集合是学习数学的基础和工具，是高考的必考内容之一.由于它涉及到中学数学的各个环节,稍不注意,就会出错.为了跳出命题者所设计的陷阱,就必须注意集合中的一些细节.
　　一、 忽视空集致误
　　【例1】 若A=xx2－2x－3=0,B=xax－2=0,且A∩B=B,求由实数a组成的集合C.
　　错解 由A=xx2－2x－3=0,解得A=－1,3.∵A∩B=B，∴BA，
　　从而B=－1或B=3.当B=－1时,由a×(－1)－2=0,解得a=－2；
　　当B=3时,由a×3－2=0,解得a=23.
　　故由实数a组成的集合C=－2,23.
　　剖析 BA是指B是A的子集,而是任何集合的子集,所以就要分B=和B≠（分为B=－1和B=3）三种情况进行讨论,在解题中如果思维不够缜密就可能忽视了B=的情况,导致解题结果错误.
　　正解 由A=xx2－2x－3=0，解得A=－1,3
　　∵A∩B=B，∴BA，且B中至多只有一个元素，从而B=或B=－1或B=3.
　　当B=时，由ax－2=0无实数根，解得a=0;当B=－1时，由a×(－1)－2=0，解得a=－2;当B=3时，由a×3－2=0，解得a=23.
　　综上所述，实数a组成的集合C=－2,0,23.
　　二、 忽视集合元素的三性致误
　　【例2】 设A=1,1+a,1+2a,B=1,b,b2,若A=B,求b的值.
　　错解 因为A=B，所以1+a=b,1+2a=b2.或1+a=b2,1+2a=b.解得a=0,b=1或a=－34,b=－12，
　　综上所述:b=1或b=－12.
　　剖析 上述错题的过程中，没有注意到当b=1时,B中元素都是1,这与集合的特征——元素的互异性相矛盾.所以在求解集合的有关题目时,我们要牢记集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.
　　正解 因为A=B，所以1+a=b,1+2a=b2.或1+a=b2,1+2a=b.
　　解得a=0,b=1或a=－34,b=－12综上所述:b=1或b=－12.
　　当b=1时，B中元素都是1，集合元素的互异性相矛盾，舍去;
　　当b=－12时，满足题意.
　　综上所述，b=－12.
　　三、 忽视元素与集合的概念致误
　　【例3】 设P=y|y=x2,x∈R,Q={y|y=2－|x|,x∈R}，则P∩Q=.
　　错解 由y=x2，y=2－|x|.解得x=1,y=1. 或x=－1,y=1.
　　∴P∩Q=(1,1),(－1,1).
　　剖析 本题错解是由于没有准确理解集合元素的概念而产生的.要注意分清{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},{(x,y)|y=f(x)}元素的区别,集合x|y=f(x)的元素是指函数y=f(x)的定义域中x的取值,集合{y|y=f(x)}的元素是函数y=f(x)的值域中y的取值,而集合(x,y)|y=f(x)的元素是函数y=f(x)的图象上的点的坐标.显然,三者有本质的区别.
　　正解 因为P=y|y≥0,Q={y|0≤y≤2},所以P∩Q=y|0≤y≤2.
　　四、 忽视隐含条件致误
　　【例4】 设全集U=2，3，a2+2a－3,A=2a－1，2,
　　 綂 UA=5,求实数a的值．
　　错解 ∵
　　 綂 UA=5,∴5∈U，且5A，∴a2+2a－3=5，
　　解得 a=2或a=－4．
　　剖析 错解在于忽视了题目里的隐含条件AU．
　　正解 ∵
　　 綂 UA=5,∴5∈U，且5A，∴a2+2a－3=5,
　　解得 a=2或a=－4.
　　应继续对a的值是否适合AU进行验证，
　　当a=2时，2a－1=4－1=3≠5，此时A=2，3U;
　　当a=－4时，2a－1=－8－1=9≠5，此时A=9，2不是U的子集,
　　综上所述，a的值只能为2.
