摘 要：本文从一道例题“已知椭圆C：+=1，斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值”出发，逐步将其进行推广，最终将其推广到了一般结论：对于椭圆C：+=1，其中a>b>0，任意的一条直线l交上述椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为．
　　关键词：椭圆；三角形面积；最大值
　　近日，笔者在奉贤中学上了一节《椭圆中的最值问题》的课，在讲解完一个例题之后，学生的一句反问让笔者对例题进行了推广，在探索的过程中，得到了椭圆中一类最值问题的一般结论．
　　题目为：已知椭圆C：+=1，斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．
　　在课堂上，学生的方法很多，大致可分为以下三种．
　　方法一：设直线l为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），首先保证直线与椭圆C有两个交点，即Δ>0，得0　　S△AOB=ABh=?≤?=．
　　方法二：设直线l为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l在y轴上的截距为m，故S△AOB=mx1-x2，通过计算可得△AOB面积的最大值为．
　　方法三：设直线l为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l在x轴上的截距为m，故S=my1-y2，通过计算可得△AOB面积的最大值为．
　　这时有学生提出疑问：是否对于任意的一条直线l交上述椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，都有△AOB面积的最大值呢？
　　看到学生们的兴趣高涨，笔者便和学生们一起探索这个问题：
　　推广1：已知椭圆C：+=1，任意的一条直线l交上述椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为．
　　证明：①若直线l的斜率k不存在，设该直线为x=n（－2　　②若直线l的斜率k存在，设该直线为y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），此时直线l在x轴上的截距为－，故得S△AOB=y1-y2． 又y1-y2=k?x1-x2，得S△AOB=mx1-x2，将y=kx+m代入+=1，整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4k2－12=0，由于直线与椭圆C有两个交点，即Δ>0，得0　　S△AOB=mx1-x2
　　故当m2=时，△AOB的面积取到最大值，为．
　　看到我们提出的第一个疑问得到了解决，学生们的积极性也进一步高涨，这时学生开始思考，是否对于一般的椭圆，也有类似的结论呢？
　　推广2：已知椭圆C：+=1，（a>b>0），任意的一条直线l交上述椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为．
　　证明：①若直线l的斜率k不存在，设该直线为x=n（－a　　②若直线l的斜率k存在，设该直线为y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），此时直线l在x轴上的截距为－，故得S△AOB=y1-y2． 又y1-y2=k?x1-x2，得S△AOB=mx1-x2，将y=kx+m代入+=1，整理得，（b2+a2k2）x2+2mka2x+a2m2－a2b2=0． 由于直线与椭圆C有两个交点，即Δ>0，得0　　同理，对于椭圆：+=1，（a>b>0），也能得到面积的最大值为．
　　通过一道小小的最值问题，笔者和学生一步一步将其推广到了椭圆中的一般结论，和学生一起经历了探索的乐趣，这是一次令人愉悦的课堂经历．