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孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”朱熹解释为：愤，心求通而没达之意；悱，口欲言而没能之貌；启，谓开其意；发，谓达其辞。在教学中，创造愤悱时机，置学生于愤悱状态，是启迪思维提高效率的必由之路。所谓创造愤悱时机，即创造学生神激心维，欲求欲言的时机。创造愤悱时机，其方法应灵活多变，且因具体问题而异。就此，笔者仅以数学课中的直线与二次曲线教学为例，谈几点体会和作法。
１ 隐晦的问题——巧设简例
所谓隐晦的问题，即学生不易发现的问题。如何让学生发现呢？其方法是针对问题的症结，巧设简例，使学生从结果中悟出问题所在。显然，巧设简例为学生创造了愤悱时机。例如，现有教材中，椭圆的定义不严密，其为：“平面内与两定点的距离之和为常数的点的轨迹称为椭圆。”为此，我出了一道题：求到两定点F1与F2的距离之和为常数且等于两定点F1与F2的距离的点的轨迹。求得轨迹是线段F1F2，而不是椭圆。于是，学生迅即明白了“定义”不严密的道理，并在“定义”中“常数”前添上了“大于两点的距离的”限定条件。这种方法，正是美国心理学家布鲁纳所倡导的“发现法”。
２ 艰深的问题——避实击虚
艰深的问题，并非全部艰深，只是有一、两个难点而已。虚者，突破口也。“避实”，即避开难点，以寻觅突破口，而后全力以赴。因此，艰深的问题，须深入分析，找准突破口，以吸引学生，促成愤悱，开拓思路。例如，在推导点到直线的距离公式的讨论中，要把cosα（α为锐角）化为F（A，B）的形式，其联系cosα与F（A，B）的媒介，就是问题的突破口。根据公式tgα=K，K=－，突破口就在“K”上。于是，学生对“K”予以左右延伸，用逆推法找到了解决问题的思路。即：F（A，B）→K→tgα→secα→cosα。故cosα＝＝==＝。
３ 虚幻的问题——观察感知
通过观察，形成感知，是化虚为实的重要方法。学生从感性认识中，可以得到若干启发，从而自我创造了愤悱时机。常用的方法有图形示意法，实物演示法，语言描述法，姿势助讲法等。如在教学椭圆+=1（a>b>０）的离心率这一难点时，我要求学生从图形入手，仔细观察，找出离心率能表示椭圆扁平程度的原因。学生观察到：当a→大，b→小时，椭圆→扁，反之亦然。在此启示下，学生着力寻找a，b，e三者变化的内在规律，得到：e===，则：当a→大，b→小时，e→大，椭圆→扁，反之亦然。从而作出了“e大则扁，e小则圆”的结论。
４ 混淆的问题——求同辨异
在教学中，有不少的问题容易使学生混淆，需要归纳，比较，求同辨异，总结规律。便于记忆与巩固。其中，求同辨异，便是学生去伪存真，去粗取精，发现规律的过程，即寻找与获取“钥匙”的过程。例如，在教学椭圆和双曲线时，学生对两种标准形式下的一系列公式往往易于混淆，时而张冠李戴。为此，我引导学生进行综合比较，找出本质的区别与联系。其中，焦点位置的变换使学生认识到了坐标轴的变换，即两轴互换。因此找到了规律：只要交换公式中x与y的位置，两种标准形式下的公式就可以彼此互化了。如y=±x ，交换得x=±y，即y=±x。这样学生不但知其然，更知其所以然。
5 枯燥的问题——欲扬先抑
程颐曰：“教人未见意趣，必不乐学。”因此，教者应注意教学的趣味性，寓教于乐。对于枯燥的问题，更应如此。意趣是人生的调料，生活的味精，在教学中，它有助于活跃课堂气氛，活跃学生的情绪与思维，使愤悱时机降临于不觉与无形。所谓欲扬先抑是指事初避开本题，由其他与之密切相关的事物，逐步引出本题，然后着意挖掘与宣彰，以使学生豁然开朗，心领神会。这种方法，多用于概念教学。但必须注意分寸，坚持严谨、恰切适度、点到为止的原则，反之，则有旁征博引，哗众取宠之嫌。例如，在教学双曲线定义时，我出了一道趣味题，让学生思考：今年哥哥比弟弟大4岁，5年后哥哥比弟弟大几岁？学生哗然失笑，得出了“永远大4岁”的结论。然后，我要求学生阅读课本，学习定义，找出了“距离之差的绝对值为常数”的关键词句。两相对照，从而明确了定义的精要，且植根于脑海，形成了永恒的记忆。实践证明，寓教于乐，欲扬先抑的方法，确易点燃学生求知的欲火。
６ 多解的问题——抛砖引玉
