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【摘 要】中考评价承担着引领地区教研，促进教师改变教学方式，关注学生核心素养发展等重要任务。因此中考试题的导向性作用不可忽视。从教学的“数学味”“深度教学”等角度论述对中考试题的解读。 【关键词】中考试题；命题；教学反思
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2019）11-0042-04
【作者简介】1.孙海锋，江苏省江阴市青阳第二中学（江苏江阴，204401）教师，高级教师，无锡市教学能手；2.吴国民，江苏省无锡市东绛实验学校（江苏无锡，214121）教师，一级教师。
对于各学科试题而言，中考评价承担着引领地区教研、促进教师改变教学方式、关注学生核心素养发展等重要任务，数学也不例外。笔者有幸于2018年參加了无锡市数学中考试题的命制，在命题过程中，对中考试题的学科性、公平性有了更深刻的认识。由此反思教学，希望对一线教师的教学有所帮助。
一、学科性与“数学味”教学
“数学是一门思维学科”“数学帮助人们建立科学的思维方式，形成对事物理性思维的习惯和能力。”[1]每一道高质量的中考题都有着周密的数学思考，呈现着严谨的数学表达。因此，在日常教学中，教师应引导学生数学地思考与表达，这样对提高学生数学素养和应对考试均有助益。
1.引导学生数学地思考。
“数学味”是数学中考试题命制的重要基点。[2]“数学地思考”是学生解答中考试题的有效钥匙，是教学过程应重点关注的课程目标。如何运用数学的知识，借助数学思想，分析问题，寻找解决问题的策略，隐含、贯穿于整个数学教学活动。
本题涉及《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下面简称“2011年版课标”）中提到的模型思想、推理能力、运算能力等，是一道综合性较强的几何问题，解决问题的关键是借助圆内接四边形的性质分析四边形ABCD的特征，再抓住三角函数的概念突破难点。自然形成如图1-2至1-5的“割”“补”方法。
2011年版课标中课程总目标是从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面阐述。笔者认为，数学思考主要包括将外部问题数学化、运用内部知识解决数学问题两部分，这里的“内”“外”以是否是显性的数学知识为区分标准。所谓“外部问题数学化”，即指将生活中的问题通过数或符号的抽象、数学建模等方式转化为数学问题的过程。这类问题通常设计为应用题、统计概率题等进行考查，它可以考查学生的模型思想、数据分析观念等。所谓内部知识解决数学问题，即指运用数学知识解决纯粹的数学问题，例1就是典例。本题需要学生从条件中获取信息后，寻找与该信息相关联的数学知识，对这些数学知识深入分析、推理，从中选取出对解决本题有效的部分。在逐个获取条件信息的过程中，不断提炼有效知识，从而寻找出可行的解题策略、制订详尽的解题方法。
2.引导学生数学地表达。
所谓“数学地表达”即用数学语言将推理过程按一定的规范“说”或“写”。这里的规范并不仅指格式上的要求，更主要的是程序上有条理、思维过程严谨。“数学表达”是“数学思考”的外显。学生数学表达是否规范既能反映学生的数学素养，更能侧面反映教师教学行为是否规范。教学活动中，学生是主体，教师是主导，学生能否规范地表达与教师教学行为是否条理、规范是一致的。
例2 （2018·无锡·25） 一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果，已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元。以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润。（1）求y关于x的函数表达式；（2）当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？
