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一、教前思考
“表面涂色的正方体”是苏教版小学数学六年级上册设置的规律探究内容。“探索并发现表面涂色的小正方体的各种情况以及涂色规律，理解每一类涂色小正方体的个数与它在大正方体中所处位置的关系”是这部分内容的教学重点。这一点并不难，学生依靠直观思维，就能较快理解。“初步理解每一类涂色小正方体的个数与大正方体每条棱被平均分成的份数之间的关系”是这部分内容的教学难点。突破了这一点，规律性的认识就能顺利得出。
这部分内容的教学应该以学生为主体，从简单到复杂，从具体到抽象，引导学生自主探究，解决问题，从中发现规律（上述一般化的关系）。此外，可以通过生活情境激发学生的兴趣，用有一定难度的问题引领学生的思考。
二、教学实录
（一）创设情境，提出问题
师 （出示问题，如图1）圣诞节就要来了，圣诞老人准备给小朋友们派送彩色奶油蛋糕。
生 103，也就是1000个。
（教师板书，如图2。）
师 如果你喜欢吃带彩色奶油的蛋糕，你会怎么选择？
生 我会选3面都有奶油的。
师 有多少个？指一指，数一数。
生 （走上来指着屏幕数）有8个。
师 为什么都在顶点处？
生 顶点是3条棱相交的点。
（教师板书，如图3。）
师 除了3面涂色的小正方体，还有几面涂色的？
生 2面涂色的。
师 有多少个？谁再来指一指，数一数？
生 （边指边数）这条棱上有8个，这条棱上也有8个……
生 可以用8×12=96来计算。
师 嗯，这位同学用算式来表示，真棒！为什么都在棱上呢？
生 因为2个面相交就成棱。
（教师板书，如图4。）
师 还有什么？
生 1面涂色的。
师 1面涂色的会有多少个呢？都在哪儿？谁也来指一指、数一数？
生 （边指边数）1面涂色的在6个面上，每个面上有64个，6个面上就有64×6=384个。
生 我知道，64是这样算出来的：8×8=64。
（有些学生豁然大悟，有些学生似懂非懂，还有些学生茫然。教师板书，如图5。）
师 大家在找几面涂色的小正方体个数时有什么感受？是不是觉得有些难？
生 是的，有点难，但是觉得应该有规律。
师 那么，我们研究比较难的复杂问题时可以怎么办呢？
生 从简单的开始。
师 可以从哪儿开始研究？
生 我们可以研究把大正方体的每条棱平均分成2份、3份、4份、5份等等。
[评析：教师没有按教材顺序从“把大正方体的每条棱平均分成2份”开始，而是直接从“平均分成10份”入手，发现学生经过努力也能大致完成。这个过程让学生
体会到寻找规律是有一定的难度的，不由得思考怎样才能便捷地解决这样的问题，产生迫切的求知欲望。而这样由繁而简的设计也在
告诉学生：当遇到复杂问题时，可以尽可能地把它简单化，由简入繁。]
（二）经历过程，探究规律
1.把大正方体的每条棱平均分成2份。
（教师出示问题，如图6。）
生 把大正方体的每条棱平均分成2份，分成了8个小正方体，它们都是3面涂色的。
（教师板书，如图7。）
[评析：“把大正方体的每条棱平均分成2份”的问题非常简单，教师并未做任何提示，只是根据学生的回答做好相应的板书，静待学生经历探究的过程。]
2.把大正方体的每条棱平均分成3份。
（教师出示问题，如图8。）
生 能切成27个小正方体。
生 3面涂色的还是8个，因为3面涂色的在8个顶点处。
师 会随着平均分的份数而变化吗？
生 （齐）不会。
生 2面涂色的有12个，因为2面涂色的在12条棱上，每条棱上有3-2=1个，12条棱上就有（3-2）×12=12个。
师 你能解释一下“3-2”的意思吗？
生 每條棱上有3个小正方体，去掉两端3面涂色的2个，剩下中间的1个就是2面涂色的了。
师 大家听明白了吗？谁再来说一遍？
（一位学生重复解释。）
生 1面涂色的有6个，因为1面涂色的在6个面上，每个面上有1个，6个面上就有1×6=6个。
（教师结合课件小结，如图9。然后板书，如图10。）
[评析：当学生回答“2面涂色的有多少个”，直接说出“（3-2）×12”时，其已经超越了
