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【中图分类号】 G632 【文献标识码】 A【文章编号】 2236-1879（2018）04-0091-01
排列组合问题和实际生活密切相关，是高中数学的重点和难点之一，又是近几年高考的必考内容。很多同学对这部分知识的学习感到吃力，其关键原因是没有熟练掌握排列组合问题的有效方法和精神实质。
一、多个约束条件用分类讨论法
解含有多个约束条件的排列组合问题， 应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1 安排5名同学担任5种不同的班干部，如果甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员，那么共有_______种不同的安排方法？
分析：把问题中的关系简明表述如下：
按照“谁的约束条件多，谁优先考虑”的原则，问题中优先考虑甲、乙同学满足的条件。我们可以先给甲同学找到位置，再给乙同学找位置，最后考虑其它同学的位置。
解： ①当甲同学担任学习委员时，有种安排方法；②当甲同学不担任学习委员时，则有种安排方法，由分类计数原理，共有种。
小结：上述解法是按元素特征进行分类的，如果按位置进行分类，先考虑班长和学习委员的人选，再考虑其它班干部的人选，其分类、列式和结果是完全一样的。
二、特殊位置特殊元素用优先考虑法
对于带有特殊要求的位置或元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊位置或元素，再考虑其它位置或元素。
例2 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种。
分析：问题中有巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个位置，元素为四个人，本题若考虑元素选位置，存在先选后排的问题，例如：先考虑甲是否被选中，之后再考虑如果被选中不能去巴黎游览，对乙也是如此，分类比较复杂，但若换个角度，从位置进行考虑，只有巴黎的约束条件多，即甲、乙两人不能去，那么优先选一人，其它位置任选即可，问题变得非常简单。
解：因为甲、乙不去巴黎，故從其余4人中选1人去巴黎有种方法， 再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种）。
小结：对于有特殊限制的元素或者位置优先考虑，再结合计数原理来解决排列组合问题的方法称为“优限法”，是解决限制问题的常用方法。
三、至多、至少问题用反选法
对于含有“至多、至少”字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。
例3 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有______种。
分析：如果直接考虑这个问题，至少有1名女生，可以有1名、2名、3名，分类较多，但如果考虑问题的对立事件“没有女生”，只有一种情况，因此可采用总体减对立事件的方法解决更快。
解：选出的3人中至少有1名女生，说明不能全是男生。因此选出3人有种，其中都是男生的有种不合题意，因此共有。
小结：问题中正面考虑种类较多时，其反面的对立事件种类一般较少，可以采用捷径“整体减反面”的思想来求解。
四、相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素与其他元素一起排列，然后再对相邻元素内部之间进行排列。
例4 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，如果使同类的书不分开，一共有________种排法？
分析：由于同类书不分开，即把4本数学书，5本物理书，3本化学书分别捆成一捆，看作3个大元素进行排列，有种，每捆内部的排列分别有种、 种、种。由分步计数原理共有 （种）
五、不相邻问题用插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题， 可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。
例5 一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，若舞蹈不能挨着，则节目顺序有_______种不同的排法？
分析：先排2个相声和3个独唱，有种排法，再在这些节目之间及两端的6个“空”中选4个让舞蹈插入，有种排法。因此，共有种不同排法。
小结：插空法的本质是反选法和优限思想的结合，所以适用于相对位置弱固定类（例如不相邻）问题。但是需要注意运用插空法和运用计数原理时的区别。
六、元素定位问题中用倍缩法
对于某几个元素顺序一定的排列问题， 可先把这几个元素与其他元素一同进行排列， 然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
例6 5男3女列成一队，若女的顺序一定，则共有________种不同的排法？
分析：因8人的全排列数为种，3女的全排列为 ，而3女顺序一定，则所求排列数为种。
七、元素无区别分配问题用挡板法
对于每组至少一个元素的分配问题，可通过设计情景，构造一个隔板模型来帮助解决问题。
例7 高中二年级8个班，组织一个12人的年级学生会，每班至少1人，名额分配有_______种不同方法？
分析：将此问题转化为：把12个相同的名额分成8份，有多少种不同分法？ 因此需把这12个“名额”排成一行，用7个隔板隔在其11个空档上，即可将名额分成8份，显然有种不同的分法，所以名额分配方法有种。
小结：挡板法适用于将“相同元素”分组，且要求每组均“非空”的分配问题。把握这一特征并灵活应用，会达到事半功倍的效果。
