摘要：本文对《几何原本》中欧几里得关于勾股定理及其逆定理的证明方法运用现代数学的公式进行了详细证明，简明扼要，简单直观，非常符合于现代人的书写和阅读习惯。
　　关键词：勾股定理;证明;欧几里得;初等数论。
　　0引言：勾股定理是一个古老的数学定理，其勾股数计算历来受到人们的重视。古希腊著名数学家欧几里得在他所著的《几何原本》予以了证明，是人类历史上最早的一种证明方法。但是在这本书中，其证明几乎是文字叙述性的，现代人阅读起来非常困难，甚至困惑不解。本人试将这些文字叙述转换为现代数学公式，然后进行推导证明。其中勾股定理证明是第一卷1.47命题，逆定理是1.48命题。下面分别予以详细讨论。
　　1       勾股定理证明：1.47命题对勾股定理的描述：在直角三角形中，直角
　　所对的边上的正方形的面积等于夹直角两边上的正方形面积的和。为了证明这个命题，他还画了一个图，如图1所示，图中的 R 点是本人为叙述方便所加的，它是位于 BC 和 AL 的交点处。该图为书中的图1.47。证明如下所述。
　　求证：BC2= BA2+ AC2。
　　证明：在△FBC 和△ABD 中，
　　∠FBC = ∠FBA + ∠ABC ，
　　∠ABD = ∠CBD + ∠ABC ，
　　∵∠FBA = ∠CBD =90°，
　　∴∠FBC = ∠ABD .
　　∵FA = AB， BC = BD ，
　　∴△FBC ≌△ABD （两条边及一个角相等）。
　　即SFBC = SABD （面积相等）。
　　∵SFBC = SABFG÷2，亦即 SABFG =2SFBC （同底同高三角形的面积等于其上正方形面积的一半【*】）。（因为∠BAC 和∠BAG 同为直角，故 CA 与 AG 在同一条直线上，这样有 BF∥CG，使三角形同底同高条件成立）。另有 SABD = SBDLR/2，亦即 SBDLR =2SFBC （原因同【*】）。∴SABFG = SBDLR = BA2.
　　同理在△BCK 和△ACE 中，
　　∠ACE = ∠BCE + ∠ACB ， ∠BCK = ∠ACK + ∠ACB ，
　　∵∠BCE = ∠ACK =90°∴∠ACE = ∠BCK .
　　∵AC = CK， BC = CE ∴△BCK ≌△ACE （两条边及一个角相等）。即SBCK = SACE （面积相等）。
　　∵SBCK = SACKH÷2，亦即SACKH=2SBCK（原因同【*】）。
　　（因为∠BAC 和∠CAH 同为直角，故 BA 与 AH 在同一條直线上，这样有CK∥BH，使三角形同底同高条件成立）。
　　另有SACE = SCELR ÷2，亦即SCELR =2SACE （原因同【*】）。
　　∴SACKH= SCELR =AC2.
　　因此SBCED= SBDLR + SCELR =BC2= BA2+ AC2，
　　即 BC2= BA2+ AC2。证毕。
　　令 BA = x 、AC = y 、BC = z ，则 x2+ y2= z2;
　　或令BA = a 、AC = b 、BC = c ，则 a2+ b2= c2。
　　这两个公式即为现代勾股定理的代数计算公式。勾股定理的详细证明过程到此结束。
　　2       勾股定理逆定理证明：1.48命题对勾股定理逆定理的描述：如果在一个三角形中，一边上的正方形面积等于这个三角形另外两边上正方形的面积之和，则夹在后面两边的角是直角。为了证明这个命题，他也画了一个图，如图2所示。该图为书中的图1.48。在该图中，设在△ABC 中，边BC 上的正方形面积等于边 BA、BC 上的正方形面积之和（BC2=AB2+AC2），即可证明∠BAC 是直角。证明如下所述。
　　求证：∠BAC=90°（直角）。
　　证明：由图2可知，BA = AD （BD⊥AC，由作图而来），依勾股定理有：
　　BC2= AB2+AC2，DC2= DA2+AC2.
　　∵BA = AD ∴BC2= DC2，
　　亦即：BC = DC ，
　　即△ABC ≌△ACD （三条边相等），故而有∠BAC = ∠DAC （三个对应角分别相等）。
　　又∵BA 与 AD 同一条直线上， 图2即∠BAD=180°， 此时有：
　　∠BAC +∠DAC = ∠BAD ，2∠BAC= ∠BAD =180°，
　　∴∠BAC =180°÷2=90°，即∠BAC =90°，证毕。勾股定理的逆定理详细证明过程到此结束。
　　3       结论
　　本文用现代数学的方法对《几何原本》中的勾股定理及其逆定理进行了详细证明，这里利用了欧几里得的基本思路，但是使用的是现代数学公式，让人一看就明白了。
　　参考文献：
　　【古希腊】欧几里得著，诗翁译，《几何原本》，天津人民出版社，2018.