“数一数”的直观思维水平。这出乎了教师的意料。不过，教师顺势而为，让学生进行解释，并给予了肯定，从而引发了更多学生的思考，让教学难点在这样的“意外”中自然地获得了突破。]
3.把大正方体的每条棱平均分成4份。
（教师出示问题，如图11。）
生 能切成64个小正方体。
生 3面涂色的还是8个。
师 为什么？
生 因为3面涂色的小正方体在顶点上，而顶点始终是8个。
师 真棒！这就是知其然又知其所以然。
生 2面涂色的有24个，每条棱上有4-2=2个，12条棱上就有（4-2）×12=24个。
生 1面涂色的有24个，每个面上有4个，6个面上就有4×6=24个。
师 4×6中的“4”是怎么来的？
生 （4-2）2。 师 你能解释一下吗？
（学生解释。教师结合课件小结，如图12。然后板书，如图13。）
[评析：学生经历了“把大正方体的每条棱平均分成3份”的问题解决过程后，都有了自己的思考，因此这里探究“2面涂色的小正方体个数”时都会想到“（4-2）×12”，探究“1面涂色的小正方体个数”时也会产生本质上的思考：（4-2）2×6。当然，有的学生对算式的来龙去脉可能还不能充分理解。对此，教师也不急躁，而是引导学生
进行解释，然后“静待花开”。]
4.把大正方体的每条棱平均分成5份。
（教师出示问题，如图14。）
生 能切成125个小正方体。
生 3面涂色的还是8个。
生 2面涂色的有（5-2）×12=36个。
生 1面涂色的有（5-2）2×6=54个。
师 你能解释一下吗？
生 因为这一行有5个，去掉棱上的2个就是3个。
师 那还有一个5-2呢？
生 因为这一列也有5个，去掉棱上的2个就是3个。
师 这是一个边长是5-2的正方形，小正方形的个数就是（5-2）2。
（教师结合课件小结，如图12中的4阶立方体变成5阶立方体。然后板书，如图13中的“4”变成“5”。）
[评析：通过“把大正方体的每条棱平均分成5份”的问题解决过程，继续强化学生对规律的感悟。这时，学生对规律的认识已经呼之欲出了，但是表达上还是有一点小障碍。教师的处理依然非常从容：继续等待。]
5.把大正方体的每条棱平均分成7份。
师 如果把大正方体的每条棱平均分成7份呢？这一次不看图了。
生 3面涂色的还是8个。2面涂色的有（7-2）×12=60个。1面涂色的有（7-2）2×6=150个。
师 怎么想的？
生 3面涂色的始终是8个。2面涂色的每条棱上有7-2个，12条棱就再乘12。3面涂色的每个面上有（7-2）2个，6个面就再乘6。
师 真棒！虽然现在没有模型也没有图，但是你的脑中已经有了这个模型和图了。5是怎么来的？减掉的2表示什么？大家理解了吗？请看图找感觉。
（教师结合课件小结，如图12中的4阶立方体变成7阶立方体。然后板书，如图13中的“4”变成“7”。）
[评析：通过“把大正方体的每条棱平均分成7份”的问题解决过程，训练学生的空间想象能力，同时继续强化学生对规律的感悟。这时，学生汇报的都是有过程的算式了，说明他们对规律已经有比较清晰的认识了。]
6.把大正方体的每条棱平均分成若干份。
师 通过刚才的研究，我们发现，把表面涂色的大正方体的每条棱平均分成若干份，3面涂色的和8个顶点有关，2面涂色的和12条棱有关，1面涂色的和6个面有关。每一类涂色小正方体的个数与它在大正方体中所处位置有关，还与什么有关呢？不急，我们继续来研究。（稍停）一开始，我们把大正方体的每条棱平均分成10份，现在你能照样子改写了吗？
（学生回答。教师板书，如图13中的“4”变成“10”。）
师 再来一个更复杂的，100份呢？
（学生回答。教师板书，如图13中的“4”变成“100”。）
师 现在，你能把前面的“2份”的算式也改写成这样的形式吗？
（学生回答。教师板书，如图13中的“4”变成“2”。）
师 你发现什么规律了？说来听听。
生 3面涂色的都是8个，2面涂色的都是12的倍数，1面涂色的都是6的倍数。