本题属于代数应用题，这类题型是初中阶段教学中的重点、难点。笔者认为，应用题应做到“三审”。一审题意，理解情景、读懂条件。本题中“需求量”是理解题意的难点，应注重引导学生结合前后条件反复揣摩该词的含义及其在题目中的作用。二审数量，提炼题中涉及的量。本题中涉及的量是销售数量、需求量、单件利润或单件亏损、销售利润等。三审数量关系，分析提炼出的相关量，找到这些量之间的关系。本题中，当水果全部售出时，销售利润=销售数量×每千克利润；当水果没有全部售出时，销售利润=销售数量×每千克利润-未售出部分×每千克亏损。于是，销售数量与需求量之间的关系显而易见。当数量较多，关系复杂时，借助表格寻找等量关系或不等关系，运用方程、不等式或函数等模型解决问题。
教师规范地解读题目，不仅对学生起到示范作用，便于学生模仿，更有利于学生数学表达。在阅卷过程中发现，第（1）小题中根据自变量x的实际意义将该函数分为两段研究，题（2）中的利润问题则应延续（1）中的函数，分类分析并作答，但学生因忽略x≥2600的情形失分严重。其原因主要有两种：第一种是发现（1）中的函数符合条件是显而易见的，所以直接忽略；第二种是学生见y=26000是常数，比较简单，所以过度关注2000≤x≤2600的情况，遗忘了x>2600的情形。这些都是平时解题教学不规范留下的后遗症。
二、公平性与“深度教学”
公平性是中考试题需体现的基本原则。从素材情景看，命题者在编制试题时会选用学生熟悉的生活背景。譬如，城乡学生因生活环境的差异，对“共享单车”“购房优惠”等素材认知程度相差较大，作为考题情景有失公平性。从考查内容看，随着对数学研究的深入，一些教师总结了很多结论、提炼了大量模型为学生解题提供便利，更有甚者，为提高学生的应试能力，将高中知识硬生生地搬到初中课堂，这些现象加重了学生的学业负担，偏离了数学教学的本质。中考命题时，命题者会有意识地抑制机械套用模式或运用高中知识走捷径的现象。所以教师与其漫无目的地撒网还不如紧扣数学本质。笔者认为，“深度教学”是指向数学本质教学的有效途径。这里的“深度”是指“抓住数学学科的内部规律，突显数学学科的核心理念，深研知识背后的规律，培植学生深层思考和学习的能力”。[3]笔者认为，在教学中加强概念生成过程、注重能力螺旋增长等方式是“深度教学”的有效途径。 1.加强概念生成过程。
概念是数学的基石，是数学知识的表达方法。每个概念是独立的，有自身的本质属性，学习者可以通过对概念内涵与外延的挖掘，加强对概念的认识与理解，准确把握概念的适应环境，与其他概念加以区别。每个概念又不是孤立存在的，后继概念在已有概念的基础上形成，数学的概念系统在这个动态过程中建立起来的。概念教学通常依据“给例子—找属性—举例子—找规则（下定义）—再辨析”的几个环节进行。若教师以“高效”为名，忽略概念获得的中间过程，则易导致学生在运用概念时低效、呆板。
例3 （2018·無锡·10） 如图2是一个沿正方形格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（ ）
A.4条 B.5条 C.6条 D.7条
本题是操作性问题，从显性层面考查了学生对列表、树状图等概念运用的能力；从隐性层面看，考查了学生思维的有序性，是一道考查学生学科素养的好题。但考查结果并不乐观。学生在解决本题时，一般会先尝试用枚举的方式罗列所有路径，点P每移一步后，下一步的走向都不一定唯一，所以多种可能性的有序呈现是难点，这就需要学生运用树状图解决问题。但倘若教师在教学树状图时，未能让学生感受、体验树状图的可行性、必要性，当考查学生综合运用能力时，学生就难免出现拙肘见襟的状况。可见，概念的形成过程能反映概念的本质，注重概念的过程研究，能促进学生对概念的深度理解，可以有效提高学生对概念运用的灵活性。
2.注重能力螺旋增长。
主体对新事物的认识必然经历由表及里、由易到难、由浅入深的过程，有时从某一浅表状态深入时，需要有大量知识的积累、丰富体验的沉淀才能实现。这些变化是曲折的，甚至在变化过程中会出现短暂的“退化”或“下沉”。如此反复，内在的体验与外在的知识逐渐形成稳定的联系，学生的能力在这个过程中得到长足发展。