　　五、 忽视特例致误
　　【例5】 已知A=(x,y)y－3x－2=a+1,B=(x,y)|(a2－1)x+(a－1)y=15，问a为何实数时，A∩B=.
　　错解 A表示斜率为a+1的直线上的点集.当a=1时,B表示，此时A∩B=;
　　当a≠1时,B表示斜率为－(a+1)的直线:y=－(a+1)x+15上的点集,要使A∩B=,
　　则两直线平行,即a+1=－(a+1),所以a=－1,
　　所以a=±1时,A∩B=.
　　剖析 A表示的直线不经过点(2,3),当B表示的直线过点(2,3)时,A∩B=.显然,上述解答忽视了这种特殊情况,造成解答不完全.由(a2－1)•2+(a－1)•3=15得a=－4或52.
　　正解 A表示斜率为a+1的直线上的点集,当a=1时,B表示，此时A∩B=;
　　当a≠1时,B表示斜率为－(a+1)的直线:y=－(a+1)x+15上的点集,要使A∩B=,
　　则两直线平行,即a+1=－(a+1),所以a=－1;
　　当A表示的直线不经过点(2,3),当B表示的直线过点(2,3)时,A∩B=，
　　(a2－1)•2+(a－1)•3=15得a=－4或52,
　　综上所述，当a=±1,a=－4,a=52时，A∩B=.
　　六、 忽视端点值致误
　　【例6】 已知集合A={x|x≥4或x<－5}，B=xa+1≤x≤a+3，若A∪B=A，求a得取值范围．
　　错解 由A∪B=A得BA,
　　∴a+3≤－5或a+1≥4，解得a≤－8或a≥3．
　　剖析 上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a=－8时，B=x－7≤x≤5，此时B不是A的子集，所以不符合题意.所以在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．
　　正解 由A∪B=A得BA.
　　当a+3<－5或a+1>4时，解得a<－8或a>3;
　　当a+3=－5时，a=－8，而B={x|－7≤x≤5}，此时B不是A的子集，所以舍去;
　　当a+1=4时，a=3，而B={x|4≤x≤6}成立，符合条件,
　　综上所述：a<－8或a≥3.
　　牛刀小试
　　1. 已知集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R}，B=xx>0,若A∩B=，求a的取值范围．
　　2. 设集合A=－3,a2,1+a,B={a－3,a2+1,2a－1},若A∩B=－3，求实数a的值.
　　3. 设A，B，M，N为非空集合，A∩B=，M=A的真子集，N=B的真子集，则M∩N=．
　　4. 已知函数y=f(x)，x∈a,b，那么集合(x,y)y=f(x),x∈a,b∩{(x,y)|x=2}中元素的个数为．
　　5. 设集合Ｍ＝(x,y)y+1x－1=1,Ｎ＝{(x,y)|(a－1)x+y=1},且M∩N=，则实数a=  ．
　　6. 若A=xx<－2或x>10，B={x|x<1－m或x>1+m}且BA，求m的取值范围.
　　【参考答案】
　　1. 由A∩B=知，
　　①当A=时，Δ=a+22－4<0，
　　解得－4＜a＜０;
　　②A中的元素为非正数，即方程
　　x2+(a+2)x+1=0,只有非正数解．
　　∴Δ=a+22－4≥0,a+2≥0.解得 a≥0，
　　综上可得 ：a>－4.
　　2. 由A∩B=－3，根据集合元素的互异性知：a2≠－3,1+a≠－3.
　　因而a－3,a2+1,2a－1中恰有一个的值为－3，解之得a=0或a=－1.
　　当a=0时，A=－3,0,1,B={－3,1,－1}，这时A∩B={－3,1}，与A∩B=－3矛盾，
　　故a≠0；
　　当a=－1时，A=－3,0,1,
　　B={－3,－4,2}，符合条件A∩B=－3，
　　综上可得 ：a=－1.
　　3. M∩N=．
　　4. 1或0.
　　5. 0或3.
　　6. 因为BA，所以：1－m≤－2,1+m≥10.m≥9.