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[摘 要] 考虑最大（小）实体要求作为公差与技术测量课程教学中的重、难点，通常学生很难理解、掌握，本文对其相关问题进行深入研究。首先，由一个不符合独立原则的零件，引入公差原则中的相关要求。其次，分析遵守最大（小）实体要求的零件是否合格的条件并推断其初始表达式，进而推导出形式简单且易懂、易用的误差判别式；最后，利用图示法形象直观地解释了最大（小）实体要求在不同层面的含义。上述方法运用到公差原则的教学中，使学生做到轻松学习、透彻理解、扎实掌握、娴熟应用。
[关键词] 公差原则；独立原则；最大实体要求；最小实体要求；教学改革
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634（2013）04-0085-04
0 引言
公差原则是公差与技术测量课程教学的重点，更是难点章节。2011年秋季笔者首次讲授公差与技术测量，授课对象为2009级材料成型及控制工程专业。讲授公差原则时，已感觉到学生对这部分内容接受得非常吃力；课程结束考核后，通过学生对试卷中有关这个知识点的题目作答状况（相关题目共17分，平均得分10.57分，得分率62.17%）更加确定了学习效果的不理想。
笔者认真分析总结了缘由所在，除课程内容本身过于抽象及学生接受新知识的能力可能不强等客观因素外，其中不乏教师对难点内容处理不够到位。如，从学生易于理解的“尺寸公差和形位公差不相干的公差原则即是独立原则”直接过渡到“二者相干的公差原则就是相关要求”。这种过渡看似巧妙，实则知识点引入过于简单生硬，导致学生从一开始就没能弄清楚“相关要求”可发挥的作用。略显简易的开端，未拓展原本形式复杂且难于理解、驾驭的判定遵守实体要求的零件是否合格条件，加之学时所限，课上未对学生可能存在的某些疑问做详细的补充说明，致使学生对这部分内容的学习自始至终显得非常吃力。
本课程收尾之际，恰逢2011年底学校组织校级教学改革研究项目立项工作，考虑到本课程当时的状况，笔者遂申报了本课程的教改项目，以期在项目资助下更好地探讨有利于学生对本课程难点内容（公差原则在其中）学习的教学新方法。
自学校同意立项之日即2012年1月起至2012年9月间，笔者结合初次教学的得与失，经过自我揣摩及与项目组成员、兄弟院校公差与技术测量课程组老师的学习、交流，对本课程中所涵盖的重、难点内容逐一作了深入的教学研究，并制定了全新的教学方案。
1 相关要求的引入
尺寸公差及形位公差讲解过后，会很自然地想到：判定零件是否合格需从两方面着手：（1）实际尺寸是否介于极限尺寸之间（或实际偏差是否介于上、下偏差之间）；（2）形位误差是否不大于给定的形位公差。
由于尺寸公差的补偿，此时垂直度公差较图中给定值要大，且大于垂直度误差值。至此，按图1判定为不合格的零件，按图2判定为合格。当然，这种标注上的变动并非为使零件合格而合格，此时的合格意味着该零件达到了某种特定的功能要求。 按图1判定零件是否合格时，尺寸和形位公差各自独立，互不干涉。而按图2判定时，尺寸公差和形位公差产生了关联，尺寸公差补偿给形位公差，使形位公差放大。
尺寸公差和形位公差非独立即关联，处理二者之间关系的基本原则即是公差原则。尺寸公差和形位公差不相干的公差原则即是独立原则，此外即为相关要求（《GB/T 4249-1996公差原则》已将相关原则改称为相关要求）。独立原则使用范围较广，大约90%的零件设计均采用独立原则[1，2]。但相关要求是保证零件满足某些特定功能需求时适宜采用的公差原则。
相关要求共三类，即包容要求、最大实体要求和最小实体要求，可分别保证零件满足三种不同的功能要求。文中只涉及后两种相关要求。
2 遵守实体要求的零件合格条件
2.1 作用尺寸判别法
了解作用尺寸后，体外作用尺寸使轴的尺寸变大，孔的尺寸变小；体内作用尺寸使轴的尺寸变小，孔的尺寸变大的道理会显而易见。
1）最大实体要求的作用尺寸判别法。如图3所示的轴和孔，假设局部实际尺寸处处相等，亦处处相等。