本题是中档题，考查学生根据条件构造图形并计算的能力，从考查结果看题中涉及的计算对学生不构成威胁，构图是失解的主要原因。对学生构图能力的培养贯穿于整个初中几何教学，本题涉及的构造符合条件的三角形在苏科版教材八年级上册“探索三角形全等的条件”这一内容中有着集中体现。教材引导教师借助尺规作图培养学生的构图能力，笔者将该难点分解为四个教学环节——
第一环节：做好铺垫。学生首次尝试尺规作图是“用尺规作线段等于已知线段”，这里应适当描述“尺”“规”的作用，以及描述作图的基本数学语言，譬如，用圆规时通常需说清楚“以某某为圆心，某某为半径画弧，交某某于点某某”等，为后继内容的学习做好铺垫。
第二环节：前后联系，积累经验。在学习“作角等于已知角”时进一步体会尺规的功能，并用相应功能作图。学习“SSA”“ASA”“SSS”“HL”时用尺规构造三角形，加强知识间的联系。
第三环节：动态构图，促进理解。根据条件运用基本作图构图时，思维过程通常如图3所示，教师要有意识地引导学生使这一思维过程自动化。
第四环节：动静结合，能力提升。当理解停留在表层时，若过多的抽象只会适得其反。教师可以剖析典型例题，巩固学生对知识的理解。
值得提醒的是，提升学生的构图能力，若选用同一素材或题目，反复出现，那么记忆会发挥作用，既干扰教师对教学效果的判断，又抑制学生的能力提升。建议应选取不同的素材，让学生在不同情境中感受。能力的螺旋增长需要反复，但不是机械的重复，教师应有一定的耐心，提供不同的素材、设置不同的情境帮助学生积累经历与体验，形成自己的见解与经验，厚积薄发，建立内在经验与外在知识的稳定联系。
对中考试题的研究能促进教师专业发展，提升教师自身数学素养，帮助教师更深刻地理解课标与考试说明。教师应注重“道”的层面的解读研究，致力于提升自身对“理解数学、理解教学、理解学生”的理解，让课堂真正变为培养学生核心素养的平台。
【参考文献】
[1]喻平.著名特级教师教学思想录：中学数学卷[M].南京：江苏教育出版社，2012：101-114.
[2]周建勋，孙学东.“数学味”是指向数学核心素养的中考命题的重要基点[J].中学数学教学参考，2017（26）：51-53.
[3]刘孝宗，徐铎厚.初中数学深度学习的基本策略[J].中学数学教学参考，2017（14）：64-66.
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2019）11-0042-04
【作者简介】1.孙海锋，江苏省江阴市青阳第二中学（江苏江阴，204401）教师，高级教师，无锡市教学能手；2.吴国民，江苏省无锡市东绛实验学校（江苏无锡，214121）教师，一级教师。
对于各学科试题而言，中考评价承担着引领地区教研、促进教师改变教学方式、关注学生核心素养发展等重要任务，数学也不例外。笔者有幸于2018年參加了无锡市数学中考试题的命制，在命题过程中，对中考试题的学科性、公平性有了更深刻的认识。由此反思教学，希望对一线教师的教学有所帮助。
一、学科性与“数学味”教学
“数学是一门思维学科”“数学帮助人们建立科学的思维方式，形成对事物理性思维的习惯和能力。”[1]每一道高质量的中考题都有着周密的数学思考，呈现着严谨的数学表达。因此，在日常教学中，教师应引导学生数学地思考与表达，这样对提高学生数学素养和应对考试均有助益。
1.引导学生数学地思考。
“数学味”是数学中考试题命制的重要基点。[2]“数学地思考”是学生解答中考试题的有效钥匙，是教学过程应重点关注的课程目标。如何运用数学的知识，借助数学思想，分析问题，寻找解决问题的策略，隐含、贯穿于整个数学教学活动。
本题涉及《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下面简称“2011年版课标”）中提到的模型思想、推理能力、运算能力等，是一道综合性较强的几何问题，解决问题的关键是借助圆内接四边形的性质分析四边形ABCD的特征，再抓住三角函数的概念突破难点。自然形成如图1-2至1-5的“割”“补”方法。
