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【摘要】 无理数的教学是“实数”教学的一个难点，理解教材的意图、合理安排教学更是对老师的一个必要要求. 如何突破这一教学难点，值得老师们倾注精力. 在无理数的教学中，每个老师的安排及课后的感受都不尽相同，本文给出的是对无理数教学的一点新体验.
【关键词】 无理数；理解教材；顿悟教材；体味幸福
■有多大呢？这是初二数学人教版第十三章“实数”第二课时的一个探究问题. 在学了算术平方根后马上就学习■有多大，慢慢想来，教材编排意图深远，但在教学过程中还是会有一些问题. 下面是我对本节课的一些体会.
一、理解教材的意图
首先，在学了算术平方根后，按照学生的思维：一个数的算术平方根也是一个数（已经能够表示了），那么这个数是多少？是我们通常的整数和小数吗？具体地，比如学生想知道２的算术平方根到底是几呢，这样教材就自然地安排■有多大的问题. 其次，学生只有先知道了■有多大，才会便于我们后面学习实数时引出无理数的概念. 另外，教材在问■有多大时，前面还有一个探究问题如下：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
如图1，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形（如图2），你知道这个大正方形的边长是多少吗？
这样一个问题不仅问得好，而且非常必要. 它很自然地让学生想到用方程求得大正方形的边长为■，为本节课找到了主角，而且用算术平方根的意义引导了学生解新方程——二次方程. 紧接着，教材提了一个小问：小正方形的对角线的长是多少呢？这个小问设计得更妙，妙在它能够培养学生的观察能力（大正方形的边长就是小正方形的对角线），还妙在不用勾股定理直接利用等面积法列二次方程可以求得对角线的长. 这节课并不是像许多老师说的，教材设计不合理，编排也不合理，没有多少内容可讲，只是我们还没有完全领会教材的意图.
二、教学中的“幸福”
在探究■有多大时，教材给出的答案如下：
∵ １２ =１，２２ = ４，
∴ １ ＜ ■ ＜ ２.
∵ １．４２ = １．９６，１．５２ = ２．２５，
∴ １．４ ＜ ■ ＜ １．５.
∵ １．４１２ = １．９８８１，１．４２２ = ２．０１６４，
∴ １．４１ ＜ ■ ＜ １．４２.
∵ １．４１４２ = １．９９９３９６，１．４１５２ = ２．００２２２５，
∴ １．４１４＜■＜１．４１５.
……
如此进行下去，可以得到■的更精确的近似值.
事实上，■ = 1.41421356…它是一个无限不循环小数.
我们未来的小数学家们会很疑惑地问：为什么因为12 =1，22 = 4，就有1 < ■ < 2？为什么后面省略下去就知道■是一个无限不循环小数，而不是无限循环小数或者有限小数呢？还有学生用计算器算出■ = 1.414213562，于是说：老师■不是无限循环小数. 如果有老师听到学生问这样的问题，那这位老师太幸运、太幸福了！因为我觉得，发问的学生太有才了，他们找到了老师的疑惑点，点出了教材编排上的遗憾.
让人遗憾的是很多老师在这里都没有很好地解决学生的疑问. 对于学生的第一个疑问，有的说一个正数的平方越大，那么这个数的算术平方根越大，理由高中会学；有的老师可能学生没问，他“幸运”地就讲过去了；“不幸运”的老师，面对学生的疑惑也会疑惑，于是认为教材不好. 不管老师们是“幸运”还是“不幸运”，我们都应该机智地回到教材刚开始得到主角的■三个大小正方形，这样就一目了然了：正方形的面积越大，边长就越大，而且可以顺便总结出高中的知识，如A > B > ０，■ ＞ ■ ＞ ０． 如果这个地方明白了，那么对于平方根（和后面立方根）的比较大小，学生就相对好掌握了. 高兴的是我是一个“不幸运”的老师，但是感觉到了“幸福”！
对于后面两个疑问，我第一个反问学生：你怎么知道■不是无限不循环小数呢？最后大家还是不确切地清楚了■是一个无限不循环小数，于是我就跟他们说等后面学了无理数你就完全清楚. 但是按照教材所写学了无理数后，仍没有真正让学生明白■是一个无理数，难免有些遗憾. 学生后面的一个疑惑很好解决，这是因为计算器对于那些无限小数都进行了四舍五入. 只要让学生用计算器计算■的值，他们就完全明白计算器在什么情况下显示的是近似值了！
三、顿悟教材的遗憾
上完这节课后，学生让我发现了教材的这节课其实还是有些小遗憾. 一是在排版上没有将三个大小正方形和■有多大放在一个版面，可能导致我们的老师“幸运”或“不幸运”，都没有体味幸福的滋味；二是它没有做到让学生无疑问地明白■是一个无限不循环小数. 当然，就初中的教材是不可能完全解决未来的小数学家的疑问和老师的疑惑的. 另外，教材８８页“阅读与思考”：为什么说■是一个无理数？反过来对我们理解■有多大毫无疑问是有帮助的. 但是，教材上没有发现任何地方告诉未来的小数学家们有理数可以写成分数，就直接用到它去证明■是一个无理数了. 由此可见，教材不是万能的，也没有万能的教材.