从图3中可清楚地观察到决定轴、孔能否自由装配的并不是轴、孔的实际尺寸和，而是使轴变大的体外作用尺寸和使孔变小的体外作用尺寸。
为确保孔、轴之间的可装配性，自然需要对轴和孔的体外作用尺寸分别加以控制，使其不超越轴、孔的体外作用尺寸极限值即最大实体实效尺寸。毋庸置疑，轴、孔的局部实际尺寸也必须分别被控制在轴、孔的极限尺寸或最大、最小实体尺寸之间。
以上公式形式相同（均为）且符合人们的判别习惯，即形位误差不大于形位公差，只是这里的形位公差由两部分组成，即。只要将处理正确，问题可迎刃而解。分析式（13）～（16）可知：对于最大实体要求，局部实际尺寸与最大实体尺寸偏离值即为值；对于最小实体要求，局部实际尺寸与最小实体尺寸偏离值即为值。
另外，从公式可一目了然：用来控制形位误差的公差值要较独立原则中的公差值增加一个补偿量，使形位公差值放大。所以最大（小）实体要求可提高零件的合格率，获得显著的经济效益并可保证产品质量[3-5]。
3 图示实体要求的含义
不借助公式，有关最大（小）实体要求的一些问题不易掌握，如果借助图形，会有助于理解。
3.1 实体实效边界的控制作用
以遵守最大实体要求的孔类零件为例，如图5（a）。若孔的局部实际尺寸处处相等，且处于孔的极限尺寸之间，则该孔可以有垂直度误差，如图5（b）。可以产生多大的垂直度误差？如图5（c），只要孔的局部实际尺寸和垂直度误差的综合作用结果即未超越孔的最大实体实效边界即可（需特别注意的是，孔的体外作用尺寸界线位于孔的最大实体实效边界之外为合格）。 3.2 局部实际尺寸与形位误差的关系
遵守最大（小）实体要求的轴或孔类零件，在极限尺寸范围内，其局部实际尺寸越接近最大实体尺寸还是最小实体尺寸，可以产生的形位误差越大？学生通常困扰于此，特别是对于遵守最大实体要求的孔和遵守最小实体要求的轴，总是产生如下疑问：为什么孔或轴的实际尺寸越大，允许产生的形位误差也越大？主要原因是未能借助最大（小）实体实效边界来考虑此问题，以图6～图9进行说明。
如图6，因轴的最大实体实效边界在局部实际尺寸界线外侧，故轴的局部实际尺寸越小即越接近最小实体尺寸，通俗地讲，产生形位误差的余地越大，即允许产生的形位误差越大。
如图7，因孔的最大实体实效边界在局部实际尺寸界线内侧，故孔的局部实际尺寸越大即越接近最小实体尺寸，允许产生的形位误差越大。
如图8，因轴的最小实体实效边界在局部实际尺寸界线内侧，故轴的局部实际尺寸越大即越接近最大实体尺寸，允许产生的形位误差越大。
如图9，因孔的最小实体实效边界在局部实际尺寸界线外侧，故孔的局部实际尺寸越小即越接近最大实体尺寸，允许产生的形位误差越大。
4 结束语
公差与技术测量是机械专业及近机类专业重要的专业技术基础课，学生日后的工作会与之密不可分。为更好的完成本课程的教学任务，使其成为学生日后开展工作的一项技能，项目组经历了立项及近一年的课题研究，对课程的重、难点内容调整了教学思路及教学方案。
公差原则作为课程的重、难点之最，本次课题研究予以了特别的关注。对于独立原则的介绍，相关要求的引入，最大（小）实体要求的作用，遵守最大（小）实体要求的零件合格条件的由来，合格条件判定公式形式的确定及如何解答以往学生就本节内容百思不得其解的问题等等，都经过了细致的推敲，使其更符合学生的思维习惯，为他们所接受。
2012年秋季笔者将项目研究的阶段性成果应用于2010级材料成型及控制工程专业的教学。与09级相比，学生听课状态和课程的推进都有了非常明显的改善，期末考核结果亦大相径庭，同样难度的试题，09级最高分88分，优秀率0%，不及格率25%；而2010级最高分98分，优秀率13%，不及格率0%。就公差原则这一节，2010级试题中的相关题目共15分，平均得分12.51分，得分率83.43%，与2009级形成鲜明的对比。此次教学改革特别是对本章节的教学改革发挥了决定性的作用。
参考文献
[1]韩进宏.互换性与技术测量[M].北京：机械工业出版社，2009：89.
[2]孔晓玲.公差与测量技术[M].北京：北京大学出版社，2009：68-69.
[3]张玉，刘平.几何量公差与测量技术[M].沈阳：东北大学出版社，2003：109-111.