2011年版课标中课程总目标是从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面阐述。笔者认为，数学思考主要包括将外部问题数学化、运用内部知识解决数学问题两部分，这里的“内”“外”以是否是显性的数学知识为区分标准。所谓“外部问题数学化”，即指将生活中的问题通过数或符号的抽象、数学建模等方式转化为数学问题的过程。这类问题通常设计为应用题、统计概率题等进行考查，它可以考查学生的模型思想、数据分析观念等。所谓内部知识解决数学问题，即指运用数学知识解决纯粹的数学问题，例1就是典例。本题需要学生从条件中获取信息后，寻找与该信息相关联的数学知识，对这些数学知识深入分析、推理，从中选取出对解决本题有效的部分。在逐个获取条件信息的过程中，不断提炼有效知识，从而寻找出可行的解题策略、制订详尽的解题方法。
2.引导学生数学地表达。
所谓“数学地表达”即用数学语言将推理过程按一定的规范“说”或“写”。这里的规范并不仅指格式上的要求，更主要的是程序上有条理、思维过程严谨。“数学表达”是“数学思考”的外显。学生数学表达是否规范既能反映学生的数学素养，更能侧面反映教师教学行为是否规范。教学活动中，学生是主体，教师是主导，学生能否规范地表达与教师教学行为是否条理、规范是一致的。
例2 （2018·无锡·25） 一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果，已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元。以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润。（1）求y关于x的函数表达式；（2）当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？
本题属于代数应用题，这类题型是初中阶段教学中的重点、难点。笔者认为，应用题应做到“三审”。一审题意，理解情景、读懂条件。本题中“需求量”是理解题意的难点，应注重引导学生结合前后条件反复揣摩该词的含义及其在题目中的作用。二审数量，提炼题中涉及的量。本题中涉及的量是销售数量、需求量、单件利润或单件亏损、销售利润等。三审数量关系，分析提炼出的相关量，找到这些量之间的关系。本题中，当水果全部售出时，销售利润=销售数量×每千克利润；当水果没有全部售出时，销售利润=销售数量×每千克利润-未售出部分×每千克亏损。于是，销售数量与需求量之间的关系显而易见。当数量较多，关系复杂时，借助表格寻找等量关系或不等关系，运用方程、不等式或函数等模型解决问题。
教师规范地解读题目，不仅对学生起到示范作用，便于学生模仿，更有利于学生数学表达。在阅卷过程中发现，第（1）小题中根据自变量x的实际意义将该函数分为两段研究，题（2）中的利润问题则应延续（1）中的函数，分类分析并作答，但学生因忽略x≥2600的情形失分严重。其原因主要有两种：第一种是发现（1）中的函数符合条件是显而易见的，所以直接忽略；第二种是学生见y=26000是常数，比较简单，所以过度关注2000≤x≤2600的情况，遗忘了x>2600的情形。这些都是平时解题教学不规范留下的后遗症。
二、公平性与“深度教学”
公平性是中考试题需体现的基本原则。从素材情景看，命题者在编制试题时会选用学生熟悉的生活背景。譬如，城乡学生因生活环境的差异，对“共享单车”“购房优惠”等素材认知程度相差较大，作为考题情景有失公平性。从考查内容看，随着对数学研究的深入，一些教师总结了很多结论、提炼了大量模型为学生解题提供便利，更有甚者，为提高学生的应试能力，将高中知识硬生生地搬到初中课堂，这些现象加重了学生的学业负担，偏离了数学教学的本质。中考命题时，命题者会有意识地抑制机械套用模式或运用高中知识走捷径的现象。所以教师与其漫无目的地撒网还不如紧扣数学本质。笔者认为，“深度教学”是指向数学本质教学的有效途径。这里的“深度”是指“抓住数学学科的内部规律，突显数学学科的核心理念，深研知识背后的规律，培植学生深层思考和学习的能力”。[3]笔者认为，在教学中加强概念生成过程、注重能力螺旋增长等方式是“深度教学”的有效途径。 1.加强概念生成过程。