学记有云：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”这强调了发挥学生内因作用的重要。对于多解的问题，如不作相机诱导，而予全盘授予，势必不能为学生创造愤悱时机。笔者认为：“抓关键，找要点，觅解法”的三步分析求解法，较为适用。其中，一、二步主要靠教者完成，即所谓“抛砖”，第三步主要由学生完成，即所谓“引玉”。可见，“砖”不可随意拾来，必须认真提炼，使之成为学生解题的向导和索引，以激发学生有目的地去探讨。
７ 同类的问题——教人以渔
同类的问题，必有其自身的知识体系，亦必有其自身的特有规律。古人云：“授人以鱼，只供一饭之斋；教人以渔，则终身受用无穷。”因此，对同类的问题。不能只限于将现成的知识直接传播给学生，而应着眼于揭示规律，从总体上为学生创造愤悱时机，使学生举一反三，以一驭万，触类旁通。
求曲线方程，虽然题型复杂，千姿百态，但大都依赖于几何条件，因而可归属同类。那么，其基本规律是什么呢？一句话，将间接几何条件转化为直接几何条件。把握了这一点，也就把握了解题的大方向，以不变应万变，避免误入歧途。在实践中可要求学生事先列出几何条件从间接到直接的转化提纲，以促使学生着力挖掘题中的几何条件，特别是隐含的几何条件。从而“柳暗花明”，一举奏效。
例如：椭圆L1与椭圆L2：K（X+2）2+（Y-1）2=1，关于直线L：X+Y=3对称，且两椭圆只有一个公共点，求K值及L1的方程。
简述：条件转化：两椭圆只有一个公共点且关于L对称→两椭圆外切→L是两椭圆的公共切线。
解题思路：先利用L与L2相切的代数意义求出K值，然后利用L1与L2的对称性求得L1的方程。
８ 灵巧的问题——设问激疑
有许多灵巧的问题，往往易于把人引入歧途。要悟出其中的灵巧，则需产生直觉思维。所谓直觉思维，是不受某种逻辑约束直接领悟事物本质的一种思维方式。爱因斯坦说：“真正可贵的因素是直觉。”怎样促成学生的直觉思维呢？教者须悉心引导，巧于设问激疑，创造时机。例如：在含甲、乙的5人中，排成一列纵队，甲必须站在乙的前面，有多少种排法？在求解此题中，学生往往受思维定势的束缚，缺乏必要的直觉判断和想象，特别是缺乏整体性的把握。一般采用分类的方法，一步步分析得到P（1+2+3+4）=60种。然而，此法却淹没了本题的灵巧。如果教师适时设问：若将5人作全排列，甲在乙前与乙在甲前，两者机遇如何？则势必把学生思路引向整体想象，即有一种甲在乙前面的排法，就有一种乙在甲前的相应的排法。于是立即得到答案P=60种。这正是本题的灵巧所在。
１ 隐晦的问题——巧设简例
所谓隐晦的问题，即学生不易发现的问题。如何让学生发现呢？其方法是针对问题的症结，巧设简例，使学生从结果中悟出问题所在。显然，巧设简例为学生创造了愤悱时机。例如，现有教材中，椭圆的定义不严密，其为：“平面内与两定点的距离之和为常数的点的轨迹称为椭圆。”为此，我出了一道题：求到两定点F1与F2的距离之和为常数且等于两定点F1与F2的距离的点的轨迹。求得轨迹是线段F1F2，而不是椭圆。于是，学生迅即明白了“定义”不严密的道理，并在“定义”中“常数”前添上了“大于两点的距离的”限定条件。这种方法，正是美国心理学家布鲁纳所倡导的“发现法”。
２ 艰深的问题——避实击虚
艰深的问题，并非全部艰深，只是有一、两个难点而已。虚者，突破口也。“避实”，即避开难点，以寻觅突破口，而后全力以赴。因此，艰深的问题，须深入分析，找准突破口，以吸引学生，促成愤悱，开拓思路。例如，在推导点到直线的距离公式的讨论中，要把cosα（α为锐角）化为F（A，B）的形式，其联系cosα与F（A，B）的媒介，就是问题的突破口。根据公式tgα=K，K=－，突破口就在“K”上。于是，学生对“K”予以左右延伸，用逆推法找到了解决问题的思路。即：F（A，B）→K→tgα→secα→cosα。故cosα＝＝==＝。
３ 虚幻的问题——观察感知
通过观察，形成感知，是化虚为实的重要方法。学生从感性认识中，可以得到若干启发，从而自我创造了愤悱时机。常用的方法有图形示意法，实物演示法，语言描述法，姿势助讲法等。如在教学椭圆+=1（a>b>０）的离心率这一难点时，我要求学生从图形入手，仔细观察，找出离心率能表示椭圆扁平程度的原因。学生观察到：当a→大，b→小时，椭圆→扁，反之亦然。在此启示下，学生着力寻找a，b，e三者变化的内在规律，得到：e===，则：当a→大，b→小时，e→大，椭圆→扁，反之亦然。从而作出了“e大则扁，e小则圆”的结论。