生 2面和1面涂色的小正方体的个数还与大正方体每条棱被平均分成的份数有关。比如，把大正方体的每条棱平均分成7份，2面涂色的就是（7-2）×12=60个，1面涂色的就是（7-2）2×6=150个。
师 为什么会有这样的关系？减掉的2是指什么？
生 是指每条棱上两端3面涂色的小正方体个数。
师 一开始，也许你并不能直接发现规律，但是只要你仔细聆听，
听懂了，别人的发现也就成了你的发现。你也能这样举个例子吗？
（学生回答。）
師 如果把大正方体的每条棱平均分成n份呢，怎样表示？n可以指哪些数？
（学生回答。教师结合课件小结，如图15。然后板书，如图13中的“4”变成“n”。）
师 大家依据正方体的特征找、数、算，还能够通过推理发现规律：每一类涂色小正方体的个数与它在大正方体中所处位置有关，还与大正方体每条棱被平均分成的份数有关。
[评析：在学生自主生成的基础上，教师组织共同提炼升华。此时，学生对于规律的理解和认识已经很清楚到位。
整个教学过程中，教师由扶到放、由具体到抽象，让学生自主探究并自主发现、论述，把问题简单化并从中发现规律、加以推广；学生始终处于积极思考的状态，既掌握了知识，也锻炼了思维。]
（三）反思过程，拓展问题
师 回顾发现规律的过程，你能结合板书来谈谈体会吗？
生 发现规律的过程是从简单到复杂、从具体到抽象的过程。
生 把找、数、算的方法结合起来，并根据图形特征来考虑，就能很快找到规律。
生 发现的规律是：把大正方体的每条棱平均分成n份，3面涂色的小正方体总是8个，2面涂色的小正方体有12（n-2）个，1面涂色的小正方体有 6（n-2）2个。
师 我们用这样的策略研究了表面涂色的正方体个数，你觉得还可以用这样的方法来研究什么问题？
生 表面不涂色的小正方体个数。 师 你能说说吗？
（学生积极思考、举手。）
师 时间关系，我们课后再研究吧。
[评析：有了前面的自主探究发现，新的问题一提出，很多学生立即陷入了思考，也有学生几乎立刻有了反馈。这样便把课堂探究與发现延伸到了课外。]
三、教学总评
这是一节规律探究课，教学中要把学习的主动权还给学生，让学生从具体的案例中学会探究，体会数学探究的一般“套路”，从而培养学生的学习力。
（一）探究路径：从“发现”走向“会发现”
在数学探究教学中，我们要突破按部就班的“被动接受”方式，相信学生是与生俱来的“主动探究”者，引导学生自主创生探究的路径。
本节课由复杂的问题情境引入，让大部分学生感觉困难，从而引出“那么，我们研究比较难的复杂问题时可以怎么办呢”。学生从中获得探究的路径：从简单的开始发现一般规律，然后运用规律解决比较困难的问题。此时的发现规律的方法与价值也就进一步凸显了。这样的过程中，学生正在从“发现”走向“会发现”。
（二）探究过程：从“解决”走向“会解决”
教师要充分发挥学生的自主参与意识，鼓励学生参与自主分工、设计、完善研究方案的过程。所以，在学生自主创生探究的路径后，教师还要继续引导学生经历探究的过程，不仅获得知识的理解，而且获得更多智慧的启迪。
本节课在具体探究发现规律的过程中，遵循由简单到复杂（数量方面的简单到复杂，重点到难点的简单到复杂）、由具体到抽象的问题解决逻辑。最后发现规律的水到渠成验证了探究思路的合理性。这样的过程中，学生正在从“解决”走向“会解决”。
（三）探究反思：从“反思”走向“会反思”
教学应以学生为本，并进一步落实到使学生学会学习。这就要通过反思提高学生的元认知能力，以实现从“加工知识”走向“驾驭知识”、从“学会数学”走向“会学数学”的目标，从而促进“人的终身发展”。
本节课中，教师有一件事做得非常到位，那就是随着学生的思维生成板书，使得每一位学生进行知识建模时有凭借、有支撑，即使基础较差的学生也不需要教师做过多的点拨。在此基础上，学生的反思内容自然就比较全面，有发现的路径，有发现的方法，有发现的规律，等等。而这样的过程本身就在有意识地引导学生从“反思”走向“会反思”，不仅关注知识的积累，更关注能力的提升。
最后需要指出的是，如何更加有效地利用学具帮助部分思维能力较弱的学生真正理解规律，如何根据学生的实际情况设计不同的学习路线，是本节课的教学设计不够到位的地方。对此，我们将展开进一步的思考与研究。
