+y2-5y+8=0，
因为x∈R，所以△≥0，
即（y-5）2-4（y2-5y+8）≥0，解得1≤y≤73，
即y∈[1，73]
同理可证x∈[1，73]，z∈[1，73].
说明：在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制.
七、反证法
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法.
例7已知0
证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于14，
即（1-a）b>14，（1-b）c>14，（1-c）a>14.
又因为0
所以（1-a）b+（1-b）c+（1-c）a>32 ①
又因为（1-a）b≤1-a+b2，（1-b）c≤1-b+c2，（1-c）a≤1-c+a2.
以上三式相加，即得：
（1-a）·b+（1-b）·c+（1-c）·a≤32 ②
显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证.
说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想.
通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题.
[吉林省扶余县第一中学131200]