概念是数学的基石，是数学知识的表达方法。每个概念是独立的，有自身的本质属性，学习者可以通过对概念内涵与外延的挖掘，加强对概念的认识与理解，准确把握概念的适应环境，与其他概念加以区别。每个概念又不是孤立存在的，后继概念在已有概念的基础上形成，数学的概念系统在这个动态过程中建立起来的。概念教学通常依据“给例子—找属性—举例子—找规则（下定义）—再辨析”的几个环节进行。若教师以“高效”为名，忽略概念获得的中间过程，则易导致学生在运用概念时低效、呆板。
例3 （2018·無锡·10） 如图2是一个沿正方形格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（ ）
A.4条 B.5条 C.6条 D.7条
本题是操作性问题，从显性层面考查了学生对列表、树状图等概念运用的能力；从隐性层面看，考查了学生思维的有序性，是一道考查学生学科素养的好题。但考查结果并不乐观。学生在解决本题时，一般会先尝试用枚举的方式罗列所有路径，点P每移一步后，下一步的走向都不一定唯一，所以多种可能性的有序呈现是难点，这就需要学生运用树状图解决问题。但倘若教师在教学树状图时，未能让学生感受、体验树状图的可行性、必要性，当考查学生综合运用能力时，学生就难免出现拙肘见襟的状况。可见，概念的形成过程能反映概念的本质，注重概念的过程研究，能促进学生对概念的深度理解，可以有效提高学生对概念运用的灵活性。
2.注重能力螺旋增长。
主体对新事物的认识必然经历由表及里、由易到难、由浅入深的过程，有时从某一浅表状态深入时，需要有大量知识的积累、丰富体验的沉淀才能实现。这些变化是曲折的，甚至在变化过程中会出现短暂的“退化”或“下沉”。如此反复，内在的体验与外在的知识逐渐形成稳定的联系，学生的能力在这个过程中得到长足发展。
本题是中档题，考查学生根据条件构造图形并计算的能力，从考查结果看题中涉及的计算对学生不构成威胁，构图是失解的主要原因。对学生构图能力的培养贯穿于整个初中几何教学，本题涉及的构造符合条件的三角形在苏科版教材八年级上册“探索三角形全等的条件”这一内容中有着集中体现。教材引导教师借助尺规作图培养学生的构图能力，笔者将该难点分解为四个教学环节——
第一环节：做好铺垫。学生首次尝试尺规作图是“用尺规作线段等于已知线段”，这里应适当描述“尺”“规”的作用，以及描述作图的基本数学语言，譬如，用圆规时通常需说清楚“以某某为圆心，某某为半径画弧，交某某于点某某”等，为后继内容的学习做好铺垫。
第二环节：前后联系，积累经验。在学习“作角等于已知角”时进一步体会尺规的功能，并用相应功能作图。学习“SSA”“ASA”“SSS”“HL”时用尺规构造三角形，加强知识间的联系。
第三环节：动态构图，促进理解。根据条件运用基本作图构图时，思维过程通常如图3所示，教师要有意识地引导学生使这一思维过程自动化。
第四环节：动静结合，能力提升。当理解停留在表层时，若过多的抽象只会适得其反。教师可以剖析典型例题，巩固学生对知识的理解。
值得提醒的是，提升学生的构图能力，若选用同一素材或题目，反复出现，那么记忆会发挥作用，既干扰教师对教学效果的判断，又抑制学生的能力提升。建议应选取不同的素材，让学生在不同情境中感受。能力的螺旋增长需要反复，但不是机械的重复，教师应有一定的耐心，提供不同的素材、设置不同的情境帮助学生积累经历与体验，形成自己的见解与经验，厚积薄发，建立内在经验与外在知识的稳定联系。
对中考试题的研究能促进教师专业发展，提升教师自身数学素养，帮助教师更深刻地理解课标与考试说明。教师应注重“道”的层面的解读研究，致力于提升自身对“理解数学、理解教学、理解学生”的理解，让课堂真正变为培养学生核心素养的平台。
【参考文献】
[1]喻平.著名特级教师教学思想录：中学数学卷[M].南京：江苏教育出版社，2012：101-114.
[2]周建勋，孙学东.“数学味”是指向数学核心素养的中考命题的重要基点[J].中学数学教学参考，2017（26）：51-53.
[3]刘孝宗，徐铎厚.初中数学深度学习的基本策略[J].中学数学教学参考，2017（14）：64-66.