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在学习正弦定理时,通过一些讨论可以得出“边边角”解三角形解的个数[1],这些讨论不免繁杂.因此,有必要探究出“边边角”解三角形解的个数的通解公式,即得出y=Φ(a,bA),代入△ABC的a,b,A三个元素,即可求出解的个数.
一些限定条件及对应解的个数如下表所示:
此问题需进行三级讨论,不同情况解的个数又有所重叠,也就是说,各条件对解的个数的影响效应不同.这里笔者联想到了斗地主中的“牌点叫牌法”,具体内容为:“斗地主中主要大牌的牌力定量评价如下:大王4个牌点,小王3个牌点,2是2个牌点,A是一个牌点.叫牌牌力至少7点以上的牌力.” [2]我们可以类比这种方法,设法给不同条件赋予不同点数,设三者点数加起来为d,同时设定集合A两解,A一解,A无解,.若d∈AN解,则有N解.
得到正确的一组赋点方法以及一组对应点数之和的集合后,我们需要建立映射。即先将条件映射到对应的点数上,再将点数之和的对应集合映射到对应的解的个数上.
设π/2≤A<π为x点,0 a>b为l点,a=b为m点,a a>bsinA为a点,a=bsinA为b点,a 对照上表,即可得18种情况对应的点数之和.
设:N∈{k}时为两解,N∈(k,+∞)时为一解,N∈(-∞,k)時为无解.
问题转化为:求一组符合条件的值x,y,l,m,n,a,b,c,k∈Z,使得下列不等式同时成立.
易知x=-8,y=4,l=10,m=-4,n=-10,a=6,b=10,c=5,k=0是其中一组解.
这里建立映射的基本思想是应用取整函数,从而把实数集映射到整数集上.
经过多种尝试,笔者得到了第一组条件的映射办法:.
再由待定系数法确定下一步映射:
为了得到第二、三组条件的映射方法,首先需要建立映射
经过各种尝试,笔者选用了y=tanhx=
双曲正切函数非常有利于取整函数的构造.为了使x>0,x=0,x<0时y的值不同,稍加思考,笔者得到
与F(x)相比较,有
需注意,这两个公式都不能用计算机验证.当x较大时,tanhx会非常接近1,而计算机会将其近似为1进行下一步计算,从而造成取整错误.
为此,我们可以将通解公式中涉及的所有的双曲正切函数都除以2,让它的渐近线变为y=0.5和y=-0.5.
通过这样的探究,能够发现,求解多级讨论问题通解公式的根本办法是“赋点法”,使通解公式简洁的策略是更换大方向或建立更先进的映射方法,取整函数能实现从实数集到整数集的映射,应用计算机编写程序时应注意
参考文献:
[1]刘绍学,李建华等.普通高中课程标准实验教科书 数学5 必修 A版[M].2007年1月第3版.北京:人民教育出版社,2007.8-9.
[2]佚名.斗地主(扑克牌游戏)_百度百科[DB/OL].https://baike.baidu.com/item/%E6%96%97%E5%9C%B0%E4%B8%BB/177997?fr=aladdin,2018-09-02/2019-11-09.]计算机只能精确到小数点后有限位.
一些限定条件及对应解的个数如下表所示:
此问题需进行三级讨论,不同情况解的个数又有所重叠,也就是说,各条件对解的个数的影响效应不同.这里笔者联想到了斗地主中的“牌点叫牌法”,具体内容为:“斗地主中主要大牌的牌力定量评价如下:大王4个牌点,小王3个牌点,2是2个牌点,A是一个牌点.叫牌牌力至少7点以上的牌力.” [2]我们可以类比这种方法,设法给不同条件赋予不同点数,设三者点数加起来为d,同时设定集合A两解,A一解,A无解,.若d∈AN解,则有N解.
得到正确的一组赋点方法以及一组对应点数之和的集合后,我们需要建立映射。即先将条件映射到对应的点数上,再将点数之和的对应集合映射到对应的解的个数上.
设π/2≤A<π为x点,0 a>b为l点,a=b为m点,a a>bsinA为a点,a=bsinA为b点,a
设:N∈{k}时为两解,N∈(k,+∞)时为一解,N∈(-∞,k)時为无解.
问题转化为:求一组符合条件的值x,y,l,m,n,a,b,c,k∈Z,使得下列不等式同时成立.
易知x=-8,y=4,l=10,m=-4,n=-10,a=6,b=10,c=5,k=0是其中一组解.
这里建立映射的基本思想是应用取整函数,从而把实数集映射到整数集上.
经过多种尝试,笔者得到了第一组条件的映射办法:.
再由待定系数法确定下一步映射:
为了得到第二、三组条件的映射方法,首先需要建立映射
经过各种尝试,笔者选用了y=tanhx=
双曲正切函数非常有利于取整函数的构造.为了使x>0,x=0,x<0时y的值不同,稍加思考,笔者得到
与F(x)相比较,有
需注意,这两个公式都不能用计算机验证.当x较大时,tanhx会非常接近1,而计算机会将其近似为1进行下一步计算,从而造成取整错误.
为此,我们可以将通解公式中涉及的所有的双曲正切函数都除以2,让它的渐近线变为y=0.5和y=-0.5.
通过这样的探究,能够发现,求解多级讨论问题通解公式的根本办法是“赋点法”,使通解公式简洁的策略是更换大方向或建立更先进的映射方法,取整函数能实现从实数集到整数集的映射,应用计算机编写程序时应注意
参考文献:
[1]刘绍学,李建华等.普通高中课程标准实验教科书 数学5 必修 A版[M].2007年1月第3版.北京:人民教育出版社,2007.8-9.
[2]佚名.斗地主(扑克牌游戏)_百度百科[DB/OL].https://baike.baidu.com/item/%E6%96%97%E5%9C%B0%E4%B8%BB/177997?fr=aladdin,2018-09-02/2019-11-09.]计算机只能精确到小数点后有限位.