排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握技巧，最终才能够达到灵活运用。
排列组合问题和实际生活密切相关，是高中数学的重点和难点之一，又是近几年高考的必考内容。很多同学对这部分知识的学习感到吃力，其关键原因是没有熟练掌握排列组合问题的有效方法和精神实质。
一、多个约束条件用分类讨论法
解含有多个约束条件的排列组合问题， 应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1 安排5名同学担任5种不同的班干部，如果甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员，那么共有_______种不同的安排方法？
分析：把问题中的关系简明表述如下：
按照“谁的约束条件多，谁优先考虑”的原则，问题中优先考虑甲、乙同学满足的条件。我们可以先给甲同学找到位置，再给乙同学找位置，最后考虑其它同学的位置。
解： ①当甲同学担任学习委员时，有种安排方法；②当甲同学不担任学习委员时，则有种安排方法，由分类计数原理，共有种。
小结：上述解法是按元素特征进行分类的，如果按位置进行分类，先考虑班长和学习委员的人选，再考虑其它班干部的人选，其分类、列式和结果是完全一样的。
二、特殊位置特殊元素用优先考虑法
对于带有特殊要求的位置或元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊位置或元素，再考虑其它位置或元素。
例2 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种。
分析：问题中有巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个位置，元素为四个人，本题若考虑元素选位置，存在先选后排的问题，例如：先考虑甲是否被选中，之后再考虑如果被选中不能去巴黎游览，对乙也是如此，分类比较复杂，但若换个角度，从位置进行考虑，只有巴黎的约束条件多，即甲、乙两人不能去，那么优先选一人，其它位置任选即可，问题变得非常简单。
解：因为甲、乙不去巴黎，故從其余4人中选1人去巴黎有种方法， 再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种）。
小结：对于有特殊限制的元素或者位置优先考虑，再结合计数原理来解决排列组合问题的方法称为“优限法”，是解决限制问题的常用方法。
三、至多、至少问题用反选法
对于含有“至多、至少”字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。
例3 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有______种。
分析：如果直接考虑这个问题，至少有1名女生，可以有1名、2名、3名，分类较多，但如果考虑问题的对立事件“没有女生”，只有一种情况，因此可采用总体减对立事件的方法解决更快。
解：选出的3人中至少有1名女生，说明不能全是男生。因此选出3人有种，其中都是男生的有种不合题意，因此共有。
小结：问题中正面考虑种类较多时，其反面的对立事件种类一般较少，可以采用捷径“整体减反面”的思想来求解。
四、相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素与其他元素一起排列，然后再对相邻元素内部之间进行排列。
例4 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，如果使同类的书不分开，一共有________种排法？
分析：由于同类书不分开，即把4本数学书，5本物理书，3本化学书分别捆成一捆，看作3个大元素进行排列，有种，每捆内部的排列分别有种、 种、种。由分步计数原理共有 （种）
五、不相邻问题用插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题， 可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。
例5 一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，若舞蹈不能挨着，则节目顺序有_______种不同的排法？
分析：先排2个相声和3个独唱，有种排法，再在这些节目之间及两端的6个“空”中选4个让舞蹈插入，有种排法。因此，共有种不同排法。
小结：插空法的本质是反选法和优限思想的结合，所以适用于相对位置弱固定类（例如不相邻）问题。但是需要注意运用插空法和运用计数原理时的区别。
六、元素定位问题中用倍缩法
对于某几个元素顺序一定的排列问题， 可先把这几个元素与其他元素一同进行排列， 然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
例6 5男3女列成一队，若女的顺序一定，则共有________种不同的排法？
分析：因8人的全排列数为种，3女的全排列为 ，而3女顺序一定，则所求排列数为种。
七、元素无区别分配问题用挡板法
对于每组至少一个元素的分配问题，可通过设计情景，构造一个隔板模型来帮助解决问题。
例7 高中二年级8个班，组织一个12人的年级学生会，每班至少1人，名额分配有_______种不同方法？
分析：将此问题转化为：把12个相同的名额分成8份，有多少种不同分法？ 因此需把这12个“名额”排成一行，用7个隔板隔在其11个空档上，即可将名额分成8份，显然有种不同的分法，所以名额分配方法有种。
小结：挡板法适用于将“相同元素”分组，且要求每组均“非空”的分配问题。把握这一特征并灵活应用，会达到事半功倍的效果。
排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握技巧，最终才能够达到灵活运用。