“表面涂色的正方体”是苏教版小学数学六年级上册设置的规律探究内容。“探索并发现表面涂色的小正方体的各种情况以及涂色规律，理解每一类涂色小正方体的个数与它在大正方体中所处位置的关系”是这部分内容的教学重点。这一点并不难，学生依靠直观思维，就能较快理解。“初步理解每一类涂色小正方体的个数与大正方体每条棱被平均分成的份数之间的关系”是这部分内容的教学难点。突破了这一点，规律性的认识就能顺利得出。
这部分内容的教学应该以学生为主体，从简单到复杂，从具体到抽象，引导学生自主探究，解决问题，从中发现规律（上述一般化的关系）。此外，可以通过生活情境激发学生的兴趣，用有一定难度的问题引领学生的思考。
二、教学实录
（一）创设情境，提出问题
师 （出示问题，如图1）圣诞节就要来了，圣诞老人准备给小朋友们派送彩色奶油蛋糕。
生 103，也就是1000个。
（教师板书，如图2。）
师 如果你喜欢吃带彩色奶油的蛋糕，你会怎么选择？
生 我会选3面都有奶油的。
师 有多少个？指一指，数一数。
生 （走上来指着屏幕数）有8个。
师 为什么都在顶点处？
生 顶点是3条棱相交的点。
（教师板书，如图3。）
师 除了3面涂色的小正方体，还有几面涂色的？
生 2面涂色的。
师 有多少个？谁再来指一指，数一数？
生 （边指边数）这条棱上有8个，这条棱上也有8个……
生 可以用8×12=96来计算。
师 嗯，这位同学用算式来表示，真棒！为什么都在棱上呢？
生 因为2个面相交就成棱。
（教师板书，如图4。）
师 还有什么？
生 1面涂色的。
师 1面涂色的会有多少个呢？都在哪儿？谁也来指一指、数一数？
生 （边指边数）1面涂色的在6个面上，每个面上有64个，6个面上就有64×6=384个。
生 我知道，64是这样算出来的：8×8=64。
（有些学生豁然大悟，有些学生似懂非懂，还有些学生茫然。教师板书，如图5。）
师 大家在找几面涂色的小正方体个数时有什么感受？是不是觉得有些难？
生 是的，有点难，但是觉得应该有规律。
师 那么，我们研究比较难的复杂问题时可以怎么办呢？
生 从简单的开始。
师 可以从哪儿开始研究？
生 我们可以研究把大正方体的每条棱平均分成2份、3份、4份、5份等等。
[评析：教师没有按教材顺序从“把大正方体的每条棱平均分成2份”开始，而是直接从“平均分成10份”入手，发现学生经过努力也能大致完成。这个过程让学生
体会到寻找规律是有一定的难度的，不由得思考怎样才能便捷地解决这样的问题，产生迫切的求知欲望。而这样由繁而简的设计也在
告诉学生：当遇到复杂问题时，可以尽可能地把它简单化，由简入繁。]
（二）经历过程，探究规律
1.把大正方体的每条棱平均分成2份。
（教师出示问题，如图6。）
生 把大正方体的每条棱平均分成2份，分成了8个小正方体，它们都是3面涂色的。
（教师板书，如图7。）
[评析：“把大正方体的每条棱平均分成2份”的问题非常简单，教师并未做任何提示，只是根据学生的回答做好相应的板书，静待学生经历探究的过程。]
2.把大正方体的每条棱平均分成3份。
（教师出示问题，如图8。）
生 能切成27个小正方体。
生 3面涂色的还是8个，因为3面涂色的在8个顶点处。
师 会随着平均分的份数而变化吗？
生 （齐）不会。
生 2面涂色的有12个，因为2面涂色的在12条棱上，每条棱上有3-2=1个，12条棱上就有（3-2）×12=12个。
师 你能解释一下“3-2”的意思吗？
生 每條棱上有3个小正方体，去掉两端3面涂色的2个，剩下中间的1个就是2面涂色的了。
师 大家听明白了吗？谁再来说一遍？
（一位学生重复解释。）
生 1面涂色的有6个，因为1面涂色的在6个面上，每个面上有1个，6个面上就有1×6=6个。
（教师结合课件小结，如图9。然后板书，如图10。）
[评析：当学生回答“2面涂色的有多少个”，直接说出“（3-2）×12”时，其已经超越了