４ 混淆的问题——求同辨异
在教学中，有不少的问题容易使学生混淆，需要归纳，比较，求同辨异，总结规律。便于记忆与巩固。其中，求同辨异，便是学生去伪存真，去粗取精，发现规律的过程，即寻找与获取“钥匙”的过程。例如，在教学椭圆和双曲线时，学生对两种标准形式下的一系列公式往往易于混淆，时而张冠李戴。为此，我引导学生进行综合比较，找出本质的区别与联系。其中，焦点位置的变换使学生认识到了坐标轴的变换，即两轴互换。因此找到了规律：只要交换公式中x与y的位置，两种标准形式下的公式就可以彼此互化了。如y=±x ，交换得x=±y，即y=±x。这样学生不但知其然，更知其所以然。
5 枯燥的问题——欲扬先抑
程颐曰：“教人未见意趣，必不乐学。”因此，教者应注意教学的趣味性，寓教于乐。对于枯燥的问题，更应如此。意趣是人生的调料，生活的味精，在教学中，它有助于活跃课堂气氛，活跃学生的情绪与思维，使愤悱时机降临于不觉与无形。所谓欲扬先抑是指事初避开本题，由其他与之密切相关的事物，逐步引出本题，然后着意挖掘与宣彰，以使学生豁然开朗，心领神会。这种方法，多用于概念教学。但必须注意分寸，坚持严谨、恰切适度、点到为止的原则，反之，则有旁征博引，哗众取宠之嫌。例如，在教学双曲线定义时，我出了一道趣味题，让学生思考：今年哥哥比弟弟大4岁，5年后哥哥比弟弟大几岁？学生哗然失笑，得出了“永远大4岁”的结论。然后，我要求学生阅读课本，学习定义，找出了“距离之差的绝对值为常数”的关键词句。两相对照，从而明确了定义的精要，且植根于脑海，形成了永恒的记忆。实践证明，寓教于乐，欲扬先抑的方法，确易点燃学生求知的欲火。
６ 多解的问题——抛砖引玉
学记有云：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”这强调了发挥学生内因作用的重要。对于多解的问题，如不作相机诱导，而予全盘授予，势必不能为学生创造愤悱时机。笔者认为：“抓关键，找要点，觅解法”的三步分析求解法，较为适用。其中，一、二步主要靠教者完成，即所谓“抛砖”，第三步主要由学生完成，即所谓“引玉”。可见，“砖”不可随意拾来，必须认真提炼，使之成为学生解题的向导和索引，以激发学生有目的地去探讨。
７ 同类的问题——教人以渔
同类的问题，必有其自身的知识体系，亦必有其自身的特有规律。古人云：“授人以鱼，只供一饭之斋；教人以渔，则终身受用无穷。”因此，对同类的问题。不能只限于将现成的知识直接传播给学生，而应着眼于揭示规律，从总体上为学生创造愤悱时机，使学生举一反三，以一驭万，触类旁通。
求曲线方程，虽然题型复杂，千姿百态，但大都依赖于几何条件，因而可归属同类。那么，其基本规律是什么呢？一句话，将间接几何条件转化为直接几何条件。把握了这一点，也就把握了解题的大方向，以不变应万变，避免误入歧途。在实践中可要求学生事先列出几何条件从间接到直接的转化提纲，以促使学生着力挖掘题中的几何条件，特别是隐含的几何条件。从而“柳暗花明”，一举奏效。
例如：椭圆L1与椭圆L2：K（X+2）2+（Y-1）2=1，关于直线L：X+Y=3对称，且两椭圆只有一个公共点，求K值及L1的方程。
简述：条件转化：两椭圆只有一个公共点且关于L对称→两椭圆外切→L是两椭圆的公共切线。
解题思路：先利用L与L2相切的代数意义求出K值，然后利用L1与L2的对称性求得L1的方程。
８ 灵巧的问题——设问激疑
有许多灵巧的问题，往往易于把人引入歧途。要悟出其中的灵巧，则需产生直觉思维。所谓直觉思维，是不受某种逻辑约束直接领悟事物本质的一种思维方式。爱因斯坦说：“真正可贵的因素是直觉。”怎样促成学生的直觉思维呢？教者须悉心引导，巧于设问激疑，创造时机。例如：在含甲、乙的5人中，排成一列纵队，甲必须站在乙的前面，有多少种排法？在求解此题中，学生往往受思维定势的束缚，缺乏必要的直觉判断和想象，特别是缺乏整体性的把握。一般采用分类的方法，一步步分析得到P（1+2+3+4）=60种。然而，此法却淹没了本题的灵巧。如果教师适时设问：若将5人作全排列，甲在乙前与乙在甲前，两者机遇如何？则势必把学生思路引向整体想象，即有一种甲在乙前面的排法，就有一种乙在甲前的相应的排法。于是立即得到答案P=60种。这正是本题的灵巧所在。