[4]张帆，宋绪丁.互换性与几何量测量技术[M].西安：西安电子科技大学出版社，2007：145-159.
[5]谢铁邦，李柱，席宏卓.互换性与技术测量[M].武汉：华中科技大学出版社，1998：120-127.
[关键词] 公差原则；独立原则；最大实体要求；最小实体要求；教学改革
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634（2013）04-0085-04
0 引言
公差原则是公差与技术测量课程教学的重点，更是难点章节。2011年秋季笔者首次讲授公差与技术测量，授课对象为2009级材料成型及控制工程专业。讲授公差原则时，已感觉到学生对这部分内容接受得非常吃力；课程结束考核后，通过学生对试卷中有关这个知识点的题目作答状况（相关题目共17分，平均得分10.57分，得分率62.17%）更加确定了学习效果的不理想。
笔者认真分析总结了缘由所在，除课程内容本身过于抽象及学生接受新知识的能力可能不强等客观因素外，其中不乏教师对难点内容处理不够到位。如，从学生易于理解的“尺寸公差和形位公差不相干的公差原则即是独立原则”直接过渡到“二者相干的公差原则就是相关要求”。这种过渡看似巧妙，实则知识点引入过于简单生硬，导致学生从一开始就没能弄清楚“相关要求”可发挥的作用。略显简易的开端，未拓展原本形式复杂且难于理解、驾驭的判定遵守实体要求的零件是否合格条件，加之学时所限，课上未对学生可能存在的某些疑问做详细的补充说明，致使学生对这部分内容的学习自始至终显得非常吃力。
本课程收尾之际，恰逢2011年底学校组织校级教学改革研究项目立项工作，考虑到本课程当时的状况，笔者遂申报了本课程的教改项目，以期在项目资助下更好地探讨有利于学生对本课程难点内容（公差原则在其中）学习的教学新方法。
自学校同意立项之日即2012年1月起至2012年9月间，笔者结合初次教学的得与失，经过自我揣摩及与项目组成员、兄弟院校公差与技术测量课程组老师的学习、交流，对本课程中所涵盖的重、难点内容逐一作了深入的教学研究，并制定了全新的教学方案。
1 相关要求的引入
尺寸公差及形位公差讲解过后，会很自然地想到：判定零件是否合格需从两方面着手：（1）实际尺寸是否介于极限尺寸之间（或实际偏差是否介于上、下偏差之间）；（2）形位误差是否不大于给定的形位公差。
由于尺寸公差的补偿，此时垂直度公差较图中给定值要大，且大于垂直度误差值。至此，按图1判定为不合格的零件，按图2判定为合格。当然，这种标注上的变动并非为使零件合格而合格，此时的合格意味着该零件达到了某种特定的功能要求。 按图1判定零件是否合格时，尺寸和形位公差各自独立，互不干涉。而按图2判定时，尺寸公差和形位公差产生了关联，尺寸公差补偿给形位公差，使形位公差放大。
尺寸公差和形位公差非独立即关联，处理二者之间关系的基本原则即是公差原则。尺寸公差和形位公差不相干的公差原则即是独立原则，此外即为相关要求（《GB/T 4249-1996公差原则》已将相关原则改称为相关要求）。独立原则使用范围较广，大约90%的零件设计均采用独立原则[1，2]。但相关要求是保证零件满足某些特定功能需求时适宜采用的公差原则。
相关要求共三类，即包容要求、最大实体要求和最小实体要求，可分别保证零件满足三种不同的功能要求。文中只涉及后两种相关要求。
2 遵守实体要求的零件合格条件
2.1 作用尺寸判别法
了解作用尺寸后，体外作用尺寸使轴的尺寸变大，孔的尺寸变小；体内作用尺寸使轴的尺寸变小，孔的尺寸变大的道理会显而易见。
1）最大实体要求的作用尺寸判别法。如图3所示的轴和孔，假设局部实际尺寸处处相等，亦处处相等。
从图3中可清楚地观察到决定轴、孔能否自由装配的并不是轴、孔的实际尺寸和，而是使轴变大的体外作用尺寸和使孔变小的体外作用尺寸。
为确保孔、轴之间的可装配性，自然需要对轴和孔的体外作用尺寸分别加以控制，使其不超越轴、孔的体外作用尺寸极限值即最大实体实效尺寸。毋庸置疑，轴、孔的局部实际尺寸也必须分别被控制在轴、孔的极限尺寸或最大、最小实体尺寸之间。