“数一数”的直观思维水平。这出乎了教师的意料。不过，教师顺势而为，让学生进行解释，并给予了肯定，从而引发了更多学生的思考，让教学难点在这样的“意外”中自然地获得了突破。]
3.把大正方体的每条棱平均分成4份。
（教师出示问题，如图11。）
生 能切成64个小正方体。
生 3面涂色的还是8个。
师 为什么？
生 因为3面涂色的小正方体在顶点上，而顶点始终是8个。
师 真棒！这就是知其然又知其所以然。
生 2面涂色的有24个，每条棱上有4-2=2个，12条棱上就有（4-2）×12=24个。
生 1面涂色的有24个，每个面上有4个，6个面上就有4×6=24个。
师 4×6中的“4”是怎么来的？
生 （4-2）2。 师 你能解释一下吗？
（学生解释。教师结合课件小结，如图12。然后板书，如图13。）
[评析：学生经历了“把大正方体的每条棱平均分成3份”的问题解决过程后，都有了自己的思考，因此这里探究“2面涂色的小正方体个数”时都会想到“（4-2）×12”，探究“1面涂色的小正方体个数”时也会产生本质上的思考：（4-2）2×6。当然，有的学生对算式的来龙去脉可能还不能充分理解。对此，教师也不急躁，而是引导学生
进行解释，然后“静待花开”。]
4.把大正方体的每条棱平均分成5份。
（教师出示问题，如图14。）
生 能切成125个小正方体。
生 3面涂色的还是8个。
生 2面涂色的有（5-2）×12=36个。
生 1面涂色的有（5-2）2×6=54个。
师 你能解释一下吗？
生 因为这一行有5个，去掉棱上的2个就是3个。
师 那还有一个5-2呢？
生 因为这一列也有5个，去掉棱上的2个就是3个。
师 这是一个边长是5-2的正方形，小正方形的个数就是（5-2）2。
（教师结合课件小结，如图12中的4阶立方体变成5阶立方体。然后板书，如图13中的“4”变成“5”。）
[评析：通过“把大正方体的每条棱平均分成5份”的问题解决过程，继续强化学生对规律的感悟。这时，学生对规律的认识已经呼之欲出了，但是表达上还是有一点小障碍。教师的处理依然非常从容：继续等待。]
5.把大正方体的每条棱平均分成7份。
师 如果把大正方体的每条棱平均分成7份呢？这一次不看图了。
生 3面涂色的还是8个。2面涂色的有（7-2）×12=60个。1面涂色的有（7-2）2×6=150个。
师 怎么想的？
生 3面涂色的始终是8个。2面涂色的每条棱上有7-2个，12条棱就再乘12。3面涂色的每个面上有（7-2）2个，6个面就再乘6。
师 真棒！虽然现在没有模型也没有图，但是你的脑中已经有了这个模型和图了。5是怎么来的？减掉的2表示什么？大家理解了吗？请看图找感觉。
（教师结合课件小结，如图12中的4阶立方体变成7阶立方体。然后板书，如图13中的“4”变成“7”。）
[评析：通过“把大正方体的每条棱平均分成7份”的问题解决过程，训练学生的空间想象能力，同时继续强化学生对规律的感悟。这时，学生汇报的都是有过程的算式了，说明他们对规律已经有比较清晰的认识了。]
6.把大正方体的每条棱平均分成若干份。
师 通过刚才的研究，我们发现，把表面涂色的大正方体的每条棱平均分成若干份，3面涂色的和8个顶点有关，2面涂色的和12条棱有关，1面涂色的和6个面有关。每一类涂色小正方体的个数与它在大正方体中所处位置有关，还与什么有关呢？不急，我们继续来研究。（稍停）一开始，我们把大正方体的每条棱平均分成10份，现在你能照样子改写了吗？
（学生回答。教师板书，如图13中的“4”变成“10”。）
师 再来一个更复杂的，100份呢？
（学生回答。教师板书，如图13中的“4”变成“100”。）
师 现在，你能把前面的“2份”的算式也改写成这样的形式吗？
（学生回答。教师板书，如图13中的“4”变成“2”。）
师 你发现什么规律了？说来听听。
生 3面涂色的都是8个，2面涂色的都是12的倍数，1面涂色的都是6的倍数。
生 2面和1面涂色的小正方体的个数还与大正方体每条棱被平均分成的份数有关。比如，把大正方体的每条棱平均分成7份，2面涂色的就是（7-2）×12=60个，1面涂色的就是（7-2）2×6=150个。
