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摘 要：本文以《线性代数》课程教学为例， 基于MOOC线上资源，根据线上线下“金课”的标准，利用现代教育理念和慕课堂等智慧教学工具，从课程特点、建设手段，教学模式设计与实施，课程考核等方面，探讨并提出了重视知识重构、强调过程管理、体现个性学习的多维度线性代数混合式教学模式的构建与实际意义。
关键词：线性代数;混合式;多维度;慕课堂;MOOC
一、课程特点与教学现状
线性代数是理工、经管等学科的一门重要数学基础课程，是学习后续专业课程的先修课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理以及计算能力十分必要。特别是在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分，因此掌握其本质内涵和思想方法极为重要。
本课程在大学一年级上（或）下开设，大学生们刚刚经历了从中学的“考生”过渡为大学的“学生”，他们对新事物和新科技充满兴趣，尝试通过学习新知探究前沿问题，但对高阶思维程度的计算和证明感觉繁琐、枯燥、无从下手。另外，该课程课时普遍都较为紧张，课内信息量大，是教师难教、学生难学的一门数学课。近年，我国高校的教师和专家学者对线性代数课程教学内容和教学模式进行了多种改革和实践，并提出了多种教学方案和成效模式。教学内容的改革包括引入科学计算软件、增强实践环节、引入和专业相关的教学案例等，教学模式改革主要包括开展慕课、SPOC与翻转课堂、建设优质资源共享课与视频公开课等混合式教学[1-4]。而诸多教学改革和教学实践表明，单纯的“资源提供型”课程建设，学习全凭学生自觉，效果和传统课堂相比改进不多。与此同时，“一考定终身”的传统考核方式与“个性化教学”的新思路已不能相得益彰，于是一种新型的教学模式----基于网络课程资源和智慧教学工具的多维度混合式教学模式就日益受到了人们的重视和应用。
二、多维度混合式教学的构建与实施
根据互联网+教育资源和教育模式的推行，本课程组于2018年9月建设完成《线性代数》慕课资源并在中国大学慕课平台上线，到目前已开课6期。近年，基于本课程团队建设的MOOC线上资源，根据线上线下“金课”的标准，利用现代教育理念和慕课堂等教学工具，并融入课程思政内涵，对传统教学班开展了多维度的混合式教学探索与实践，教学效果有了显著提升。
1.重构知识体系：首先，根据教学大纲要求和专业特色，梳理课程中概念和理论的难易层次，对知识点进行“基于问题”的切割。其次，将教学内容进行重新分类，确定哪些知识适合传统的面授，哪些知识适合网络资源自行学习，哪些知识适合一起讨论。第三，对每一个知识单元，制定不同的教学目标及技能点要求，遵从每个点短小精悍但信息完整。最后，教学团队搜集整理各种相应的教学资源及路径链接，构建内容思维导图，廓清课程学习主线。
2.融入两度一性：在学习中融入大量实例重塑概念和理论的形成过程，例如秩的定义、逆矩阵的定义、向量组的线性相关性的理论、相似对角化的理论等等。结合线性代数在计算机技术和经济模型中的重要应用，及时将学术研究、科技发展前沿成果用于课程设计，通过已有案例的学习，设计富有一定难度和创新的综合题，并将现代信息技术与课程内容和教学深度融合，以探究式和增负式的理念开展教学。
此外，深度融合思政理念，将线性代数中的初等变换、秩、行最简形、特征值与特征向量、标准形等诸多知识所体现的“变中不变，取精用宏、由博反约，简于形精于心、化繁为简，循序渐进、具体到一般、理论到实践”的思政哲理通过教学设计体现出来。