这节课下来，我收获多多，体会多多，但更多的是我体味到了一个“不幸运”老师的幸福！
【关键词】 无理数；理解教材；顿悟教材；体味幸福
■有多大呢？这是初二数学人教版第十三章“实数”第二课时的一个探究问题. 在学了算术平方根后马上就学习■有多大，慢慢想来，教材编排意图深远，但在教学过程中还是会有一些问题. 下面是我对本节课的一些体会.
一、理解教材的意图
首先，在学了算术平方根后，按照学生的思维：一个数的算术平方根也是一个数（已经能够表示了），那么这个数是多少？是我们通常的整数和小数吗？具体地，比如学生想知道２的算术平方根到底是几呢，这样教材就自然地安排■有多大的问题. 其次，学生只有先知道了■有多大，才会便于我们后面学习实数时引出无理数的概念. 另外，教材在问■有多大时，前面还有一个探究问题如下：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
如图1，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形（如图2），你知道这个大正方形的边长是多少吗？
这样一个问题不仅问得好，而且非常必要. 它很自然地让学生想到用方程求得大正方形的边长为■，为本节课找到了主角，而且用算术平方根的意义引导了学生解新方程——二次方程. 紧接着，教材提了一个小问：小正方形的对角线的长是多少呢？这个小问设计得更妙，妙在它能够培养学生的观察能力（大正方形的边长就是小正方形的对角线），还妙在不用勾股定理直接利用等面积法列二次方程可以求得对角线的长. 这节课并不是像许多老师说的，教材设计不合理，编排也不合理，没有多少内容可讲，只是我们还没有完全领会教材的意图.
二、教学中的“幸福”
在探究■有多大时，教材给出的答案如下：
∵ １２ =１，２２ = ４，
∴ １ ＜ ■ ＜ ２.
∵ １．４２ = １．９６，１．５２ = ２．２５，
∴ １．４ ＜ ■ ＜ １．５.
∵ １．４１２ = １．９８８１，１．４２２ = ２．０１６４，
∴ １．４１ ＜ ■ ＜ １．４２.
∵ １．４１４２ = １．９９９３９６，１．４１５２ = ２．００２２２５，
∴ １．４１４＜■＜１．４１５.
……
如此进行下去，可以得到■的更精确的近似值.
事实上，■ = 1.41421356…它是一个无限不循环小数.
我们未来的小数学家们会很疑惑地问：为什么因为12 =1，22 = 4，就有1 < ■ < 2？为什么后面省略下去就知道■是一个无限不循环小数，而不是无限循环小数或者有限小数呢？还有学生用计算器算出■ = 1.414213562，于是说：老师■不是无限循环小数. 如果有老师听到学生问这样的问题，那这位老师太幸运、太幸福了！因为我觉得，发问的学生太有才了，他们找到了老师的疑惑点，点出了教材编排上的遗憾.
让人遗憾的是很多老师在这里都没有很好地解决学生的疑问. 对于学生的第一个疑问，有的说一个正数的平方越大，那么这个数的算术平方根越大，理由高中会学；有的老师可能学生没问，他“幸运”地就讲过去了；“不幸运”的老师，面对学生的疑惑也会疑惑，于是认为教材不好. 不管老师们是“幸运”还是“不幸运”，我们都应该机智地回到教材刚开始得到主角的■三个大小正方形，这样就一目了然了：正方形的面积越大，边长就越大，而且可以顺便总结出高中的知识，如A > B > ０，■ ＞ ■ ＞ ０． 如果这个地方明白了，那么对于平方根（和后面立方根）的比较大小，学生就相对好掌握了. 高兴的是我是一个“不幸运”的老师，但是感觉到了“幸福”！
对于后面两个疑问，我第一个反问学生：你怎么知道■不是无限不循环小数呢？最后大家还是不确切地清楚了■是一个无限不循环小数，于是我就跟他们说等后面学了无理数你就完全清楚. 但是按照教材所写学了无理数后，仍没有真正让学生明白■是一个无理数，难免有些遗憾. 学生后面的一个疑惑很好解决，这是因为计算器对于那些无限小数都进行了四舍五入. 只要让学生用计算器计算■的值，他们就完全明白计算器在什么情况下显示的是近似值了！
三、顿悟教材的遗憾
上完这节课后，学生让我发现了教材的这节课其实还是有些小遗憾. 一是在排版上没有将三个大小正方形和■有多大放在一个版面，可能导致我们的老师“幸运”或“不幸运”，都没有体味幸福的滋味；二是它没有做到让学生无疑问地明白■是一个无限不循环小数. 当然，就初中的教材是不可能完全解决未来的小数学家的疑问和老师的疑惑的. 另外，教材８８页“阅读与思考”：为什么说■是一个无理数？反过来对我们理解■有多大毫无疑问是有帮助的. 但是，教材上没有发现任何地方告诉未来的小数学家们有理数可以写成分数，就直接用到它去证明■是一个无理数了. 由此可见，教材不是万能的，也没有万能的教材.
这节课下来，我收获多多，体会多多，但更多的是我体味到了一个“不幸运”老师的幸福！