师 为什么会有这样的关系？减掉的2是指什么？
生 是指每条棱上两端3面涂色的小正方体个数。
师 一开始，也许你并不能直接发现规律，但是只要你仔细聆听，
听懂了，别人的发现也就成了你的发现。你也能这样举个例子吗？
（学生回答。）
師 如果把大正方体的每条棱平均分成n份呢，怎样表示？n可以指哪些数？
（学生回答。教师结合课件小结，如图15。然后板书，如图13中的“4”变成“n”。）
师 大家依据正方体的特征找、数、算，还能够通过推理发现规律：每一类涂色小正方体的个数与它在大正方体中所处位置有关，还与大正方体每条棱被平均分成的份数有关。
[评析：在学生自主生成的基础上，教师组织共同提炼升华。此时，学生对于规律的理解和认识已经很清楚到位。
整个教学过程中，教师由扶到放、由具体到抽象，让学生自主探究并自主发现、论述，把问题简单化并从中发现规律、加以推广；学生始终处于积极思考的状态，既掌握了知识，也锻炼了思维。]
（三）反思过程，拓展问题
师 回顾发现规律的过程，你能结合板书来谈谈体会吗？
生 发现规律的过程是从简单到复杂、从具体到抽象的过程。
生 把找、数、算的方法结合起来，并根据图形特征来考虑，就能很快找到规律。
生 发现的规律是：把大正方体的每条棱平均分成n份，3面涂色的小正方体总是8个，2面涂色的小正方体有12（n-2）个，1面涂色的小正方体有 6（n-2）2个。
师 我们用这样的策略研究了表面涂色的正方体个数，你觉得还可以用这样的方法来研究什么问题？
生 表面不涂色的小正方体个数。 师 你能说说吗？
（学生积极思考、举手。）
师 时间关系，我们课后再研究吧。
[评析：有了前面的自主探究发现，新的问题一提出，很多学生立即陷入了思考，也有学生几乎立刻有了反馈。这样便把课堂探究與发现延伸到了课外。]
三、教学总评
这是一节规律探究课，教学中要把学习的主动权还给学生，让学生从具体的案例中学会探究，体会数学探究的一般“套路”，从而培养学生的学习力。
（一）探究路径：从“发现”走向“会发现”
在数学探究教学中，我们要突破按部就班的“被动接受”方式，相信学生是与生俱来的“主动探究”者，引导学生自主创生探究的路径。
本节课由复杂的问题情境引入，让大部分学生感觉困难，从而引出“那么，我们研究比较难的复杂问题时可以怎么办呢”。学生从中获得探究的路径：从简单的开始发现一般规律，然后运用规律解决比较困难的问题。此时的发现规律的方法与价值也就进一步凸显了。这样的过程中，学生正在从“发现”走向“会发现”。
（二）探究过程：从“解决”走向“会解决”
教师要充分发挥学生的自主参与意识，鼓励学生参与自主分工、设计、完善研究方案的过程。所以，在学生自主创生探究的路径后，教师还要继续引导学生经历探究的过程，不仅获得知识的理解，而且获得更多智慧的启迪。
本节课在具体探究发现规律的过程中，遵循由简单到复杂（数量方面的简单到复杂，重点到难点的简单到复杂）、由具体到抽象的问题解决逻辑。最后发现规律的水到渠成验证了探究思路的合理性。这样的过程中，学生正在从“解决”走向“会解决”。
（三）探究反思：从“反思”走向“会反思”
教学应以学生为本，并进一步落实到使学生学会学习。这就要通过反思提高学生的元认知能力，以实现从“加工知识”走向“驾驭知识”、从“学会数学”走向“会学数学”的目标，从而促进“人的终身发展”。
本节课中，教师有一件事做得非常到位，那就是随着学生的思维生成板书，使得每一位学生进行知识建模时有凭借、有支撑，即使基础较差的学生也不需要教师做过多的点拨。在此基础上，学生的反思内容自然就比较全面，有发现的路径，有发现的方法，有发现的规律，等等。而这样的过程本身就在有意识地引导学生从“反思”走向“会反思”，不仅关注知识的积累，更关注能力的提升。
最后需要指出的是，如何更加有效地利用学具帮助部分思维能力较弱的学生真正理解规律，如何根据学生的实际情况设计不同的学习路线，是本节课的教学设计不够到位的地方。对此，我们将展开进一步的思考与研究。