3.构建教学模式：采取“课前预习（视频或书本）”+“课中翻转讨论与慕课堂答题”+“QQ群在线提交作业与互动答疑”+“MOOC或SPOC测验与互动讨论“的模式。首先，制定线上线下教学的大纲、日历、学时分配、课时测验和讨论主题等内容，根据切割知识模块，设计知识单元中课前预习、课上讲授讨论、课后复习等的具体任务和作业，并在实施的过程中根据反馈及时调整。其次，教师搭建QQ交流，以随时答疑和布置任务，并要求学生在线提交课后作业，以在管理监督的同时及时发现作业中的问题并进行反馈与修订。第三，创建与MOOC或者SPOC关联的慕课堂，在慕课堂中添加每堂课的测试题，一般一节45分钟的课设置2个测试，若是翻转课堂，学生課前已经完成内容的学习，可设置3-4个测试环节，以检测学生课中和课前的学习情况，教师根据实际情况做适当调整和内容的补充讲解。第四，教师根据各个阶段的学习讨论和作业完成情况，提炼一些共性问题和重难点，进行课堂启发式和探究式教学，要求学生在学习问题或任务的驱动下确定主题，分享应用案例和理论理解，并进行个性化学习及知识内化与总结。最后，在教学反馈与评价阶段，根据资源点击率、视频观看率及讨论区热词统计等大数据，分析目前课程资源的长处及不足之处，通过期末考试成绩和教学反馈评价等，改进和增强新一轮混合式教学开展和课程建设。
4.设计考核模式：随着教学内容的更新和教学方法及手段的创新，基于应用能力培养的线性代数教学需要改革考核方法，应全面考察学生在整个学习过程中各方面的能力的提升，采用多种评价方式相结合的方法，综合考虑过程性评价与终结性评价。过程性评价注重学习过程的考核，由两部分组成：通过MOOC（或SPOC）测试和作业的完成情况及在讨论题中的表现，实现对学生网络学习的评价;以学生慕课堂答题、平时作业、课堂提问、课堂回答、专业应用、总结报告等情况，来体现学生线下学习过程的评价。对学生的最终评价综合网络测试及期末考试来实现，除了常规的题型外，还包括考查学生综合运用所学知识解决实际问题的能力的综合性题型。
在实施中，混合式教学班级的考核的方式分为四部分：
1.在线学习：成绩以MOOC的考核和学习施行，占比20%;
2.慕课堂答题：课堂教学中，学生在慕课堂答题，记分，占比15%; 3.线下作业：根据教学进度布置作业，学生完成后教师批改、记分，占比15%;
4.线下考试：根据教学进程统一闭卷考试，教师批改，记分，占比50%。
三、教学模式的价值与意义
1.理清内容结构、提升思维能力：通过知识重构，列举线性代数各类思维导图，从课程体系、知识点、计算方法三方面，将分散在全书的知识点进行梳理和关联，比如将矩阵可逆的若干等价条件梳理，基于线性方程组的若干内容链接等，均能加深学生对各知识单元之间的内在联系理解，并能进一步明确学习目标，根据关键图示或词语进行联想，从全局和整体视角上把握课程精髓，提高发散性思维和知识扩散能力，并能使学生放射性思考具体化。
2.训练创新思维、拓展应用能力：通过对概念理论进行高度重塑，讲解和布置完成具有高阶性、创造性、挑战性、前沿性、科学性的综合题型和应用案例，例如对特征实现图像识别的应用等，能突破习惯性认知模式，实现学生对知识、能力、素质进行有机融合，培养学生深度分析并解决复杂问题的综合能力和高级思维能力，同时提高学生的创造力并深度体验通过努力而获得成功的满足感和成就感。此外，通过将线性代数内容思想和思政哲理相融合，能促进学生对课程内涵思想的深刻理解，有助于培养学生创新精神和实践应用能力。
3.线上线下融合、全面提升效果：通过混合式教学，利用丰富的在线课程教学资源和网络交流平台，能弥补传统教学模式在时间、空间上的限制，特别是通过课前预习—课上答题与思考讨论—课后反馈与在线交流三个环节，以基于学习重难点知识、解决综合问题、领会课程内涵为导向进行教学设计，更有利于培养学生的自学能力及思考能力，使学生由知识的接受者，变成知识的主动检索发现与学习者。同时，根据实时反馈，能及时解决学习中遇到的问题和集中出现的问题，促进学生学习的延续性和探究性的形成，能促进教师教学内容和方式的修正，充分提高教学效率，取得理想的教学效果。