以上公式形式相同（均为）且符合人们的判别习惯，即形位误差不大于形位公差，只是这里的形位公差由两部分组成，即。只要将处理正确，问题可迎刃而解。分析式（13）～（16）可知：对于最大实体要求，局部实际尺寸与最大实体尺寸偏离值即为值；对于最小实体要求，局部实际尺寸与最小实体尺寸偏离值即为值。
另外，从公式可一目了然：用来控制形位误差的公差值要较独立原则中的公差值增加一个补偿量，使形位公差值放大。所以最大（小）实体要求可提高零件的合格率，获得显著的经济效益并可保证产品质量[3-5]。
3 图示实体要求的含义
不借助公式，有关最大（小）实体要求的一些问题不易掌握，如果借助图形，会有助于理解。
3.1 实体实效边界的控制作用
以遵守最大实体要求的孔类零件为例，如图5（a）。若孔的局部实际尺寸处处相等，且处于孔的极限尺寸之间，则该孔可以有垂直度误差，如图5（b）。可以产生多大的垂直度误差？如图5（c），只要孔的局部实际尺寸和垂直度误差的综合作用结果即未超越孔的最大实体实效边界即可（需特别注意的是，孔的体外作用尺寸界线位于孔的最大实体实效边界之外为合格）。 3.2 局部实际尺寸与形位误差的关系
遵守最大（小）实体要求的轴或孔类零件，在极限尺寸范围内，其局部实际尺寸越接近最大实体尺寸还是最小实体尺寸，可以产生的形位误差越大？学生通常困扰于此，特别是对于遵守最大实体要求的孔和遵守最小实体要求的轴，总是产生如下疑问：为什么孔或轴的实际尺寸越大，允许产生的形位误差也越大？主要原因是未能借助最大（小）实体实效边界来考虑此问题，以图6～图9进行说明。
如图6，因轴的最大实体实效边界在局部实际尺寸界线外侧，故轴的局部实际尺寸越小即越接近最小实体尺寸，通俗地讲，产生形位误差的余地越大，即允许产生的形位误差越大。
如图7，因孔的最大实体实效边界在局部实际尺寸界线内侧，故孔的局部实际尺寸越大即越接近最小实体尺寸，允许产生的形位误差越大。
如图8，因轴的最小实体实效边界在局部实际尺寸界线内侧，故轴的局部实际尺寸越大即越接近最大实体尺寸，允许产生的形位误差越大。
如图9，因孔的最小实体实效边界在局部实际尺寸界线外侧，故孔的局部实际尺寸越小即越接近最大实体尺寸，允许产生的形位误差越大。
4 结束语
公差与技术测量是机械专业及近机类专业重要的专业技术基础课，学生日后的工作会与之密不可分。为更好的完成本课程的教学任务，使其成为学生日后开展工作的一项技能，项目组经历了立项及近一年的课题研究，对课程的重、难点内容调整了教学思路及教学方案。
公差原则作为课程的重、难点之最，本次课题研究予以了特别的关注。对于独立原则的介绍，相关要求的引入，最大（小）实体要求的作用，遵守最大（小）实体要求的零件合格条件的由来，合格条件判定公式形式的确定及如何解答以往学生就本节内容百思不得其解的问题等等，都经过了细致的推敲，使其更符合学生的思维习惯，为他们所接受。
2012年秋季笔者将项目研究的阶段性成果应用于2010级材料成型及控制工程专业的教学。与09级相比，学生听课状态和课程的推进都有了非常明显的改善，期末考核结果亦大相径庭，同样难度的试题，09级最高分88分，优秀率0%，不及格率25%；而2010级最高分98分，优秀率13%，不及格率0%。就公差原则这一节，2010级试题中的相关题目共15分，平均得分12.51分，得分率83.43%，与2009级形成鲜明的对比。此次教学改革特别是对本章节的教学改革发挥了决定性的作用。
参考文献
[1]韩进宏.互换性与技术测量[M].北京：机械工业出版社，2009：89.
[2]孔晓玲.公差与测量技术[M].北京：北京大学出版社，2009：68-69.
[3]张玉，刘平.几何量公差与测量技术[M].沈阳：东北大学出版社，2003：109-111.
[4]张帆，宋绪丁.互换性与几何量测量技术[M].西安：西安电子科技大学出版社，2007：145-159.
[5]谢铁邦，李柱，席宏卓.互换性与技术测量[M].武汉：华中科技大学出版社，1998：120-127.