【摘要】均值不等式成立的条件不具备时，如何求解？本文提供了“对构函数”的解题方法.
　　【关键词】均值不等式；均值不等式成立的条件；“对勾函数”的性质及解题方法
　　高中数学教学中均值不等式a+b2≥ab(a>0,b>0，当且仅当a=b时取“=”）有着重要的地位，在求相关的最大值、最小值问题中通常情况下有不可替代的作用.在应用中需要注意其必须满足三个条件：一正二定三验证.“一正”就是各项必须为正数.“二定”是指要求和的最小值时，构成和的两项之积必须转化为定值；要求积的最大值时，则必须把构成积的因式的和转化为定值.“三验证”是指在利用均值不等式求最值时必须验证等号成立的条件是否具备.如果等号取不到，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.下面举例说明它的应用及“三验证”不满足时如何求最值.
　　例 ①已知x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.
　　②已知x<54，求函数y=4x-2+14x-5的最大值.
　　③求y=sin2x+4sin2x的值域.
　　解 ①∵x>0，y>0，1x+9y=1，
　　∴x+y=(x+y)1x+9y
　　=yx+9xy+10≥6+10=16.
　　当且仅当yx=9xy时，上式等号成立.
　　又 1x+9y=1，∴x=4，y=12时，(x+y)min=16.
　　②∵x<54，∴5-4x>0，
　　y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3
　　≤-2(5-4x)•15-4x+3=1.
　　
　　当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立.
　　故当x=1时，ymax=1.
　　③f(x)=sin2x+4sin2x≥2sin2x•4sin2x=2×2=4.
　　当且仅当sin2x=4sin2x，即sinx=±2时，上式等号成立.
　　而我们知道sinx≠±2，故上式等号取不到.
　　所以ymax≠4，那么如何求此函数的最值呢？
　　在此引进对勾函数，f(x)=x+ax(a>0)，它是奇函数，用定义法或者导数法很容易证明f(x)=x+ax(a>0)在其定义域上的单调性.下面用导数法予以证明.
　　证明 ∵f′(x)=1-ax2，
　　令f′(x)=1-ax2≥0，解得x≤-a或x≥a.
　　也就是说f(x)在(-∞,-a］和［a,+∞)是单调增加的，易得在［-a，0）及（0，a］单调递减的.它的图像如图.
　　
　　由图可知x>0时，f(x)=x+ax≥f(a)=2a.
　　这与均值不等式是吻合的.
　　现在来研究③题：令t=sin2x，则t∈(0,1］，函数可化为f(t)=t+4t，t∈(0,1］，由于用均值不等式求最小值，“三验证”不成立，由“对勾函数”可知f(t)=t+4t，在t∈(0,1］单调递减.
　　∴f(t)=t+4t≥f(1)=1+41=5.
　　故f(x)=sin2x+4sin2x的值域为［5,+∞).
　　因此均值不等式是“对勾函数”的特殊情况，“对勾函数”是均值不等式的推广和有力补充.这样的题目还有许多，读者在解题的过程中加以理解和应用.