4.多元考核综合、推动全面发展：与传统的期末考试单一评价方式相比，通过建立多元化的考核模式，能更加客观、全面、公平地考查学生的学习表现，体现过程差异，能进一步提高学生学习的积极性。此外，过程化的评价机制，更能促进学生良好学习习惯的养成，懂得“不积跬步无以至千里”的深刻道理。在线性代数中，知识点步步叠加，从行列式的意义和计算→矩阵的运算→线性方程组与矩阵的初等变换认识→矩阵的秩的定义和计算→线性方程组解的判定→向量组的线性相关性的定义和判定→最大无关组的理解和计算→线性方程组解的结构的掌握→特征值和特征向量的内涵和计算→相似对角化的意义→二次型的标准化，循序漸进，层层深入，多元考核的模式督促学生学好每个环节，从而全面提升学生的个性发展和综合素质。
四、结语
教育永远没有最好的模式，改革的步伐永不停歇。随着时代的变迁，学生认知特点的变化，将有越来越多更优化的教学模式推动教学发展。当前，借助于互联网资源和智慧工具，对教师队伍而言，我们从知识的传授者，变成教会学生如何学习和理解知识的推动者，教师进行课程建设的过程，必须学习现代信息技术与教育理论的深度融合，真正做到了教学相长。对学生而言，混合式教学过程，促进了学生的自控力、信息化学习能力和批判性思维能力的发展，这正是高等教育的根本目的，也是对中共中央《教育部关于一流本科课程建设的实施意见》全面贯彻的体现，让课程优起来、教师强起来、学生忙起来、管理严起来、效果实起来，全面促进人才的培养。
参考文献：
[1]周琴，彭关礼，张辉.混合式教学在线性代数中的探索与实践[J].数学学习与研究，2021（23）：8-9.
[2]朱青.线性代数课程“线上”+“线下”混合式教学模式研究与实践[J].菏泽学院学报，2021，43（02）：118-121.
[3]向伟，刘谢进，杨春志，马新.“线性代数”MOOC+课堂混合教学探究[J].淮南师范学院学报，2021，23（02）：112-115.
[4]段鹏举.应用型高校线性代数MOOC混合式教学模式研究[J].鄂州大学学报，2020，27（03）：84-86.
基金项目：南京邮电大学通达学院金课建设项目“基于《线性代数》MOOC的多维度混合式教学实践”，项目编号：JK20619003。
关键词：线性代数;混合式;多维度;慕课堂;MOOC
一、课程特点与教学现状
线性代数是理工、经管等学科的一门重要数学基础课程，是学习后续专业课程的先修课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理以及计算能力十分必要。特别是在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分，因此掌握其本质内涵和思想方法极为重要。
本课程在大学一年级上（或）下开设，大学生们刚刚经历了从中学的“考生”过渡为大学的“学生”，他们对新事物和新科技充满兴趣，尝试通过学习新知探究前沿问题，但对高阶思维程度的计算和证明感觉繁琐、枯燥、无从下手。另外，该课程课时普遍都较为紧张，课内信息量大，是教师难教、学生难学的一门数学课。近年，我国高校的教师和专家学者对线性代数课程教学内容和教学模式进行了多种改革和实践，并提出了多种教学方案和成效模式。教学内容的改革包括引入科学计算软件、增强实践环节、引入和专业相关的教学案例等，教学模式改革主要包括开展慕课、SPOC与翻转课堂、建设优质资源共享课与视频公开课等混合式教学[1-4]。而诸多教学改革和教学实践表明，单纯的“资源提供型”课程建设，学习全凭学生自觉，效果和传统课堂相比改进不多。与此同时，“一考定终身”的传统考核方式与“个性化教学”的新思路已不能相得益彰，于是一种新型的教学模式----基于网络课程资源和智慧教学工具的多维度混合式教学模式就日益受到了人们的重视和应用。
二、多维度混合式教学的构建与实施
根据互联网+教育资源和教育模式的推行，本课程组于2018年9月建设完成《线性代数》慕课资源并在中国大学慕课平台上线，到目前已开课6期。近年，基于本课程团队建设的MOOC线上资源，根据线上线下“金课”的标准，利用现代教育理念和慕课堂等教学工具，并融入课程思政内涵，对传统教学班开展了多维度的混合式教学探索与实践，教学效果有了显著提升。
1.重构知识体系：首先，根据教学大纲要求和专业特色，梳理课程中概念和理论的难易层次，对知识点进行“基于问题”的切割。其次，将教学内容进行重新分类，确定哪些知识适合传统的面授，哪些知识适合网络资源自行学习，哪些知识适合一起讨论。第三，对每一个知识单元，制定不同的教学目标及技能点要求，遵从每个点短小精悍但信息完整。最后，教学团队搜集整理各种相应的教学资源及路径链接，构建内容思维导图，廓清课程学习主线。
2.融入两度一性：在学习中融入大量实例重塑概念和理论的形成过程，例如秩的定义、逆矩阵的定义、向量组的线性相关性的理论、相似对角化的理论等等。结合线性代数在计算机技术和经济模型中的重要应用，及时将学术研究、科技发展前沿成果用于课程设计，通过已有案例的学习，设计富有一定难度和创新的综合题，并将现代信息技术与课程内容和教学深度融合，以探究式和增负式的理念开展教学。
此外，深度融合思政理念，将线性代数中的初等变换、秩、行最简形、特征值与特征向量、标准形等诸多知识所体现的“变中不变，取精用宏、由博反约，简于形精于心、化繁为简，循序渐进、具体到一般、理论到实践”的思政哲理通过教学设计体现出来。
3.构建教学模式：采取“课前预习（视频或书本）”+“课中翻转讨论与慕课堂答题”+“QQ群在线提交作业与互动答疑”+“MOOC或SPOC测验与互动讨论“的模式。首先，制定线上线下教学的大纲、日历、学时分配、课时测验和讨论主题等内容，根据切割知识模块，设计知识单元中课前预习、课上讲授讨论、课后复习等的具体任务和作业，并在实施的过程中根据反馈及时调整。其次，教师搭建QQ交流，以随时答疑和布置任务，并要求学生在线提交课后作业，以在管理监督的同时及时发现作业中的问题并进行反馈与修订。第三，创建与MOOC或者SPOC关联的慕课堂，在慕课堂中添加每堂课的测试题，一般一节45分钟的课设置2个测试，若是翻转课堂，学生課前已经完成内容的学习，可设置3-4个测试环节，以检测学生课中和课前的学习情况，教师根据实际情况做适当调整和内容的补充讲解。第四，教师根据各个阶段的学习讨论和作业完成情况，提炼一些共性问题和重难点，进行课堂启发式和探究式教学，要求学生在学习问题或任务的驱动下确定主题，分享应用案例和理论理解，并进行个性化学习及知识内化与总结。最后，在教学反馈与评价阶段，根据资源点击率、视频观看率及讨论区热词统计等大数据，分析目前课程资源的长处及不足之处，通过期末考试成绩和教学反馈评价等，改进和增强新一轮混合式教学开展和课程建设。
4.设计考核模式：随着教学内容的更新和教学方法及手段的创新，基于应用能力培养的线性代数教学需要改革考核方法，应全面考察学生在整个学习过程中各方面的能力的提升，采用多种评价方式相结合的方法，综合考虑过程性评价与终结性评价。过程性评价注重学习过程的考核，由两部分组成：通过MOOC（或SPOC）测试和作业的完成情况及在讨论题中的表现，实现对学生网络学习的评价;以学生慕课堂答题、平时作业、课堂提问、课堂回答、专业应用、总结报告等情况，来体现学生线下学习过程的评价。对学生的最终评价综合网络测试及期末考试来实现，除了常规的题型外，还包括考查学生综合运用所学知识解决实际问题的能力的综合性题型。
在实施中，混合式教学班级的考核的方式分为四部分：
1.在线学习：成绩以MOOC的考核和学习施行，占比20%;
2.慕课堂答题：课堂教学中，学生在慕课堂答题，记分，占比15%; 3.线下作业：根据教学进度布置作业，学生完成后教师批改、记分，占比15%;
4.线下考试：根据教学进程统一闭卷考试，教师批改，记分，占比50%。
三、教学模式的价值与意义
1.理清内容结构、提升思维能力：通过知识重构，列举线性代数各类思维导图，从课程体系、知识点、计算方法三方面，将分散在全书的知识点进行梳理和关联，比如将矩阵可逆的若干等价条件梳理，基于线性方程组的若干内容链接等，均能加深学生对各知识单元之间的内在联系理解，并能进一步明确学习目标，根据关键图示或词语进行联想，从全局和整体视角上把握课程精髓，提高发散性思维和知识扩散能力，并能使学生放射性思考具体化。
2.训练创新思维、拓展应用能力：通过对概念理论进行高度重塑，讲解和布置完成具有高阶性、创造性、挑战性、前沿性、科学性的综合题型和应用案例，例如对特征实现图像识别的应用等，能突破习惯性认知模式，实现学生对知识、能力、素质进行有机融合，培养学生深度分析并解决复杂问题的综合能力和高级思维能力，同时提高学生的创造力并深度体验通过努力而获得成功的满足感和成就感。此外，通过将线性代数内容思想和思政哲理相融合，能促进学生对课程内涵思想的深刻理解，有助于培养学生创新精神和实践应用能力。
3.线上线下融合、全面提升效果：通过混合式教学，利用丰富的在线课程教学资源和网络交流平台，能弥补传统教学模式在时间、空间上的限制，特别是通过课前预习—课上答题与思考讨论—课后反馈与在线交流三个环节，以基于学习重难点知识、解决综合问题、领会课程内涵为导向进行教学设计，更有利于培养学生的自学能力及思考能力，使学生由知识的接受者，变成知识的主动检索发现与学习者。同时，根据实时反馈，能及时解决学习中遇到的问题和集中出现的问题，促进学生学习的延续性和探究性的形成，能促进教师教学内容和方式的修正，充分提高教学效率，取得理想的教学效果。
4.多元考核综合、推动全面发展：与传统的期末考试单一评价方式相比，通过建立多元化的考核模式，能更加客观、全面、公平地考查学生的学习表现，体现过程差异，能进一步提高学生学习的积极性。此外，过程化的评价机制，更能促进学生良好学习习惯的养成，懂得“不积跬步无以至千里”的深刻道理。在线性代数中，知识点步步叠加，从行列式的意义和计算→矩阵的运算→线性方程组与矩阵的初等变换认识→矩阵的秩的定义和计算→线性方程组解的判定→向量组的线性相关性的定义和判定→最大无关组的理解和计算→线性方程组解的结构的掌握→特征值和特征向量的内涵和计算→相似对角化的意义→二次型的标准化，循序漸进，层层深入，多元考核的模式督促学生学好每个环节，从而全面提升学生的个性发展和综合素质。
四、结语
教育永远没有最好的模式，改革的步伐永不停歇。随着时代的变迁，学生认知特点的变化，将有越来越多更优化的教学模式推动教学发展。当前，借助于互联网资源和智慧工具，对教师队伍而言，我们从知识的传授者，变成教会学生如何学习和理解知识的推动者，教师进行课程建设的过程，必须学习现代信息技术与教育理论的深度融合，真正做到了教学相长。对学生而言，混合式教学过程，促进了学生的自控力、信息化学习能力和批判性思维能力的发展，这正是高等教育的根本目的，也是对中共中央《教育部关于一流本科课程建设的实施意见》全面贯彻的体现，让课程优起来、教师强起来、学生忙起来、管理严起来、效果实起来，全面促进人才的培养。
参考文献：
[1]周琴，彭关礼，张辉.混合式教学在线性代数中的探索与实践[J].数学学习与研究，2021（23）：8-9.
[2]朱青.线性代数课程“线上”+“线下”混合式教学模式研究与实践[J].菏泽学院学报，2021，43（02）：118-121.
[3]向伟，刘谢进，杨春志，马新.“线性代数”MOOC+课堂混合教学探究[J].淮南师范学院学报，2021，23（02）：112-115.
[4]段鹏举.应用型高校线性代数MOOC混合式教学模式研究[J].鄂州大学学报，2020，27（03）：84-86.
基金项目：南京邮电大学通达学院金课建设项目“基于《线性代数》MOOC的多维度混合式教学实践”，项目编号：JK20619003。